线性变换实用.pptx

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1、11 线性变换的定义线性变换的定义线性变换的引入线性变换的引入线性变换的定义线性变换的定义线性变换的举例线性变换的举例线性变换的性质线性变换的性质第1页/共208页2一、线性变换的引入一、线性变换的引入数域数域 P 上任意一个上任意一个 n 维线性空间都与维线性空间都与 P n 同构，同构，因因此此，有限维线性空间的结构，有限维线性空间的结构可认为已完全清楚可认为已完全清楚.线性空间线性空间V 到自身的映射通常称为到自身的映射通常称为 V 的一个的一个变换变换变换变换.本章要讨论的线性变换也是最简单的，本章要讨论的线性变换也是最简单的，认为是最基本的一种变换认为是最基本的一种变换.下面如果不特

2、别声明，所考虑的都是某一固定下面如果不特别声明，所考虑的都是某一固定的数域的数域 P 上的线性空间上的线性空间.同时也可同时也可正如线性函数是最简单的且最基本的函数一样正如线性函数是最简单的且最基本的函数一样.第2页/共208页3二、线性变换的定义二、线性变换的定义定义定义定义定义 1 1 线性空间线性空间线性空间线性空间 V V 的一个变换的一个变换的一个变换的一个变换 A A 称为称为称为称为线性线性线性线性变换变换变换变换，任意数任意数任意数任意数 k k ，都有，都有，都有，都有A A(+)=)=A A ()+)+A A (),A A(k k )=)=k k A A ().如果对于如果

3、对于如果对于如果对于 V V 中任意的元素中任意的元素中任意的元素中任意的元素 ,和数域和数域和数域和数域 P P 中中中中第3页/共208页4以后我们一般用花体拉丁字母以后我们一般用花体拉丁字母 A,B,代表代表V 的变换，的变换，A()或或 A 代表元素代表元素 在变换在变换 A 下下的像的像.定义中的等式所表示的性质，有时也说成定义中的等式所表示的性质，有时也说成线性线性线性线性变换保持向量的加法与数量乘法变换保持向量的加法与数量乘法变换保持向量的加法与数量乘法变换保持向量的加法与数量乘法.下面我们来看几个简单的例子，它们表明线性下面我们来看几个简单的例子，它们表明线性变换这个概念有着丰

4、富的内容变换这个概念有着丰富的内容.第4页/共208页5三、线性变换的举例三、线性变换的举例例例例例 1 1 平面上的向量构成实数域上的二维线性平面上的向量构成实数域上的二维线性空间空间.就是一个线性变换，我们用就是一个线性变换，我们用 R 表示表示.如果平面上如果平面上一个向量一个向量 在直角坐标系下的坐标是在直角坐标系下的坐标是(x,y),那么那么像像 R ()的坐标，即的坐标，即 旋转旋转 角之后的坐标角之后的坐标(x ,y )的公式为的公式为把平面围绕坐标原点按反时针方向旋转把平面围绕坐标原点按反时针方向旋转 角角第5页/共208页6Ox xyy xy 图图图图 7-17-1 =(=(

5、x x,y y)=(=(x x ,y y )如图如图 7-1 所示所示.同样，空间中绕轴的旋转也是一个线性变换同样，空间中绕轴的旋转也是一个线性变换.第6页/共208页7例例例例 2 2 设设 是几何空间中一固定的非零向量，是几何空间中一固定的非零向量，把每个向量把每个向量 变到它在变到它在 上的内射影的变换也是上的内射影的变换也是一个线性变换，以一个线性变换，以 表示它表示它.这里这里(,),(,)表示内积表示内积.几何意几何意义如图义如图 7-2 所示所示.A ()xoyz图图图图 7-27-2 用公式表示就是用公式表示就是第7页/共208页8例例例例 3 3 线性空间线性空间 V 中的中

6、的恒等变换恒等变换恒等变换恒等变换或称或称单位单位单位单位变换变换变换变换 E E，A()=(V),以及以及零变换零变换零变换零变换 0 0，即，即0()=0 (V)都是线性变换都是线性变换.即即第8页/共208页9例例例例 4 4 设设 V 是数域是数域 P 上的线性空间，上的线性空间，k 是是 P 中中某个数，定义某个数，定义 V 的变换如下：的变换如下：k ,V.不难证明，这是一个线性变换，称为由数不难证明，这是一个线性变换，称为由数 k 决定的决定的数乘变换数乘变换数乘变换数乘变换,可用可用 K 表示表示.显然，当显然，当 k=1 时，我时，我们便得恒等变换，当们便得恒等变换，当 k=

