机械设计仿真软件教学文稿.ppt

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1、机械设计仿真软件上课要点上课要点1.上课精力集中，上课精力集中，认真思考认真思考2.认真做好笔记，按时完成作业认真做好笔记，按时完成作业3.遵守课堂纪律遵守课堂纪律 4.（不迟到，不早退，不开手机）（不迟到，不早退，不开手机）第一章 绪论11 机械系统的设计机械系统的设计12 多刚体系统动力学多刚体系统动力学13 牛顿牛顿-欧拉方法欧拉方法14 虚拟样机技术虚拟样机技术1 11 1 机械系统的设计机械系统的设计1.机器机器2.传动传动3.机构机构4.零件零件单缸内燃机单缸内燃机牛头刨床1.机器机器2.传动传动3.机构机构4.零件零件机器、机构、机械系统机器、机构、机械系统机构：机构：是由两个以

2、上具有相对运动的构件是由两个以上具有相对运动的构件组成的系统，机构的作用在于传递运动组成的系统，机构的作用在于传递运动或改变运动的形式。或改变运动的形式。机机器器：是是由由若若干干机机构构组组成成的的系系统统。例例如如，内内燃燃机机包包含含曲曲柄柄滑滑块块机机构构、齿齿轮轮机机构构和和控控制进气与排气的凸轮机构。制进气与排气的凸轮机构。机械系统：是机构与机器的总称。它由许多机械系统：是机构与机器的总称。它由许多构件和零件组成。构件和零件组成。构件与构件与零件的区别零件的区别构件是运动的单元；构件是运动的单元；零件是制造的单元。零件是制造的单元。构件构件：组成机构的各个组成机构的各个相对运动部分

3、相对运动部分称为称为构件构件。构件构件 可以是单一的整体，也可以是几个元件的可以是单一的整体，也可以是几个元件的刚性组合刚性组合。零件零件：组成构件的元件则称为：组成构件的元件则称为零件零件。机械系统设计的基本问题 机械系统设计的基本问题是机构机械系统设计的基本问题是机构的的综合综合、运动学运动学和和动力学动力学分析与设分析与设计。计。机构机构综综合合着重研究着重研究创创造性构思、造性构思、发发明、明、创创新新设计设计新机构的理新机构的理论论和和方法。方法。而而机构的运机构的运动动学学和和动动力学分析力学分析，一方面是用于，一方面是用于现现有机械系有机械系统统的性能分析与改的性能分析与改进进，

4、另一方面是，另一方面是为为机构的机构的综综合提供理合提供理论论依据。依据。因而它因而它们们是机械系是机械系统设计统设计中重点研究的内容，也是本中重点研究的内容，也是本书书要重要重点介点介绍绍的内容。的内容。本课程的任务本课程的任务熟悉熟悉多刚体系统动力学多刚体系统动力学的基本概念、基本理论，掌握的基本概念、基本理论，掌握建立机构的运动分析和动力分析数学模型的方法。建立机构的运动分析和动力分析数学模型的方法。以多刚体系统动力学为理论指导，以多刚体系统动力学为理论指导，虚拟样机技术虚拟样机技术为设为设计手段，研究机械系统的建模方法。计手段，研究机械系统的建模方法。熟悉熟悉ADAMS软件的基本操作，

5、掌握机械系统虚拟样软件的基本操作，掌握机械系统虚拟样机的建模和仿真分析方法，提高机械系统的设计质量，机的建模和仿真分析方法，提高机械系统的设计质量，提高机械产品的性能，提高自主知识产权产品的核心提高机械产品的性能，提高自主知识产权产品的核心竞争力。竞争力。12 多刚体系统动力学多刚体系统动力学 关于关于刚刚体的假体的假设设是不考是不考虑虑物体的物体的变变形。但是物体形。但是物体总总是有是有变变形形的，而物体的的，而物体的变变形形对对系系统统的运的运动动也是有影响的，有也是有影响的，有时则时则有决定性有决定性的影响，因此，的影响，因此，严严格地格地讲讲多多刚刚体系体系统应为统应为多体系多体系统统

6、即柔性体系即柔性体系统统。目前，国内外已从多。目前，国内外已从多刚刚体系体系统统的研究的研究扩扩展到展到多体系多体系统统(包括包括柔体系柔体系统统)的研究的研究。但是，在某些情况，比如构件的。但是，在某些情况，比如构件的变变形很小，形很小，且构件的且构件的变变形形对对系系统统的的动动力学特性影响不大，仍然可以将力学特性影响不大，仍然可以将这类这类系系统视为统视为多多刚刚体系体系统统。我。我们仅们仅研究多研究多刚刚体系体系统统并以此作并以此作为为研究多体研究多体系系统动统动力学的基力学的基础础。工程中的机械系统大多由许多构件组成，研究这些复杂系工程中的机械系统大多由许多构件组成，研究这些复杂系统

