工学常微分方程讲课教案.ppt

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1、工学常微分方程微分方程简介常微分方程的形成与发展是和力学、天文学、物理学，以及其他科学技术的发展密切相关的。数学的其他分支的新发展，如复变函数、李群、组合拓扑学等，都对常微分方程的发展产生了深刻的影响，当前计算机的发展更是为常微分方程的应用及理论研究提供了非常有力的工具。牛顿研究天体力学和机械力学的时候，利用了微分方程这个工具，从理论上得到了行星运动规律。后来，法国天文学家勒维烈和英国天文学家亚当斯使用微分方程各自计算出那时尚未发现的海王星的位置。微分方程简介利用微分方程可以精确地表述事物变化所遵循的基本规律，有了解方程的方法。它也就成了最有生命力的数学分支。常微分方程的特点：求通解 与特解

2、常微分方程的应用：自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研 究等。这些问题都可以化为求常微分方程的解，或者化为研究解的性质的问题。应该说，应用常微分方程理论已经取得了很大的成就。第一节第一节 微分方程的概念微分方程的概念一一.实例实例例1.曲线过(0,1),且曲线上每个点处的切线斜率等于该点的横坐 标,求此曲线方程.设曲线方程为 y=y(x),则例2.质量为m的物体垂直上抛,t=0 时,初始位移和初速度分别为求物体的运动规律.设运动方程为S=S(t),则两次积分分别得出:条件代入:二二.概念概念1.微分方程微分方程:含有未知函数的导数或微

3、分的方程.未知函数为一元函数的微分方程称为常微分方程.(前例)未知函数为多元函数的微分方程称为偏微分方程.本章内容2.阶阶:未知函数的最高阶导数的阶数.例1是一阶微分方程,例2是二阶微分方程.n阶方程一般形式:必须出现3.解解:如果将函数 y=y(x)代入方程后恒等,则称其为方程的解.如果解中含有任意常数,且个数与阶数相同通解不含任意常数的解特解必须独立n阶方程通解一般形式:4.定解条件或定解条件或初值条件初值条件:确定通解中任意常数值的条件.定解条件的个数要和阶数相同,才能确定唯一特解！.5.几何意义几何意义:通解积分曲线族特解积分曲线例:验证 是 的通解对 用隐函数求导法得:故 是方程的解

4、,且含有一个任意常数.通解第二节第二节 几种常见的一阶微分方程几种常见的一阶微分方程本节介绍一阶微分方程的基本类型和常见类型.一阶微分方程的一般形式我们研究的形式一、可分离变量的微分方程一、可分离变量的微分方程(1)解法:1.分离变量:2.两边积分:3.得出通解:只写一个任意常数例:任意常数,记为C绝对值号可省略定解条件代入:C=2故特解为:二二.齐次方程齐次方程如果方程(1)可化成:齐次方程解法:令 化成可分离变量方程.例:*可化可化为齐为齐次方程的方程次方程的方程 解法：若解法：若 则则先令先令 求出解求出解 再作再作变变量代量代换换 于是原方程化为齐次方程于是原方程化为齐次方程.若若作作

5、变变量代量代换换，原方程化为可分离变量的方程原方程化为可分离变量的方程.例例 解方程解方程(2x-5y+3)dx-(2x+4y-6)dy=0.解得解得x0=1,y0=1三三.一阶线性方程一阶线性方程一般形式:(2)(3)一阶线性齐次方程一阶线性非齐次方程自由项方程(3)是可分离变量方程,其通解为:方程(2)的通解常数变易法设(2)的通解:代入方程(2):则方程(2)的通解:(4)注:1.一阶线性非齐次方程的通解可用常数变易法或公式(4)计算皆可;.2.公式(4)中不定积分只求一个原函数即可;3.非齐次方程的特解齐次方程的通解非齐次方程解的结构例:例:求方程 满足初始条件 的特解.将 y 视为自

6、变量,可以变成关于 x 的线性方程:由 得:故所求特解为:四四.伯努利方程伯努利方程一般形式:当 n=0 或1时,这是线性方程.当 时,可以化成线性方程:两端同除以令则关于 z 的线性方程求出通解后再还原回 y例:两端同除以令代入通解为五五.全微分方程全微分方程对于微分方程则通解为全微分方程注:(1).当P(x,y),Q(x,y)在单连域D内具有一阶连续偏导数,且时,上述方程为全微分方程.(2).(3).对于非全微分方程,有时可以找到函数 ,使得全微分方程积分因子(4).观察法往往很实用.例:因为全微分方程取解法一:解法二:例:非全微分方程由于则 是积分因子,同乘以积分因子并积分得通解:易知

7、也是积分因子例:非全微分方程变形则 是积分因子,注意注意:其他类型的微分方程往往可以化成上述类型其他类型的微分方程往往可以化成上述类型例:视 x 为 y 函数,可化成线性方程通解为:思考第三节第三节 高阶微分方程高阶微分方程一、可降阶的微分方程-变量代换法两边积分:连续积分n次得出含有n个任意常数的通解.1.型方程型方程再积分:例:逐次积分得:2.型方程型方程令 ,则方程变为:解出这个一阶方程的通解:则原方程的通解为:例:令 ,则方程变为:解得:例:令 ,则因为则因为所求特解为:3.型方程型方程令 ,方程变为:解出这个以 y 为自变量的一阶方程的通解:则原方程的通解为:例:则令 ,则方程变为:

8、即:或者的通解为:其通解为:即其通解为:例:令 ,则方程变为:即:此题看作类型二和类型三皆可,经过尝试用前者简单练习二、二、高阶线性微分方程解的结构高阶线性微分方程解的结构一般形式:当 时,当 时,n阶线性非奇次方程n阶线性奇次方程下面以二阶方程为例,讨论高阶线性微分方程解的结构.1.二阶线性奇次方程解的结构二阶线性奇次方程解的结构一般形式:显然,y=0 是(2)的解.平凡解讨论非平凡解:定理.如果 是(2)的两个解,则 也是(2)的解,其中 为任意常数.证明:由于 是(2)的两个解,所以将 代入(2)的左端:则 也是(2)的解.注意:不一定是通解.例如:是(2)的解,则 也是(2)的解.此时

9、不是通解函数的线性相关和线性无关设 为定义在 I 上的 n 个函数,如果存在n个不全为零的常数 ,使得线性相关否则,线性无关例如:线性相关在任意区间I上:取线性无关要使 ,必须对于两个函数:如果它们之比为常数,则线性相关;否则,线性无关定理5.3.1 若 是(2)的两个线性无关的特解,则 是(2)的通解,为任意常数.例如:是它的特解,线性无关通解2.二阶线性非奇次方程解的结构二阶线性非奇次方程解的结构一般形式:定理5.3.2 若 是(3)的一个特解,是(3)对应的奇 次方程(2)的通解,则 是(3)的通解.则 是(2)的通解.而 是(3)的一个特解证明:由于Y是(2)的的通解,所以将 代入(3

10、)的左端:注意:Y 中含有两个任意 常数,因此 y 是通解.注:当(3)式的自由项为几项之和时,特解如何求出?证明:定理5.3.3 若 分别是 的特解,则 是方程的特解.将 代入(4)的左端:则 是(4)的解.3.二阶常系数线性奇次方程二阶常系数线性奇次方程一般形式:p,q为常数分析由方程特点假设将 代入(1)得:当 满足(2)时,是(1)的一个特解.特征方程特征根根据特征根的三种不同情形,方程(1)的通解有三种情形.1.特征根为相异实根 :是(1)的两个线性无关的特解,则(1)的通解为2.特征根为二重根 :是(1)的一个特解,求另一个线性无关的特解.设 代入方程(1):取得到另一个线性无关的

11、特解则(1)的通解为线性无关特解3.特征根为共轭复根:是(1)的两个特解,则(1)的通解为例:则通解为例:则通解为则特解为例:则通解为注:上述解法可推广到 n 阶常系数线性奇次方程:特征方程例:则通解为4.二阶常系数线性非奇次方程二阶常系数线性非奇次方程一般形式:p,q为常数由解的结构可知,(4)的通解是:故只要求出(4)的一个特解 .待定系数法n 次多项式与指数函数乘积待定多项式(1).当 不是特征根时:因此取(2).当 是特征单根时:因此 是 m次多项式,是m+1次多项式,例:求 的一个特解.由于 不是特征根,则设将 代入方程得:则一个特解为(3).当 是特征重根时:因此 是 m次多项式,

12、是 m+2 次多项式,由于 是特征单根,则设将 代入方程得:则一个特解为因此通解为:例:求 的通解.则对应的奇次方程的通解为2.型此时设特解为:不是特征根是特征根证明略m 次多项式例:求 的一个特解.则设将 代入方程得:则一个特解为例:求 的通解.则对应的奇次方程的通解为由于 是特征根,则设将 代入方程得:则一个特解为因此通解为:题型解析第四第四节节 欧拉方程和常系数欧拉方程和常系数线线性微分方程性微分方程组组1.1.欧拉（Euler）方程的解法形如形如 其中其中为为常数常数.特点：各项未知函数导数的阶数恰等于与之相乘的特点：各项未知函数导数的阶数恰等于与之相乘的 自变量的幂次数自变量的幂次数

13、.解法：作解法：作变变量代量代换换，设设 代入欧拉方程，即可化代入欧拉方程，即可化为为以以t为为自自变变量的常系数量的常系数线线性微分方程性微分方程 2.2.微分方程组的解法微分方程组的解法(消元法消元法)一阶线性微分方程的标准形式一阶线性微分方程的标准形式（i）用求导、积分、四则运算等由方程组中消去一）用求导、积分、四则运算等由方程组中消去一 个未知函数及其导数，得一个只含一个未知函数的高阶微分方程个未知函数及其导数，得一个只含一个未知函数的高阶微分方程（ii）解式（）解式（i）中求得的微分方程，得其通解）中求得的微分方程，得其通解.（iii）把式（）把式（ii）中求得的通解代入原方程组，求出另一个未知数）中求得的通解代入原方程组，求出另一个未知数 此课件下载可自行编辑修改，仅供参考！此课件下载可自行编辑修改，仅供参考！感谢您的支持，我们努力做得更好！谢谢感谢您的支持，我们努力做得更好！谢谢