7、0 时，便得零变换时，便得零变换.第9页/共208页10数组成实数域上一线性空间，以数组成实数域上一线性空间，以 C(a,b)代表代表.例例例例 5 5 在线性空间在线性空间 P x 或者或者 P x n 中，求导中，求导数是一个线性变换数是一个线性变换.这个变换通常用这个变换通常用 D 代表，即代表，即D(f(x)=f (x).例例例例 6 6 定义在闭区间定义在闭区间 a,b 上的全体连续函上的全体连续函在在这个空间中，变换这个空间中，变换(f(x)=是一线性变换是一线性变换.第10页/共208页11例例例例 7 7 镜象变换镜象变换镜象变换镜象变换：R2 中每个向量关于过原点中每个向量关

8、于过原点的直线的直线 L 相对称的变换，记为相对称的变换，记为T，即，即 =OA R2，T()=OB(如图如图 7-3 所示，其中所示，其中 A、B对称于直线对称于直线 L)也是也是 R2上的线性变换上的线性变换.OxyABCL 图图图图 7-37-3第11页/共208页12下面先来下面先来求镜象变换求镜象变换求镜象变换求镜象变换 T,然后再证明它是线然后再证明它是线性变换性变换.设直线设直线 L 的某个方向的单位向量为的某个方向的单位向量为 (如图如图7-3所示所示)，则，则OxyABCL 图图图图 7-37-3OC=(,),其中其中(,)为向量为向量 与与 的内积，于是的内积，于是 =+A

9、B=+2AC=+2(OC-)=-+2(,).第12页/共208页13T()=OB所以所以=-+2(,).下面验证下面验证 T 是线性变换是线性变换.,R2 和和 ,R,都有都有T(+)=-(+)+2(+,)=-+2(,)+-+2(,)=T()+T()所以所以 T 是线性变换是线性变换.第13页/共208页14四、线性变换的性质四、线性变换的性质线性变换有以下三个简单性质：线性变换有以下三个简单性质：性质性质性质性质 1 1 设设设设 A A 是是是是 V V 的线性变换，则的线性变换，则的线性变换，则的线性变换，则A A(0)=0(0)=0，A A(-(-)=-)=-A A().).证明证明证

10、明证明由线性变换的定义，可得由线性变换的定义，可得A(0)=A(0 )=0 A()=0，A(-)=A(-1)=(-1)A()=-A().第14页/共208页15性质性质性质性质 2 2 线性变换保持线性组合与线性关系式不变线性变换保持线性组合与线性关系式不变线性变换保持线性组合与线性关系式不变线性变换保持线性组合与线性关系式不变.换句话说，如果换句话说，如果 是是 1,2,r 的线性的线性组合：组合：=k1 1+k2 2+kr r ,那么经过线性变换那么经过线性变换 A 之后，之后，A()是是 A(1),A(2),A(r)同样的线性组合：同样的线性组合：又如果又如果 1,2,r 之间有关系式之

11、间有关系式k1 1+k2 2+kr r=0，A()=k1A(1)+k2A(2)+krA(r).第15页/共208页16那么它们的像之间也有同样的关系那么它们的像之间也有同样的关系以上两点，根据定义可以证明，由此即得以上两点，根据定义可以证明，由此即得性质性质性质性质 3 3 线性变换把线性相关的向量组变成线性变换把线性相关的向量组变成线性变换把线性相关的向量组变成线性变换把线性相关的向量组变成线性相关的向量组线性相关的向量组线性相关的向量组线性相关的向量组.但应该注意，但应该注意，可能把线性无关的向量组也变成线性相关的向量可能把线性无关的向量组也变成线性相关的向量组组.例如零变换就是这样例如零

12、变换就是这样.k1A(1)+k2A(2)+krA(r)=0.性质性质 3 的逆是不对的，的逆是不对的，线性变换线性变换第16页/共208页17线性变换的乘积线性变换的乘积2 线性变换的运算线性变换的运算线性变换的加法线性变换的加法线性变换的数量乘法线性变换的数量乘法线性变换的逆变换线性变换的逆变换线性变换的多项式线性变换的多项式举例举例第17页/共208页18(A BA B)()()=)=A A(B B()()(V V).).一、线性变换的乘积一、线性变换的乘积线性空间的线性变换作为映射的特殊情形当然线性空间的线性变换作为映射的特殊情形当然可以定义乘法可以定义乘法.1.1.定义定义定义定义定义