7、时，往往可以将构成系统的各构件简化为统时，往往可以将构成系统的各构件简化为刚体刚体，而刚体之间，而刚体之间靠靠运动副运动副连接，从而得到连接，从而得到“多刚体系统多刚体系统”。例如自行车、曲柄滑块机构、汽车中的转向机构、飞机的例如自行车、曲柄滑块机构、汽车中的转向机构、飞机的起落架、工业机器人等起落架、工业机器人等说说明明：运动副运动副 连连接构件的运接构件的运动动副，可以是副，可以是圆圆柱柱铰链铰链(两两刚刚体之体之间间有一个相有一个相对转动对转动的自由度的自由度)，万向万向联轴节联轴节(两个相两个相对转动对转动自由度自由度)，球球铰铰(三个相三个相对转动对转动的自由度的自由度)，也可以是其

8、它形式的也可以是其它形式的运运动动学学约约束束(如棱柱形如棱柱形约约束允束允许许一个相一个相对对滑滑动动的自由度的自由度)，甚至没有物理意，甚至没有物理意义义上的运上的运动动学学约约束，而只有束，而只有力的作用力的作用(如如弹弹簧簧连连接接)，即所，即所谓谓的的广广义铰义铰。多刚体系统类型 多多刚刚体系体系统统从从结结构上可以分构上可以分为为两两类类：树树状状结结构构和和非非树树状状结结构构。两。两类结类结构的区分取决于构的区分取决于“通路通路”的概念。的概念。如果系如果系统统中任意两中任意两刚刚体之体之间间都只有一个通路存在，都只有一个通路存在，则则称系称系统为统为树树状状结结构构，图图中的

9、中的(a)(a)、(c)(c)。如果系。如果系统统中至少有两个中至少有两个刚刚体之体之间间存存在两个在两个(或更多的或更多的)通路，通路，则则称系称系统为统为非非树树状状结结构构，图图中的中的(b)(b)，这时这时，从，从BiBi到到BjBj的两个通路构成一个的两个通路构成一个闭闭合合链链。多刚体系统结构示例 机械系机械系统统中，机械手，空中，机械手，空间飞间飞行器以及人体步行行器以及人体步行时时的的摆摆动动相都可以相都可以视为树视为树状状结结构系构系统统。自行自行车车、曲柄滑、曲柄滑块块机构以及人体站立机构以及人体站立时时的支撑相的支撑相则则可可视视为为非非树树状状结结构系构系统统。树状结构

10、的分类树状结构的分类 树状结构树状结构是研究多体系统动力学的基础，因为任何非树是研究多体系统动力学的基础，因为任何非树状结构均可将其闭合链打开加上某些附加约束而视为树状结状结构均可将其闭合链打开加上某些附加约束而视为树状结构。树状结构又可以分为两类：构。树状结构又可以分为两类：系系统统中中某某刚刚体体(编编号号为为B1)B1)与与一一运运动动已已知知的的刚刚体体(通通常常称称之之为为基基座座，编编号号为为B B0 0)相相铰铰接接，此此类类称称为为有有根根树树。典典型型的的如如工工业机械手。业机械手。系系统统中任一中任一刚刚体都不与基座相体都不与基座相连连此此类类称称为为悬悬空空树树。如如卫卫

11、星、星、腾腾空的运空的运动员动员等。等。多刚体动力学的特点多刚体动力学的特点 多多刚刚体体动动力学的研究内容同力学的研究内容同样样也分也分为为运运动动学和学和动动力学两力学两部分，与部分，与经经典力学的区典力学的区别别之之处处在于多在于多刚刚体系体系统统是十分复是十分复杂杂的的系系统统，其，其自由度数大自由度数大，且各，且各构构件的运件的运动动一般都有一般都有大位移大位移变变化化，因此，不但运因此，不但运动动微分方程数多微分方程数多，且有大量的，且有大量的非非线线性性项项，一般，一般很很难难求得求得解析解解析解，而必，而必须须借助借助计计算机作数算机作数值计值计算。算。多刚体动力学的主要研究多

12、刚体动力学的主要研究 寻求建立多刚体系统运动微分方程的解析方法。这种寻求建立多刚体系统运动微分方程的解析方法。这种方法应是一种规格化的方法，能方便、快捷地统一处理各类方法应是一种规格化的方法，能方便、快捷地统一处理各类问题、面向计算机的分析方法。问题、面向计算机的分析方法。发发展展与与各各种种分分析析方方法法配配套套的的算算法法，以以实实现现复复杂杂非非线线性性常微分方程常微分方程(ODE)(ODE)或微分或微分代数方程代数方程(DAE)(DAE)的数值积分。的数值积分。根根据据计计算算结结果果提提供供易易于于分分析析的的各各种种输输出出形形式式，如如曲曲线线、图象、动画等。图象、动画等。应应

