恒成立问题常见类型及解法.教案资料.ppt
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1、恒成立问题常见类型及解法.转化思想转化思想解答不等式恒成立问题解答不等式恒成立问题 求解不等式恒成立问题的常用方法:求解不等式恒成立问题的常用方法:(1)(1)分离参数法:通过分离参数,转化为不含参数的函数分离参数法:通过分离参数,转化为不含参数的函数的最值问题求解的最值问题求解.(2)(2)函数思想:转化为求含参数的函数的最值问题求解函数思想:转化为求含参数的函数的最值问题求解.(3)(3)数形结合思想:转化为两熟悉函数图象间的上下关系数形结合思想:转化为两熟悉函数图象间的上下关系求解求解.解答过程中应注意的问题:解答过程中应注意的问题:(1)(1)分离参数时应注意系数符号对不等号的影响分离
2、参数时应注意系数符号对不等号的影响.(2)(2)应用函数方法求解时,所使用的函数一般为二次函数应用函数方法求解时,所使用的函数一般为二次函数.(3)(3)应用数形结合法求解时,应注意图象最高点或最低点应用数形结合法求解时,应注意图象最高点或最低点处函数值的大小关系处函数值的大小关系.在高三复在高三复习习中中经经常遇到不等式恒成立常遇到不等式恒成立问题问题。这类问这类问题题求解的基本思路是:根据已知条件将恒成立求解的基本思路是:根据已知条件将恒成立问题问题向基向基本本类类型型转转化,正确化,正确选选用函数法、最小用函数法、最小值值法、数形法、数形结结合法合法等解等解题题方法求解。解方法求解。解题
3、过题过程本身程本身渗透着换元、化归、数渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法,另外不等式恒成立问形结合、函数与方程等思想方法,另外不等式恒成立问题大多要利用到一次函数、二次函数的图象和性质。题大多要利用到一次函数、二次函数的图象和性质。恒成立恒成立问题问题在解在解题过题过程中大致可分程中大致可分为为以下几种以下几种类类型:型:(1 1)一次函数型;)一次函数型;(2 2)二次函数型;)二次函数型;(3 3)变变量分离型;量分离型;(4 4)利用函数的性)利用函数的性质质求解;求解;(5 5)直接根据函数的)直接根据函数的图图象求解;象求解;(6 6)反)反证证法求解。法求解。下面分下
4、面分别举别举例示之。例示之。一、一次函数型一、一次函数型典例导悟二、二次函数型二、二次函数型典例导悟三、变量分离型三、变量分离型【理论阐释】【理论阐释】若在等式或不等式中出现两个变量,其中一个变量若在等式或不等式中出现两个变量,其中一个变量的范围已知,另一个变量的范围为所求,且容易通过恒的范围已知,另一个变量的范围为所求,且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边,则可等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边,则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。典例导悟【理【理论阐释论阐释】若函数若函数f(x)f(x)是奇是奇(偶偶)函数,函数,则对则
5、对一切定一切定义义域中的域中的x,f(-x)=x,f(-x)=f(x)f(x),(f(-x)=f(x)(f(-x)=f(x)恒成立;若函数恒成立;若函数y=f(x)y=f(x)的周期的周期为为T T,则对则对一切定一切定义义域中的域中的x,x,有有f(x)=f(x+T)f(x)=f(x+T)恒成立;若函数恒成立;若函数图图象平移前后象平移前后互相重合,互相重合,则则函数解析式相等。函数解析式相等。四、利用函数的性质解决恒成立问题四、利用函数的性质解决恒成立问题典例导悟五、五、把不等式恒成立问题转化为函数图象问题把不等式恒成立问题转化为函数图象问题【理论阐释】【理论阐释】若把不等式进行合理的变形
6、后,能非常容易地画出不等若把不等式进行合理的变形后,能非常容易地画出不等号两边对应函数的图象,这样就把一个很难解决的不等式的号两边对应函数的图象,这样就把一个很难解决的不等式的问题转化为利用函数图象解决的问题,然后从图象中寻找条问题转化为利用函数图象解决的问题,然后从图象中寻找条件,就能解决问题。件,就能解决问题。典例导悟六、采用逆向思维,考虑使用反证法六、采用逆向思维,考虑使用反证法【理论阐释】【理论阐释】恒成立问题有时候从正面很难入手,这时如果考虑恒成立问题有时候从正面很难入手,这时如果考虑问题的反面,有时会有问题的反面,有时会有“柳暗花明又一村柳暗花明又一村”的效果,所谓的效果,所谓“正
7、难则反正难则反”就是这个道理。就是这个道理。典例导悟【典例】设函数【典例】设函数 对任意对任意xx1,+),1,+),f(mx)+mf(x)f(mx)+mf(x)0 0恒成立,则实数恒成立,则实数m m的取值范围是的取值范围是_._.【解题指导】【解题指导】转化为具体不等式后,再通分转化为整式不等转化为具体不等式后,再通分转化为整式不等式,最后分类讨论式,最后分类讨论.【规范解答】【规范解答】x x1,+),1,+),f(mx)+mf(x)f(mx)+mf(x)0,0,即即mxmx2m2m2 2x x2 2-(1+m-(1+m2 2)0.0.由由f(mx)+mf(x)f(mx)+mf(x)0
8、0在在xx1,+)1,+)上恒成立知,上恒成立知,mxmx2m2m2 2x x2 2-(1+m-(1+m2 2)0 0在在xx1,+)1,+)上恒成立上恒成立,m0.m0.当当m m0 0时,只要时,只要2m2m2 2x x2 2-(1+m-(1+m2 2)0 0恒成立即可恒成立即可,即即xx1,+),1,+),mm2 21,m1,m-1.-1.当当m m0 0时,只要时,只要2m2m2 2x x2 2-(1+m-(1+m2 2)0 0恒成立即可恒成立即可,即即 x x1,+),1,+),不恒成立不恒成立.综上,实数综上,实数m m的取值范围为的取值范围为(-,-1).(-,-1).答案:答案
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- 成立 问题 常见 类型 解法 教案 资料
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