13、定义定义定义2 2 设设设设 A A ,B B 是线性空间是线性空间是线性空间是线性空间 V V 的两个线性变的两个线性变的两个线性变的两个线性变换，定义它们的换，定义它们的换，定义它们的换，定义它们的乘积乘积乘积乘积 A B A B 为为为为第18页/共208页192.2.性质性质性质性质性质性质性质性质 1 1 线性变换的乘积是线性变换线性变换的乘积是线性变换线性变换的乘积是线性变换线性变换的乘积是线性变换.(A B)()证明证明证明证明 设设 A,B 是线性空间是线性空间 V 的两个线性变换的两个线性变换.因为因为=A(B()=A(B()B()=(A B)()+(A B)()，(A)(k

14、 )=A(B(k )=A(k B()=k A(B()=k(A B)().所以所以 A B 是线性变换是线性变换.第19页/共208页20D(f(x)=f (x),的乘积的乘积 DI=E，但一般，但一般 I D E .对于乘法，单位变换对于乘法，单位变换 E 有特殊的地位有特殊的地位.对于对于任意线性变换任意线性变换 A 都有都有IA E=E A =A .(A BA B)C C=A A(BC BC).).性质性质性质性质 2 2 结合律结合律结合律结合律注意：注意：注意：注意：线性变换的乘法一般不满足交换律线性变换的乘法一般不满足交换律线性变换的乘法一般不满足交换律线性变换的乘法一般不满足交换律

15、.例，实数域例，实数域 R 上的线性空间上的线性空间 C1 x ，线性，线性变变换换第20页/共208页21二、线性变换的加法二、线性变换的加法1.1.定义定义定义定义定义定义定义定义3 3 设设设设 A A ,B B 是线性空间是线性空间是线性空间是线性空间 V V 的两个线性变的两个线性变的两个线性变的两个线性变换，定义它们的换，定义它们的换，定义它们的换，定义它们的和和和和 A A +B B 为为为为(A A +B B)()()=)=A A ()+)+B B()()(V V).).2.2.性质性质性质性质性质性质性质性质 1 1 线性变换的和是线性变换线性变换的和是线性变换线性变换的和是

16、线性变换线性变换的和是线性变换.第21页/共208页22证明证明证明证明设设 A ,B 是线性空间是线性空间 V 的两个线性变换的两个线性变换.因为因为(A +B)(+)=A (+)+B(+)=(A()+A ()+(B()+B()=(A()+B()+(A()+B()=(A +B)()+(A +B)(),(A +B)(k )=A(k )+B(k )=k A()+k B()=k(A +B)().证毕证毕证毕证毕第22页/共208页23性质性质性质性质 2 2 零变换与所有线性变换零变换与所有线性变换零变换与所有线性变换零变换与所有线性变换 A A 的和仍等于的和仍等于的和仍等于的和仍等于 A A

17、：负变换：负变换：负变换：负变换：线性变换线性变换线性变换线性变换 A A 的负变换定义为：的负变换定义为：的负变换定义为：的负变换定义为：(-(-A A )()()=-)=-A A ()()(V V).).A A +0 0 =A .A .第23页/共208页243.3.运算规律运算规律运算规律运算规律1)1)交换律交换律交换律交换律A A +B B=B B+A A.2)2)结合律结合律结合律结合律3)3)A A +(-+(-A A )=)=0 0.4)4)乘法对加法的左右分配律乘法对加法的左右分配律乘法对加法的左右分配律乘法对加法的左右分配律A A +(+(B B+C C)=()=(A A

18、+B B)+)+C C.A A(B B+C C)=)=A B A B +A C A C,(B B+C C)A A=B AB A+C A C A.第24页/共208页25仅证线性变换的乘法对加法的左分配律仅证线性变换的乘法对加法的左分配律证明证明证明证明(A (B+C)()=A(B+C)()=A (B()+C()证毕证毕证毕证毕A A(B B+C C)=)=A B A B +A C.A C.=A (B()+A (C()=(A B)()+(A C)()=(A B+A C)().第25页/共208页26三、线性变换的数量乘法三、线性变换的数量乘法1.1.定义定义定义定义在上一节在上一节中我们看到中我

19、们看到,数域数域 P 中每个数中每个数 k 都都确定了一个数乘变换确定了一个数乘变换 K.利用线性变换的乘法利用线性变换的乘法,可以定义数域可以定义数域 P 中的数与线性变换的数量乘法：中的数与线性变换的数量乘法：定义定义定义定义4 4 数域数域数域数域 P P 中的数与线性变换的中的数与线性变换的中的数与线性变换的中的数与线性变换的数量乘法数量乘法数量乘法数量乘法定义为定义为定义为定义为k k A A =K K A A ,即即即即(k k A A)()()=)=K K(A A()=)=K K A A().显然，显然，k A 是一个线性变换是一个线性变换.第26页/共208页272.运算规律运