13、用用以以上上方方法法对对具具体体系系统统进进行行分分析析，并并解解决决力力学学性性能能分析、参数优化、寻求最优控制规律等力学问题。分析、参数优化、寻求最优控制规律等力学问题。13 牛顿-欧拉方法 牛顿牛顿欧拉法是一种规格化的方法，能方便、欧拉法是一种规格化的方法，能方便、快捷地统一处理各类问题、面向计算机的分析快捷地统一处理各类问题、面向计算机的分析方法。虽然方程数较多，但建立方程的过程却方法。虽然方程数较多，但建立方程的过程却十分简单，而且易于编程上机计算。十分简单，而且易于编程上机计算。下面讨论如何采用牛顿下面讨论如何采用牛顿欧拉方法对曲柄滑欧拉方法对曲柄滑块机构进行动力学建模方法。块机构

14、进行动力学建模方法。曲柄滑块机构动力学建模曲柄滑块机构动力学建模将将曲曲柄柄滑滑块块机机构构看看作作由由B B1 1和和B B2 2组组成成的的系系统统，解解除除约约束束，如如图图所所示示，X X1 1，Y Y1 1，-X-X1 1，-Y-Y1 1与与Y Y2 2均为约束反力。均为约束反力。列出列出B B1 1、B B2 2的运动微分方程。的运动微分方程。B B1 1只有转动只有转动 B B2 2既有移动又有转动既有移动又有转动 (1.1)(1.1)(1.2)(1.2)曲柄滑块机构动力学建模曲柄滑块机构动力学建模 从从(1.2)(1.2)式至式至(1.3)(1.3)式，前四个式，前四个为为微分

15、方程，后三个微分方程，后三个为为代数方程，代数方程，共七个方程构成一封共七个方程构成一封闭闭方程，可求得七个未知量方程，可求得七个未知量 约约束条件是束条件是A A1 1与与A A2 2点重合以及点重合以及D D点在点在x x轴轴上，上，由此得到由此得到约约束方程束方程为为 (1.3)所以，采用这种方法将使微分代数方程组中的方程数目所以，采用这种方法将使微分代数方程组中的方程数目增多，但每个方程的建立则要简单得多。增多，但每个方程的建立则要简单得多。14 虚拟样机技术虚拟样机技术 虚拟样机技术又称为虚拟样机技术又称为机械系统动态仿真技术机械系统动态仿真技术，是国，是国际上际上2020世纪世纪8

16、080年代随着计算机技术的发展而迅速发展起年代随着计算机技术的发展而迅速发展起来的一项计算机辅助工程（来的一项计算机辅助工程（CAECAE）技术。工程师在计算机）技术。工程师在计算机上上建立样机模型建立样机模型，对模型进行各种，对模型进行各种动态性能分析动态性能分析，然后，然后改进改进样机设计方案样机设计方案，用数字化形式代替传统的实物，用数字化形式代替传统的实物样机样机实验。实验。运用虚拟样机技术，可以运用虚拟样机技术，可以大大简化大大简化机械产品的设计机械产品的设计开发过程，开发过程，大幅度缩短大幅度缩短产品开发周期，产品开发周期，大量减少大量减少产品开产品开发费用和成本，明显发费用和成本

17、，明显提高提高产品质量，产品质量，提高提高产品的系统级产品的系统级性能，获得最优化和创新的设计产品。性能，获得最优化和创新的设计产品。机械系统动力学自动分析软件机械系统动力学自动分析软件ADAMSADAMS(Automatic Dynamic Analysis of Mechanical Systems)(Automatic Dynamic Analysis of Mechanical Systems)是美国是美国MDIMDI公司公司(Mechanical Dynamics lnc.)(Mechanical Dynamics lnc.)开发的著名的开发的著名的虚拟样机分析软件。虚拟样机分析软件

18、。ADAMS ADAMS一方面是虚拟样机分析的应用软件，用户可以运一方面是虚拟样机分析的应用软件，用户可以运用该软件非常方便地对虚拟机械系统进行用该软件非常方便地对虚拟机械系统进行静力学静力学、运动学运动学和和动力学动力学分析分析;另一方面，它又是虚拟样机分析另一方面，它又是虚拟样机分析开发工具开发工具，其开放性的程序结构和多种接口，可以成为特殊行业用户其开放性的程序结构和多种接口，可以成为特殊行业用户进行特殊类型虚拟样机分析的进行特殊类型虚拟样机分析的二次开发工具平台二次开发工具平台。虚拟样机虚拟样机仿真分析基本步骤仿真分析基本步骤如图如图1-31-3所示。所示。仿真分析基本步骤仿真分析基本

19、步骤虚拟样机仿真分析虚拟样机仿真分析机械系统机械系统建模建模l几何建模几何建模l施加约束施加约束运动副和运动参数运动副和运动参数l施加载荷施加载荷仿真仿真分析分析l设置测量和仿真输出设置测量和仿真输出l进行仿真分析进行仿真分析仿真结果仿真结果分析分析l回放仿真结果回放仿真结果l绘制仿真结果曲线绘制仿真结果曲线仿真分析基本步骤仿真分析基本步骤否否是是改进机械改进机械系统模型系统模型l增加摩擦力，改进载荷函数增加摩擦力，改进载荷函数l定义柔性物体和连接定义柔性物体和连接l定义控制定义控制验证仿真验证仿真分析结果分析结果分析分析l输入实验数据输入实验数据l添加实验数据曲线添加实验数据曲线与实验结果一

