一维波动方程说课材料.ppt

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1、一维波动方程偏微分方程教程 第四章 双曲型方程2 一维波动方程一维波动方程 2.1.2.1.齐次波动方程的齐次波动方程的CauchyCauchy问题和特征线法问题和特征线法 最简单的一维齐次双曲型方程是关于无界弦的自由振动问题,在忽略其边界的影响时，它可归结为如下的定解问题 (2.1)满足初始条件 (2.2)其中 是一个正常数，函数 是定义在区间 上的已知函数.22 一维波动方程 偏微分方程教程 第四章 双曲型方程 到目前为止,表达式(2.8)还只能说是Cauchy问题(2.1),(2.2)的形式解形式解.为了使它确实是Cauchy问题(2.1),(2.2)的解,我们需要对初值 加上一定的条件

2、.定理定理4.34.3 若 ,则由DAlembert公式(2.8)表示的函数 是Cauchy问题(2.1),(2.2)解.证明留作习题，请读者自己完成.下面我们讨论Cauchy问题(2.1),(2.2)解的稳定性稳定性.定理定理4.44.4 假设对任意给定 的,总可找到这样的 ,当初始数据 与 满足不等式 时,则与之相对应的Cauchy问题的解 与 满足 62 一维波动方程 偏微分方程教程 第四章 双曲型方程 证证:只要取 即可.综上所述，Cauchy问题(2.1),(2.2)的解是适定的.另一方面，若将方程(2.1)写成如下算子形式 且令 ,则可以得到如下一阶线性偏微分方程组 (2.9)按照

3、第二章关于一阶线性偏微分方程的求解，我们也可以获得DAlembert公式(2.8).72 一维波动方程 偏微分方程教程 第四章 双曲型方程 上面对弦振动方程求解的特征线法,亦适用于类似方程的Cauchy问题.例例1 1 求解Cauchy问题 (2.10)其中 和 都是已知函数.解解:容易求出(2.10)中的方程的特征曲线 作自变量变换 82 一维波动方程 偏微分方程教程 第四章 双曲型方程就可把(2.10)中的方程化成标准型 为了求出方程(2.11)的通解,我们令 则方程(2.11)化为 若把 看作参数,方程(2.13)就是以 为自变量的线性常微分方程,其通解可写为 其中 是 的任意函数.将此

4、表达式代入方程(2.12),得(2.13)(2.11)(2.12)92 一维波动方程 偏微分方程教程 第四章 双曲型方程再对 求积分,便得方程(2.11)的通解 其中 是 的任意函数.若令 ,上式可写成 其中 和 都是其变元的任意连续可微函数.变回到原来的变量 和 ,便得到方程(2.10)的通解为(2.14)下面我们利用(2.10)中的初始条件来确定任意函数 和 .首先,容易得到下面两个等式：(2.15)102 一维波动方程 偏微分方程教程第四章双曲型方程 对 微分(2.15),得 用 乘以上式再与(2.16)相加,得 由此推得 其中 为任意常数.再将 的表达式代入(2.15),得 (2.16)112 一维波动方程 偏微分方程教程第四章双曲型方程于是Cauchy问题的解可写成 利用分部积分法,它又可化为 至于在什么条件下,这个函数才是Cauchy问题(2.10)的解以及解的惟一性和稳定性问题,这里就不详细讨论了.122 一维波动方程 结束语结束语谢谢大家聆听！谢谢大家聆听！13