20、算规律1)1)(kl)A=k(l A),2)2)(k+l)A=k A+l A,3)3)k(A +B)=k A +k B,4)4)1 A =A.第27页/共208页28对于线性变换，我们已经定义了乘法、加法与对于线性变换，我们已经定义了乘法、加法与数量乘法三种运算数量乘法三种运算.由加法与数量乘法的性质可知由加法与数量乘法的性质可知,线性空间线性空间线性空间线性空间 V V 中全体线性变换，对于如上定义的加法中全体线性变换，对于如上定义的加法中全体线性变换，对于如上定义的加法中全体线性变换，对于如上定义的加法与数量乘法，也构成数域与数量乘法，也构成数域与数量乘法，也构成数域与数量乘法，也构成数域

21、 P P 上一个线性空间上一个线性空间上一个线性空间上一个线性空间.对于线性变换，我们也可定义逆变换对于线性变换，我们也可定义逆变换.第28页/共208页29四、线性变换的逆变换四、线性变换的逆变换1.1.定义定义定义定义定义定义定义定义5 5 线性空间线性空间线性空间线性空间 V V 的线性变换的线性变换的线性变换的线性变换 A A 称为可逆的称为可逆的称为可逆的称为可逆的如果有如果有如果有如果有 V V 的变换的变换的变换的变换 B B 存在，使存在，使存在，使存在，使这时，变换这时，变换这时，变换这时，变换 B B 称为称为称为称为 A A 的的的的逆变换逆变换逆变换逆变换，记为，记为，

22、记为，记为 A A-1 .A B A B=B A B A =E .E .第29页/共208页302.性质性质如果线性变换如果线性变换如果线性变换如果线性变换 A A 是可逆的，那么它的逆变换是可逆的，那么它的逆变换是可逆的，那么它的逆变换是可逆的，那么它的逆变换A A-1 也是线性变换也是线性变换也是线性变换也是线性变换.证明证明证明证明因为因为A -1()=A -1(A A -1)()+(A A -1)()=A -1A (A -1()+A (A -1()=(A -1A )(A -1()+A -1()=A -1()+A -1().第30页/共208页31A -1(k )=A -1(k(A A

23、-1)()=A -1(k(A (A -1)()=A -1(A (k A -1()=(A -1A )(k A -1()=k A -1().所以所以 A -1 是线性变换是线性变换.证毕证毕证毕证毕第31页/共208页32五、线性变换的多项式五、线性变换的多项式1.1.线性变换的幂线性变换的幂线性变换的幂线性变换的幂下面引进线性变换的多项式概念下面引进线性变换的多项式概念.既然线性变换的乘法满足结合律，当若干个线既然线性变换的乘法满足结合律，当若干个线性变换性变换 A 重复相乘时，其最终结果是完全确定的重复相乘时，其最终结果是完全确定的,与乘积的结合方式无关与乘积的结合方式无关.因此当因此当 n

24、个个(n 是正整数是正整数)线性变换线性变换 A 相乘时，我们就可以用相乘时，我们就可以用A A.A n 个个来表示，称为来表示，称为 A 的的 n 次幂次幂.第32页/共208页33简单地记作简单地记作 A n.即即A n =A A.A n 个个另外，规定另外，规定 A 0=E.线性变换的幂运算规律线性变换的幂运算规律线性变换的幂运算规律线性变换的幂运算规律A A n+m n+m=A A n n A A m m,(A A n n)mm=A A m n m n (m m,n n 0 0).).当线性变换当线性变换 A 可逆时，定义可逆时，定义 A 的负整数幂为的负整数幂为A A -n n=(=

25、(A A -1 1)n n (n 为正整数为正整数).这时，指数法则可以推广到负整数幂的情形这时，指数法则可以推广到负整数幂的情形.第33页/共208页34注意注意注意注意线性变换乘积的指数法则不成立，线性变换乘积的指数法则不成立，即，即，一般来说一般来说(A B A B)n n A A n n B B n n.2.2.线性变换的多项式线性变换的多项式线性变换的多项式线性变换的多项式定义定义定义定义6 6 设设设设 f f(x x)=)=a ammx xmm+a am-m-1 1x xm-m-1 1+a a0 0 是是是是 P P x x 中一多项式，中一多项式，中一多项式，中一多项式，A A

26、 是是是是 V V 的一线性变换，则称的一线性变换，则称的一线性变换，则称的一线性变换，则称f f(A A)=)=a am m A A mm+a am-m-1 1 A A m-m-1 1+a a0 0是是是是线性变换线性变换线性变换线性变换 A A 的多项式的多项式的多项式的多项式.第34页/共208页35线性变换的多项式有以下性质：线性变换的多项式有以下性质：1)1)f f(A A)是一线性变换是一线性变换是一线性变换是一线性变换.2)2)如果在如果在如果在如果在 P P x x 中，有中，有中，有中，有h h(x x)=)=f f(x x)+)+g g(x x),),p p(x x)=)=