20、致与实验结果一致重复仿真重复仿真分析分析l设置可变参数点设置可变参数点l定义设计变量定义设计变量机械系统机械系统优化分析优化分析l进行主要设计影响因素研究进行主要设计影响因素研究l进行试验设计研究进行试验设计研究l进行优化研究进行优化研究第二章第二章 动力学动力学基本概念基本概念 2 21 1 非自由系统的约束非自由系统的约束 2 21 11 1 完整约束与非完整约束完整约束与非完整约束 2 21 12 2 定常约束与非定常约束定常约束与非定常约束 2 22 2 广义坐标和自由度广义坐标和自由度 2 22 21 1 广义坐标广义坐标 2 22 22 2 用广义坐标表示的非完整约束方程用广义坐标

21、表示的非完整约束方程 2 22 23 3 坐标变分和自由度坐标变分和自由度 21 非自由系统的约束 多多个个质质点点的的集集合合可可以以组组成成一一个个质质点点系系统统，根根据据系系统统的的运运动动是是否否受受到到预预先先规规定定的的几几何何及及运运动动条条件件的的制制约约，可可以以分分为为自自由由系系统统和和非自由系统非自由系统。对对于于非非自自由由系系统统，那那些些预预先先规规定定的的、与与初初始始条条件件及及受受力力条条件件无无关关的的、限限制制系系统统的的几几何何位位置置或或(和和)速速度度的的运运动动学学条条件件称称为为约约束束。约约束束有有多多种种形形式式，这这里里只只介介绍绍其其

22、中中两类。两类。2 21 11 1 完整约束与非完整约束完整约束与非完整约束 仅仅仅仅限限制制系系统统的的几几何何位位置置(也也称称位位形形)的的约约束束称称为为完整约束。完整约束。完整约束又称为完整约束又称为几何约束几何约束。若不仅限制系统的若不仅限制系统的位形位形而且还限制系统的而且还限制系统的运动运动速度速度，这样的约束称为，这样的约束称为非完整约束非完整约束。完整约束与非完整约束的表达完整约束与非完整约束的表达 约束方程的一般表达约束方程的一般表达式式 若若用用x xi i、y yi i、z zi i表表示示系系统统中中某某质质点点的的笛笛卡卡尔尔直直角角坐坐标标，那那么么N N个个质

23、质点点组组成成的的质质点点系系统统的的完完整整约约束束的的约束方程约束方程可写作可写作 非完整约束的约束非完整约束的约束方程取微分的形式。一个由方程取微分的形式。一个由N N个个质点组成的系统的非完整约束方程可写作质点组成的系统的非完整约束方程可写作(2.1.2)(2.1.2)f fk k(x(x1 1，y y1 1,z,z1 1,x,x2 2，y y2 2,z,z2 2,x,xN N，y yN N,z,zN N,),)0 0 （k k1 1，2 2，3,3,r r r r3N3N）(2.1.1)(2.1.1)图2-1 轮子的约束例例2.1 一个半径为一个半径为r r的轮子沿斜面向下作纯滚动，

24、分析的轮子沿斜面向下作纯滚动，分析轮子所受的约束。轮子所受的约束。解：轮子所受的解：轮子所受的几何约束几何约束为为 (2.1.3)(2.1.3)又又运运动动条条件件的的限限制制是是轮轮子子作作纯纯滚滚动动时时P P点点的的速速度度为为零零,即即 (2.1.4)(2.1.4)或或 (2.1.5)(2.1.5)这一约束方程显然是可积分的，即这一约束方程显然是可积分的，即 (2.1.6)(2.1.6)故而轮子仍受故而轮子仍受完整约束完整约束，其约束方程为，其约束方程为(2.1.3)(2.1.3)式和式和(2(21 16)6)式。式。纯滚动时轮子的约束纯滚动时轮子的约束例例2.2 质点质点m1和和m2

25、由一长由一长为为l的刚性杆相连，设的刚性杆相连，设该系统在图该系统在图2-22-2所示所示xoy平面内运动。若要求平面内运动。若要求杆中点杆中点C的速度保持沿的速度保持沿杆轴方向，分析该系杆轴方向，分析该系统的约束情况。统的约束情况。图图2-2 平面运动杆的约束平面运动杆的约束 解：由于杆是刚性的，所以解：由于杆是刚性的，所以m1与与m2必须满足的必须满足的几何约几何约束束是是 (x1x2)2十十(y1y2)2l2 (217)而而运动约束运动约束是是C点的速度必须沿杆轴方向，即点的速度必须沿杆轴方向，即平面运动杆的约束平面运动杆的约束(2(21 18)8)(2(21 18)8)式说明系统受到一