27、f f(x x)g g(x x),),那么那么那么那么h h(A A)=)=f f(A A)+)+g g(A A),),p p(A A)=)=f f(A A)g g(A A).).特别地，特别地，特别地，特别地，f f(A A)g g(A A)=)=g g(A A)f f(A A).).第35页/共208页36六、举例六、举例例例例例 1 1 在三维几何空间中，对于某一向量在三维几何空间中，对于某一向量 的内射影的内射影 A (投影投影)是一线性变换是一线性变换(参看图参看图 7-6).A 可以用下面的公式来表示可以用下面的公式来表示 A()图图图图 7-67-6 这里这里(,),(,)表示内

28、积表示内积.第36页/共208页37 在以在以 为法向量的平面为法向量的平面 x 上的内射影上的内射影 A x()可以用公式可以用公式x A()Ax()R x()图图图图 7-77-7A x()=-A ()来表示来表示(如图如图 7-7).因此因此A x=E -A ,对于平面对于平面 x 的反射的反射R x也是一个线性变换，且也是一个线性变换，且R x()=-2 A ()所以所以 R x=E-2 A .第37页/共208页38例例例例 2 2 在线性空间在线性空间 Pn x 中，求导数是一个线中，求导数是一个线性变换，用性变换，用 D 表示表示,显然有显然有D n=0.其次，变数的平移其次，变

29、数的平移f()f(+a)(a P)也是一个线性变换，用也是一个线性变换，用 Sa 表示表示.根据泰勒展开式根据泰勒展开式第38页/共208页39可知可知 Sa 实质上是实质上是 D 的多项式：的多项式：Sa=E+aD D 2+D n-1.第39页/共208页40线性变换、基与基的像线性变换、基与基的像线性变换、基与基的像线性变换、基与基的像3 线性变换的矩阵线性变换的矩阵线性变换的矩阵线性变换的矩阵线性变换的矩阵线性变换的矩阵向量像的计算公式向量像的计算公式向量像的计算公式向量像的计算公式线性变换在不同基下矩阵的关系线性变换在不同基下矩阵的关系线性变换在不同基下矩阵的关系线性变换在不同基下矩阵

30、的关系相似矩阵相似矩阵相似矩阵相似矩阵第40页/共208页41一、线性变换、基与基的像一、线性变换、基与基的像设设 V 是数域是数域 P 上上 n 维线性空间，维线性空间，1,2,n 是是 V 的一组基，的一组基，首先来讨论线性变换、基与基的像之间的关系首先来讨论线性变换、基与基的像之间的关系.空间空间 V 中任一向量中任一向量 可以由基可以由基 1,2,n 线线性表出，即性表出，即 =x1 1+x2 2+xn n (1)下面建立线性变换与矩阵的关系下面建立线性变换与矩阵的关系.其中系数是唯一确定的其中系数是唯一确定的.第41页/共208页42由于线性变换保持线性关系不变，由于线性变换保持线性

31、关系不变，A 与基的像与基的像 A 1,A 2,A n 之间也必然之间也必然有相同的关系：有相同的关系：A =A(x1 1+x2 2+xn n )=x1 A(1)+x2 A(2)+xn A(n)(2)如果我们知道了基如果我们知道了基 1,2,n 的像，的像，则线性空间中任意一个向量则线性空间中任意一个向量 的像也就知道了的像也就知道了.(x1,x2,xn)是是 在这组基下的坐标在这组基下的坐标.因而在因而在 的像的像 上式表明，上式表明，第42页/共208页43或者说或者说1.1.设设设设 1 1,2 2,n n 是线性空间是线性空间是线性空间是线性空间 V V 的一组基的一组基的一组基的一组

32、基.如果如果如果如果线性变换线性变换线性变换线性变换 A A 与与与与 B B 在这组基上的作用相同，即在这组基上的作用相同，即在这组基上的作用相同，即在这组基上的作用相同，即 A A i i=B B i i ,i i=1,2,=1,2,n n,那么那么那么那么 A A =B B.即：一线性变换完全由它在一组基上的作用决定即：一线性变换完全由它在一组基上的作用决定.下面指出，下面指出，向量，即可确定线性变换向量，即可确定线性变换.当给定空间当给定空间V 的一组基及任意给定一组的一组基及任意给定一组第43页/共208页442.2.设设设设 1 1,2 2,n n 是线性空间是线性空间是线性空间是