26、个式说明系统受到一个非完整约束非完整约束。代入代入Ml，M2 2的坐标即为的坐标即为 我们经常遇到的系统一般我们经常遇到的系统一般是非完整系统是非完整系统。非完整约束。非完整约束又分为又分为一阶线性非完整约束一阶线性非完整约束、一阶非线性非完整约束一阶非线性非完整约束、二二阶非完整约束阶非完整约束等。等。N N个质点的系统受到个质点的系统受到k k个一阶线性非完整约束时，其约束个一阶线性非完整约束时，其约束方程可以写作方程可以写作 非完整约束的类型非完整约束的类型或写成或写成 (2.1.10)(2.1.10)(2.1(2.19)9)2 21 12 2 定常约束与非定常约束定常约束与非定常约束

27、约束方程中约束方程中不显含不显含时间时间t t的约束称为的约束称为定常约束定常约束。约束方程中约束方程中显含显含时间时间t t的约束称为的约束称为非定常约束非定常约束。例如由方程例如由方程 所确定的约束为所确定的约束为非定常约束。非定常约束。(2(21 112)12)(2(21 111)11)例如由方程例如由方程 所确定的约束为所确定的约束为定常约束定常约束。例例2.3 例2.3 设质点设质点M所系绳子穿过所系绳子穿过o点，如图点，如图2-3所示，绳子另一端以一匀速所示，绳子另一端以一匀速v拉动拉动使使M在在xy平面内运动。试讨论平面内运动。试讨论M的约的约束。束。图图2-3 质点质点M的非定

28、常约束的非定常约束解解:设设M的起始位置为的起始位置为l0 0，则它到，则它到o点的距离点的距离l将随时间变化。其约束将随时间变化。其约束方程为方程为 x2 2+y2 2(l0 0-vt)2 2 (2 (21 113)13)显然，显然，M M所受的约束所受的约束是非定常约束是非定常约束。2 22 2 广义坐标和自由度广义坐标和自由度 图图2-4 动点动点M的位置的位置2 22 21 1 广义坐标广义坐标 我们习惯于用笛卡尔直角坐标系来描述系统的几何位置即我们习惯于用笛卡尔直角坐标系来描述系统的几何位置即位形。然而，根据问题的不同，位形。然而，根据问题的不同，不一定非得不一定非得采用长度坐标参数

29、采用长度坐标参数来描述系统的几何位置。来描述系统的几何位置。例例如如，描描述述作作平平面面运运动动的的动动点点M的的几何位置几何位置的参数可以用：的参数可以用：直角坐标直角坐标(x，y)，极坐标极坐标(，r)，参数参数(A，)，等等。，等等。这这就就是是说说，动动点点M的的几几何何位位置置可可以以用用不不同同的的参参数数组组来来描描述述，即即有有了了选选择择参参数数的的余余地地。为为此此，引引入入广广义义坐坐标标的概念。的概念。广义坐标的概念广义坐标的概念 所所谓谓广广义义坐坐标标，就就是是选选择择一一组组互互相相独独立立的的参参数数q1 1，q2 2,，qn只只要要它它们们能能够够确确定定系

30、系统统的的位位形形，而而不不管管这这些些参参数数的的几几何何意意义义如如何何。这这样样的的一一组组参参数数就就称称为为广广义义坐坐标标。因因此此，上上述述中中的的(x，y)，(，r)，(A，)等等都都可可以以作作为为描描述述M点点的的位位形形的的广广义义坐坐标标。可可见见，广广义义坐坐标标对对于于某某一一系系统统来来讲讲不不是是唯唯一一的的，或或者者说说，可可以以任任意意选选取。取。广义坐标可以用下面的广义坐标可以用下面的通式通式表示表示 ri iri i(q1 1，q2 2，qn,t)(2)(22 21)1)式式中中，ri表表示示系系统统中中第第i个个质质点点的的位位形形；qj(j1 1，2

31、,2,n)和和t是广是广义义坐坐标标。2 22 22 2 用广义坐标表示的非完整约束方程用广义坐标表示的非完整约束方程 一个由一个由N N个质点组成的系统的非完整约束方程可写作微分形个质点组成的系统的非完整约束方程可写作微分形式。式。xi ixi i(q1 1，q2 2，qn,t)yi iyi i(q1 1，q2 2，qn,t)zi izi i(q1 1，q2 2，qn,t)速度的广义坐标表示速度的广义坐标表示(1)速度的广义坐标表示 设设N个个质质点点组组成成的的系系统统有有n个个广广义义坐坐标标qj(j1,1,n),),且且qjqj(t)，则系统中第，则系统中第i个质点的速度是个质点的速度

32、是式中，相应地式中，相应地 称为称为广义速度广义速度。v可以写作如下投影形式可以写作如下投影形式(2(22 22)2)(2(22 23)3)定常系统定常系统对于定常系统，因对于定常系统，因 (2 (22 24)4)所以，所以，(2 (22 25)5)图图2-5 点点M的速度的速度例2.4 空空间间中中的的一一动动点点M，若若选选取取极极坐坐标标r、为为广广义义坐坐标标，如如图图2-52-5所所示示，求求M点点在在笛笛卡卡尔尔直直角角坐坐标标系系中中的的位位置置和速度。和速度。(2(22 27)7)(2(22 26)6)M点的位置是点的位置是(2(22 28)8)M点的速度为点的速度为于是于是M

33、点的速度为点的速度为(2)(2)用广义坐标表示的非完整约束方程用广义坐标表示的非完整约束方程 一阶线性非完整约束方程已由一阶线性非完整约束方程已由(2(21 19)9)式给出：式给出：把第把第i个质点的速度的广义坐标分量代入该式得到个质点的速度的广义坐标分量代入该式得到图图2-6 微分和变分微分和变分2 22 23 3 坐标变分和自由度坐标变分和自由度 坐标的变分与坐标的微分是两个不同的概念。坐标的变分与坐标的微分是两个不同的概念。设某系统运动的微分方程的解是设某系统运动的微分方程的解是坐标的变分坐标的变分则是指在某一时刻则是指在某一时刻t，qj本身在约束许可条件下的任意本身在约束许可条件下的

34、任意的无限小增量。也就是系统的可的无限小增量。也就是系统的可能运动能运动(图中的虚线所示图中的虚线所示)与真实与真实运动在某时刻的差，记作运动在某时刻的差，记作qj 既有既有不同点不同点，也有，也有共同点共同点。所谓坐标的微分是指在上式所描所谓坐标的微分是指在上式所描述的真实运动中坐标的无限小变述的真实运动中坐标的无限小变化，即经过化，即经过dtdt时间之后发生的坐时间之后发生的坐标变化标变化dqdqj j (图中实线部分图中实线部分)由于都是坐标的无限小由于都是坐标的无限小变化，故变分也表现出变化，故变分也表现出微分的形式，并且和微微分的形式，并且和微分分具有相同的运算规则具有相同的运算规则

35、。自由度计算 我我们们把系把系统统独立的坐独立的坐标变标变分数称分数称为为系系统统的自由度的自由度。如果系如果系统统是是自由的自由的，则则其位形的确定要其位形的确定要3N3N个坐个坐标标。这这些坐些坐标标自自然相互独立，其然相互独立，其变变分也相互独立，故分也相互独立，故自由度自由度为为3N3N。对对于于N N个个质质点点组组成的力学系成的力学系统统，如何计算自由度呢？，如何计算自由度呢？如果系如果系统统受到受到k k个完整个完整约约束束，那么在，那么在3N3N个坐个坐标标中，只有中，只有3N-k3N-k个个相互独立，并且它相互独立，并且它们们的的变变分也相互独立，故其分也相互独立，故其自由度

36、自由度为为3N-k3N-k个。个。如果系如果系统为统为非完整系非完整系统统、假、假设该设该系系统统除了除了k个完整个完整约约束束之外，之外，还还受到受到l个非完整个非完整约约束束，该该系系统统独立的坐独立的坐标标数数为为3N-k个，但其独个，但其独立的坐立的坐标变标变分数只有分数只有3N-k-l个个 (由于由于l个微分形式个微分形式约约束的存在束的存在)，故故系系统统的自由度的自由度为为3N-k-l个个。广广义义坐坐标标数数为为n，独立的坐，独立的坐标标数数,独立的独立的坐坐标变标变分数分数,系系统统的自由度的自由度之间的关系之间的关系。自由度计算综综上所述，若一个系上所述，若一个系统统的的广

37、广义义坐坐标标数数为为n，则则：完整系完整系统统:n=独立的坐独立的坐标标数数 独立的坐独立的坐标变标变分数分数 系系统统的自由度。的自由度。非完整系非完整系统统：n独立的坐独立的坐标标数数 独立的坐独立的坐标变标变分数系分数系统统的自由度。的自由度。n 系系统统的自由度的自由度 例例25 一一平平面面曲曲柄柄滑滑块块机机构构，A、B两两点点的的位位置置可可确确定定系系统统的的位位形，分析其自由度。形，分析其自由度。图图2-7 例例25 解解：这是一个平面机构，这是一个平面机构，A、B共有共有2 2N4个坐标，系统要满足个坐标，系统要满足3 3个完整约束个完整约束 该系统没有非完整约束，因此是

38、一个完整系统，其自由度数为该系统没有非完整约束，因此是一个完整系统，其自由度数为43431 1，独立的坐标数也是，独立的坐标数也是1 1。若选取。若选取为广义坐标，当为广义坐标，当给给定时，整个系统的位形也就确定了。定时，整个系统的位形也就确定了。（2.2.152.2.15）（2.2.162.2.16）作业P12 习题习题2-1，2-43 31 1 刚体绕定点转动的欧拉定理刚体绕定点转动的欧拉定理 3 32 2 描述刚体定点转动的解析法描述刚体定点转动的解析法第三章 刚体定点转动运动学 刚刚体定点体定点转动转动的方向余弦描述的方向余弦描述 刚刚体定点体定点转动转动的欧拉角描述的欧拉角描述 刚刚