33、线性空间 V V 的一组基的一组基的一组基的一组基.对对对对任意一组向量任意一组向量任意一组向量任意一组向量 1 1,2 2,n n，换换换换 A A，使得使得使得使得 A A i i =i i ,i i=1,2,=1,2,n n.(3)(3)综合以上两点，得综合以上两点，得必有一个线性变必有一个线性变必有一个线性变必有一个线性变第44页/共208页45定理定理 1 设设设设 1 1,2 2,n n 是线性空间是线性空间是线性空间是线性空间 V V 的一的一的一的一组基，组基，组基，组基，1 1,2 2,n n 是是是是 V V 中任意中任意中任意中任意 n n 个向量个向量个向量个向量.存存

34、存存在在在在唯一唯一唯一唯一的线性变换的线性变换的线性变换的线性变换 A A 使使使使A A i i=i i ,i i=1,2,=1,2,n n.有了以上的讨论，我们就可以来建立线性变换有了以上的讨论，我们就可以来建立线性变换与矩阵的联系与矩阵的联系.第45页/共208页46二、线性变换的矩阵二、线性变换的矩阵1.定义定义定义定义 7 7 设设设设 1 1,2 2,n n 是数域是数域是数域是数域 P P 上上上上 n n 维线维线维线维线性性性性空间空间空间空间 V V 的一组基，的一组基，的一组基，的一组基，基向量的像可以由基线性表出：基向量的像可以由基线性表出：基向量的像可以由基线性表出

35、：基向量的像可以由基线性表出：A A 是是是是 V V 中的一个线性变换中的一个线性变换中的一个线性变换中的一个线性变换.第46页/共208页47用矩阵表示就是用矩阵表示就是用矩阵表示就是用矩阵表示就是A A(1 1,2 2,n n)=()=(A A 1 1,A A 2 2,A A n n)=(=(1 1,2 2,n n)A)A ，其中其中其中其中矩阵矩阵矩阵矩阵 A A 称为变换称为变换称为变换称为变换 A A 在基在基在基在基 1 1,2 2,n n 下的矩阵下的矩阵下的矩阵下的矩阵.(5)(5)第47页/共208页48例例例例 1 1 设设 1,2,m 是是 n(n m)维线性空维线性空

36、间间 V 的子空间的子空间 W 的一组基，把它扩充为的一组基，把它扩充为 V 的一组的一组基基 1,2,n.指定线性变换指定线性变换 A 如下：如下：A i =i，当，当 i=1,2,m,A i =0，当，当 i=m+1,n.如此确定的线性变换如此确定的线性变换 A 称为对子空间称为对子空间 W 的一个的一个投影投影投影投影.不难证明投影不难证明投影 A 在基在基 1,2,n 下的矩下的矩阵是阵是第48页/共208页49m 行行m 列列第49页/共208页50这样，当空间这样，当空间 V上上取定一组基后，就建立了由数域取定一组基后，就建立了由数域 P 上的上的 n 维线性空间维线性空间 V 的

37、线性变换到数域的线性变换到数域 P 上上的的 n n 矩阵的一个映射矩阵的一个映射.前面的前面的说明这说明这个映射是单射，个映射是单射，说明这个映射是满射说明这个映射是满射.换换句话说，我们在这二者之间建立了一个双射句话说，我们在这二者之间建立了一个双射.这个这个对应的重要性表现在它保持运算，即有对应的重要性表现在它保持运算，即有第50页/共208页512.性质性质定理定理定理定理 2 2 设设设设 1 1,2 2,n n 是数域是数域是数域是数域 P P 上上上上 n n 维线维线维线维线性空性空性空性空间间间间 V V 的一组基，在这组基下，每个线性变换按的一组基，在这组基下，每个线性变换

38、按的一组基，在这组基下，每个线性变换按的一组基，在这组基下，每个线性变换按对应一个对应一个对应一个对应一个 n n n n 矩阵矩阵矩阵矩阵.这个对应具有这个对应具有这个对应具有这个对应具有以下的性质：以下的性质：以下的性质：以下的性质：1)1)线性变换的和对应于矩阵的和；线性变换的和对应于矩阵的和；线性变换的和对应于矩阵的和；线性变换的和对应于矩阵的和；2)2)线性变换的乘积对应于矩阵的乘积；线性变换的乘积对应于矩阵的乘积；线性变换的乘积对应于矩阵的乘积；线性变换的乘积对应于矩阵的乘积；3)3)线性变换的数量乘积对应于矩阵的数量乘积；线性变换的数量乘积对应于矩阵的数量乘积；线性变换的数量乘积