39、体定点体定点转动转动的广的广义义欧拉角描述欧拉角描述 3 31 1 刚体绕定点转动的欧拉定理刚体绕定点转动的欧拉定理 方位和方位变化方位和方位变化设设o为刚体的固定点，刚体上某为刚体的固定点，刚体上某ABo可完全确定刚体的方位。可完全确定刚体的方位。今今ABo转到转到ABO，存在一通过固定点，存在一通过固定点的轴的轴OC，当，当0A绕绕OC转过一转过一角到达角到达0A时，时，ABO与与ABO一定完全重合，一定完全重合，这种这种转动通常称为转动通常称为刚体的一次转动刚体的一次转动或或欧拉转欧拉转动动，OC即为即为一次转轴一次转轴或或欧拉转轴欧拉转轴。具有具有固定点的刚体固定点的刚体由某一由某一方

40、位方位到另一方位的到另一方位的方位变方位变化化永远等价于永远等价于绕通过固定点的某轴绕通过固定点的某轴的一个的一个有限有限(转角转角)的的转动转动，这就是，这就是刚体绕定点转动的欧拉定理刚体绕定点转动的欧拉定理。静锥和动锥如果将刚体的转动过程分为如果将刚体的转动过程分为若干时间间隔若干时间间隔，每一时刻，每一时刻欧拉转轴的位置显然是不同的欧拉转轴的位置显然是不同的 。在某一在某一时时刻刻t ti i，当，当时间间时间间隔隔t00时时,oci称称为刚为刚体在体在ti时时刻的刻的瞬瞬时转动轴时转动轴，平均角速度向量的极，平均角速度向量的极值值i称称为为瞬瞬时时角速度向量角速度向量。瞬瞬时转轴时转轴

41、位置的不断位置的不断变变化化在空在空间间形成了以定点形成了以定点O为顶为顶点的点的锥锥面，称之面，称之为为静瞬静瞬时锥时锥面面，简简称称静静锥锥。同同时时它它在在刚刚体内部留下了体内部留下了轨轨迹，构成了迹，构成了动动瞬瞬时时锥锥面面，它也是，它也是以以O为顶为顶点的点的锥锥面，面，简简称称动锥动锥。刚刚体体绕绕定点定点转动转动的的过过程程 刚刚体体绕绕定点定点转动转动的的过过程程可以看成是可以看成是一系列以角速度一系列以角速度i绕绕瞬瞬时转动轴转动时转动轴转动的合成的合成。也也可以可以说说，刚刚体做定点体做定点转动转动时时，动动瞬瞬时锥时锥面在静瞬面在静瞬时锥时锥面上以角速度面上以角速度(t

42、)作无滑作无滑动动的的滚动滚动，见图见图3232。定点转动刚体上点的速度和加速度当刚体相对某动参考系以当刚体相对某动参考系以1转动而此动参考系又以转动而此动参考系又以2相相对定参考系转动，则刚体的运动可以看成绕某个对定参考系转动，则刚体的运动可以看成绕某个OC轴以角轴以角速度速度1 1十十2 2作转动，作转动，OC即为即为的方向。这就是说，刚的方向。这就是说，刚体绕相交轴转动合成时，角速度的合成服从向量加法。体绕相交轴转动合成时，角速度的合成服从向量加法。设设刚刚体体的的瞬瞬时时角角速速度度为为，则则刚刚体体上上相相对对定定点点的的向向径径为为r的点的速度为的点的速度为(3.1.1)(3.1.

43、1)(3.1.2)(3.1.2)其中，其中，为刚体的角加速度；为刚体的角加速度；称为转动加速称为转动加速度；度；称为向心加速度。称为向心加速度。32 描述刚体定点转动的解析法 上一节的讨论实际上是刚体定点转动的一种简上一节的讨论实际上是刚体定点转动的一种简单的、几何的、定性的描述，本节详细介绍刚体单的、几何的、定性的描述，本节详细介绍刚体定点转动的定量的描述。定点转动的定量的描述。刚刚体定点转动的方向余弦描述刚刚体定点转动的方向余弦描述 刚刚体定点转动的欧拉角描述刚刚体定点转动的欧拉角描述 刚刚体定点转动的广义欧拉角描述刚刚体定点转动的广义欧拉角描述 图图 3-3 i和和j 坐标系坐标系(1)

44、方向余弦矩阵 假设以参考空间某一点假设以参考空间某一点O为原点，有两个笛卡尔直角坐标系为原点，有两个笛卡尔直角坐标系 o (简称简称i系系)和和oxyz(简称简称j系系)，各坐标轴之间夹角的余弦值构成了一个方向余弦各坐标轴之间夹角的余弦值构成了一个方向余弦矩阵矩阵A，它可以表示两坐标系之间的，它可以表示两坐标系之间的空间关系空间关系。图图 3-3 i和和j 坐标系坐标系两坐标系之间的两坐标系之间的空间关系空间关系 如果以如果以j j系为参考系，系为参考系，i i系是由系是由j j系系绕绕O O点转动后的结果；同理，如果以点转动后的结果；同理，如果以i i系系为参考系，为参考系，j j系是由系是

45、由i i系绕系绕O O点转动后的点转动后的结果结果.i相对相对j系的方系的方向余弦矩阵向余弦矩阵j相对相对i系的方系的方向余弦矩阵向余弦矩阵 x y z 展开：展开：两矩阵之间的两矩阵之间的关系关系它们是两个正交矩阵，即它们是两个正交矩阵，即矢量Q在不同空间中的表达和转换 假设在假设在j系和系和i系的原点有一系的原点有一空间向量空间向量Q(见图见图3-3)3-3)。用。用Qi(Q，Q，Q)表示表示Q在在i系中系中的位置，用的位置，用Qj(Qx，Qy，Qz)表示表示Q在在j系中的系中的位置位置,则则Qj可用可用Qi来表示为来表示为 三个分量在某轴三个分量在某轴上的投影之和上的投影之和其中其中l1

46、、m1、n1分分别为别为j系的系的x轴与轴与i系的系的、三个轴夹角的余三个轴夹角的余弦值。其余类推。弦值。其余类推。矩阵形式：矩阵形式：同理，同理，Qi可用可用Qj来表示为来表示为 (3.2.4)(3.2.4)图图 3-3 i和和j 坐标系坐标系例3.1例例31 设在惯性空间有一固定不动的向量设在惯性空间有一固定不动的向量Q，在，在i系中的位置为系中的位置为ri(0，1，0)T当坐标系统当坐标系统轴转动轴转动90之后得到之后得到j系系oxyz(见图见图3-4)求求Q在在j系中的位置系中的位置rj。图3-4解：因为解：因为j系相对系相对i系的方向余弦矩阵系的方向余弦矩阵 图3-5例3.2例例3

47、32 2 在上例中，若在上例中，若Q与与j系固连，当系固连，当j系从与系从与i系重合状态绕系重合状态绕轴正向转动轴正向转动9090后，求后，求Q在在i系中的位置系中的位置ri(见图见图3-5)3-5)。解：因解：因Q与与j系固连，所以系固连，所以 rj(0(0，1 1，0)0)T T由上例已知，由上例已知，j系绕系绕轴正向转动轴正向转动9090之后，之后，也意味着也意味着i系绕系绕x轴负向转动轴负向转动9090，即，即 分析结论由上面的例子可以看出，刚体由上面的例子可以看出，刚体作定点转动时，如果我们在定作定点转动时，如果我们在定点点O建立两个坐标系建立两个坐标系:一个为惯一个为惯性参考系即性

48、参考系即定参考系定参考系，以下简，以下简称称定系定系；另一个为与刚体固连；另一个为与刚体固连的坐标，即的坐标，即动坐标系动坐标系，以下简，以下简称称动系动系，那么，那么刚体的空间位刚体的空间位置可以通过两个坐标之间的方置可以通过两个坐标之间的方向余弦矩阵来描述向余弦矩阵来描述。由于方向。由于方向余弦矩阵余弦矩阵9 9个元素中只有个元素中只有3 3个是个是独立的，因此，独立的，因此，刚体定点转动刚体定点转动具有具有3 3个自由度个自由度。图图3-6 定点转动的刚体坐标系定点转动的刚体坐标系(2)连续转动的合成 根据前面的讨论，刚体的每次转动都可以用后次相对前根据前面的讨论，刚体的每次转动都可以用

49、后次相对前次的坐标变换即次的坐标变换即方向余弦方向余弦来描述，那么多次转动的合成如何来描述，那么多次转动的合成如何用用方向余弦矩阵方向余弦矩阵来描述？来描述？用用Q表示刚体，假设开始时表示刚体，假设开始时动系动系oxyz与定系与定系o重合，刚体重合，刚体第一次转动之后动系为第一次转动之后动系为ox1y1z1 (1(1系系)，第二次转动之后动系为，第二次转动之后动系为ox2 2y2 2z2 2(2(2系系)，Q相对定系为相对定系为ro o，相对，相对1 1系为系为r1 1；相对；相对2 2系为系为r2 2，1 1系相对定系、系相对定系、2 2系相对系相对1 1系的方系的方向余弦矩阵分别为向余弦矩

50、阵分别为1 1A0 0和和2 2A1 1，图图3-7 3-7 刚体的连续转动刚体的连续转动连续转动矩阵2 2A0 0表示表示2 2系相对定系的空间关系，系相对定系的空间关系，0 0A2 2表示定系相对表示定系相对2 2系的空间关系。系的空间关系。由此可见，由此可见，若把刚体若把刚体(动系动系)的每次绕定点的有限转动视为的每次绕定点的有限转动视为动系的一次坐标变换，则刚体两次有限转动时，其合成转动系的一次坐标变换，则刚体两次有限转动时，其合成转动的方向余弦矩阵为两次分转动的方向余弦矩阵的顺次乘动的方向余弦矩阵为两次分转动的方向余弦矩阵的顺次乘积。多次转动也具有同样的变换规律积。多次转动也具有同样