39、对应于矩阵的数量乘积；线性变换的数量乘积对应于矩阵的数量乘积；第51页/共208页524)4)可逆的线性变换与可逆矩阵对应，且逆变可逆的线性变换与可逆矩阵对应，且逆变可逆的线性变换与可逆矩阵对应，且逆变可逆的线性变换与可逆矩阵对应，且逆变换对应于逆矩阵换对应于逆矩阵换对应于逆矩阵换对应于逆矩阵.证明证明证明证明设设 A，B 是两个线性变换，它们在是两个线性变换，它们在基基 1,2,n 下的矩阵分别是下的矩阵分别是 A，B，即，即A(1,2,n)=(1,2,n)A，B(1,2,n)=(1,2,n)B.1)1)由由(A +B)(1,2,n)=A(1,2,n)+B(1,2,n)第52页/共208页5

40、3=(1,2,n)A+(1,2,n)B=(1,2,n)(A+B).可知，在基可知，在基 1,2,n 下，线性变换下，线性变换 A+B 的的矩阵是矩阵是A+B.2)2)相仿地，相仿地，(AB)(1,2,n)=A(B(1,2,n)=(A(1,2,n)B)=(A(1,2,n)B第53页/共208页54=(1,2,n)AB.因此，在基因此，在基 1,2,n 下，线性变换下，线性变换 A B 的矩的矩是是 AB.3)3)因为因为(k 1,k 2,k n)=(1,2,n)kE.所以数乘变换所以数乘变换 K 在任何一组基下都对应于数量矩在任何一组基下都对应于数量矩阵阵kE.由此可知，数量乘积由此可知，数量乘

41、积 kA 对应于矩阵的数对应于矩阵的数量乘积量乘积 kA.第54页/共208页554)4)单位变换单位变换 E 对应于单位矩阵，因此等式对应于单位矩阵，因此等式A B=BA=E 与等式与等式AB=BA=E相对应，相对应，逆变换与逆矩阵相应逆变换与逆矩阵相应.证毕证毕证毕证毕从而可逆线性变换与可逆矩阵对应，而且从而可逆线性变换与可逆矩阵对应，而且第55页/共208页56定理定理 2 说明数域说明数域 P 上上 n 维线性空间维线性空间 V 的全部线的全部线性变换组成的集合性变换组成的集合 L(V)对于线性变换的加法与对于线性变换的加法与数量乘法构成数量乘法构成 P 上一个线性空间，上一个线性空间

42、，级方阵构成的线性空间级方阵构成的线性空间 P n n 同构同构.利用线性变换的矩阵可以直接计算一个向量的像利用线性变换的矩阵可以直接计算一个向量的像.与数域与数域 P 上上 n第56页/共208页57三、向量像的计算公式三、向量像的计算公式定理定理定理定理 3 3 设线性变换设线性变换设线性变换设线性变换 A A 在在在在 基基基基 1 1,2 2,n n下的下的下的下的矩阵是矩阵是矩阵是矩阵是 A A，(x x1 1,x x2 2,x xn n )，标标标标 (y y1 1,y y2 2,y yn n )可以按公式可以按公式可以按公式可以按公式计算计算计算计算.向量向量向量向量 在基在基在

43、基在基 1 1,2 2,n n 下的坐标是下的坐标是下的坐标是下的坐标是则则则则 A A 在基在基在基在基 1 1,2 2,n n 下的坐下的坐下的坐下的坐第57页/共208页58证明证明证明证明由假设由假设于是于是第58页/共208页59第59页/共208页60另一方面，由假设另一方面，由假设由于由于 1,2,n 线性无关，所以线性无关，所以证毕证毕第60页/共208页61线性变换的矩阵与空间中的一组基有密切联系线性变换的矩阵与空间中的一组基有密切联系.一般来说，随着基的改变，同一个线性变换就一般来说，随着基的改变，同一个线性变换就有不同的矩阵有不同的矩阵.为了利用矩阵来研究线性变换，为了利

44、用矩阵来研究线性变换，线性变换的矩阵是如何随着基的改变而改变的线性变换的矩阵是如何随着基的改变而改变的.有必要弄清楚有必要弄清楚第61页/共208页62四、线性变换在不同基下矩阵的关系四、线性变换在不同基下矩阵的关系定理定理定理定理 4 4 设线性空间设线性空间设线性空间设线性空间 V V 中线性变换中线性变换中线性变换中线性变换 A A 在两组基在两组基在两组基在两组基 1 1,2 2,n n ，(6)(6)1 1,2 2,n n (7)(7)下的矩阵分别为下的矩阵分别为下的矩阵分别为下的矩阵分别为 A A 和和和和 B B，从基，从基，从基，从基 (6)(6)到到到到 (7)(7)的过渡的

45、过渡的过渡的过渡矩阵是矩阵是矩阵是矩阵是 X X，于是于是于是于是 B B=X X-1-1 A XA X.第62页/共208页63证明证明证明证明已知已知(A 1,A 2,A n)=(1,2,n)A，(A 1,A 2,A n)=(1,2,n)B，(1,2,n)=(1,2,n)X.于是于是(A 1,A 2,A n)=A(1,2,n)=A(1,2,n)X=A(1,2,n)X=(A 1,A 2,A n)X 第63页/共208页64=(1,2,n)X-1AX.由此即得由此即得B=X-1AX.证毕证毕证毕证毕定理定理 4 给出了同一个线性变换给出了同一个线性变换 A 在不同基下的在不同基下的矩阵之间的关

46、系矩阵之间的关系.这个基本关系在以后的讨论中十分重要这个基本关系在以后的讨论中十分重要.由此，我们引进相应的定义由此，我们引进相应的定义.=(1,2,n)AX=(1,2,n)X-1 A X.第64页/共208页65五、相似矩阵五、相似矩阵1.1.定义定义定义定义定义定义定义定义 8 8 设设设设 A A，B B 为数域为数域为数域为数域 P P 上两个上两个上两个上两个 n n 级矩阵，级矩阵，级矩阵，级矩阵，若有数域若有数域若有数域若有数域 P P 上的上的上的上的 n n 级可逆矩阵级可逆矩阵级可逆矩阵级可逆矩阵 X X，使得，使得，使得，使得B B=X X-1-1 A XA X ,则称则

47、称则称则称 A A 相似相似相似相似于于于于 B B，记作，记作，记作，记作 A A B B.第65页/共208页662.性质性质相似是矩阵之间具有下面三个性质：相似是矩阵之间具有下面三个性质：1)1)反身性：反身性：反身性：反身性：A A A A.这是因为这是因为 A=E-1AE.2)2)对称性：对称性：对称性：对称性：如果如果如果如果 A A B B，那么，那么，那么，那么 B B A A.如果如果 A B，那么有，那么有 X 使使 B=X-1 A X.令令 Y=X-1 就有就有 A=XBX-1=Y-1BY，所以，所以 B A.第66页/共208页673)3)传递性：传递性：传递性：传递性

48、：如果如果如果如果 A A B B，B B C C，那么，那么，那么，那么 A A C C .即已知即已知 X，Y 使使 B=X-1AX，C=Y-1BY.令令Z=XY，就有，就有 C=Y-1X-1AXY=Z-1AZ，因此因此 A C.矩阵的相似对于运算还有下面的性质矩阵的相似对于运算还有下面的性质.4)4)若若若若 B B1 1=X X-1-1A A1 1X X，B B2 2=X X-1-1A A2 2X X，则，则，则，则B B1 1+B B2 2=X X-1-1(A A1 1+A A2 2)X X；B B1 1B B2 2=X X-1-1(A A1 1 A A2 2)X X.第67页/共2

49、08页685)5)若矩阵若矩阵若矩阵若矩阵 A A 与与与与 矩阵矩阵矩阵矩阵 B B 相似相似相似相似,且矩阵且矩阵且矩阵且矩阵 A A 可逆可逆可逆可逆,则矩阵则矩阵则矩阵则矩阵 B B 也可逆也可逆也可逆也可逆,且且且且 A A-1-1 与与与与 B B-1-1 相似相似相似相似.即即 A-1 与与 B-1 相似相似.证明证明证明证明 因为矩阵因为矩阵 A 与与 矩阵矩阵 B 相似相似,即存在可即存在可|B|=|X-1AX|=|X-1|A|X|=|A|.所以所以,当当|A|0 时时,必有必有|B|0,即即 A 可逆时可逆时,B 也可逆也可逆.设设 X 为可逆矩阵为可逆矩阵,且且 B=X-

50、1AX,则则B-1=(X-1AX)-1=X-1A-1X,矩阵矩阵 X 使得使得 B=X-1AX，于是，于是证毕证毕证毕证毕第68页/共208页69同样同样同样同样 g(g(A A)与与与与 g(g(B B)相相相相似似似似.6)6)若矩阵若矩阵若矩阵若矩阵 A A 与与与与 B B 相似相似相似相似,k k 是常数是常数是常数是常数,mm 是正整是正整是正整是正整数数数数,g(g(x x)=)=a a0 0 x xmm+a a1 1x xmm-1-1+a amm ,则则则则 kAkA 与与与与 kBkB 相似相似相似相似,A Amm 与与与与 B Bmm 相似相似相似相似,有了矩阵相似的概念之