矩阵的概念及其运算.ppt

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1、矩阵的概念及其运算 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望一、矩阵的引入一、矩阵的引入1.线性方程组线性方程组当当 时时,上式称为上式称为 元线性方程组元线性方程组方程组的解取决于方程组的解取决于系数系数常数项常数项将方程组的未知量系数将方程组的未知量系数与常数项按原来的位置与常数项按原来的位置可以排成一个矩形数表可以排成一个矩形数表对线性方程组的对线性方程组的研究可转化为对研究可转化为对这张矩形数表的这张矩形数表的研究研究2.某航空公司在某航空公司在A,

2、B,C,D四城市四城市之间开辟了若干航线之间开辟了若干航线,如图所示如图所示表示了四城市间的航班图表示了四城市间的航班图,如果如果从从A到到B有航班有航班,则用带箭头的则用带箭头的线从线从 A 指向指向B发站发站到站到站为了便于计算为了便于计算,把表中的把表中的 改为改为1,而空白处填而空白处填0,那就得到了如下的数表那就得到了如下的数表这个数表反映了四个城市之间的交通连接情况这个数表反映了四个城市之间的交通连接情况二、矩阵的概念定义定义其中其中 称为矩阵的第称为矩阵的第 行行 列列元元矩阵矩阵 也记为也记为或者或者 .称为一个称为一个 矩阵矩阵,由由 个数个数排成的一个排成的一个m行行n列的

3、的数表列的的数表当当 时时,即矩阵的行数等于列数时即矩阵的行数等于列数时,称称 为为n阶方阵阶方阵其中其中 称为方阵称为方阵A的主对角线元的主对角线元.当当 矩阵矩阵 中所有的元均为零时中所有的元均为零时,称称 为为 零矩阵零矩阵,记为记为 .若不引起混淆若不引起混淆,记为记为 .注意注意不同阶数的零矩阵是不相等的不同阶数的零矩阵是不相等的.三、几种特殊的方阵一阶方阵一阶方阵 视同普通的数视同普通的数 .通常对角矩阵记为通常对角矩阵记为对角矩阵对角矩阵：如果：如果 阶方阵阶方阵 中的元满足中的元满足则称则称 是对角矩阵是对角矩阵数量矩阵数量矩阵：如果：如果 阶对角矩阵阶对角矩阵 中元中元很多书

4、也记为很多书也记为 或或 .特别的特别的,当当 时时,该数量矩阵称为该数量矩阵称为单位矩阵单位矩阵,记为记为 或或上上(下下)三角矩阵三角矩阵：如果：如果 阶方阵阶方阵 中的元满足中的元满足则称则称 为为上上三角矩阵三角矩阵如果如果 阶方阵阶方阵 中的元满足中的元满足则称则称 为为下下三角矩阵三角矩阵.下上其实其实,引例中航班只有单程的情况比较少见引例中航班只有单程的情况比较少见,国内航班国内航班大多为双程大多为双程,也就是说也就是说,其路线矩阵为对称矩阵其路线矩阵为对称矩阵.对称矩阵对称矩阵：如果：如果 阶方阵阶方阵 中的元满足中的元满足则称则称 为对称矩阵为对称矩阵反称矩阵反称矩阵：如果：

5、如果 阶方阵阶方阵 中元满足中元满足则称则称 为反称矩阵为反称矩阵.由定义可以推出由定义可以推出,若若 为反称矩阵为反称矩阵,则则 ,即即因此反称矩阵的因此反称矩阵的主对角线元全为零主对角线元全为零2.2 矩阵的运算矩阵的运算一、矩阵的加法一、矩阵的加法一、矩阵的加法一、矩阵的加法二、矩阵的数乘二、矩阵的数乘二、矩阵的数乘二、矩阵的数乘三、矩阵的乘积三、矩阵的乘积三、矩阵的乘积三、矩阵的乘积四、矩阵的转置四、矩阵的转置四、矩阵的转置四、矩阵的转置定义定义且满足且满足如果如果 是两个是两个 矩阵矩阵,则称矩阵则称矩阵 与矩阵与矩阵 相等相等,记为记为对比行列式相等的概念对比行列式相等的概念只要两

6、个行列式值相等，就说这两个行列式相等只要两个行列式值相等，就说这两个行列式相等行数列数对应相等的矩阵为行数列数对应相等的矩阵为同型矩阵同型矩阵两个两个 矩阵矩阵 的的和和定义定义指的是指的是 矩阵矩阵 ,即即只有只有同型矩阵同型矩阵才能相加，结果也是才能相加，结果也是同型矩阵同型矩阵交换律交换律结合律结合律其中其中 ,是同类型矩阵是同类型矩阵负矩阵负矩阵记记 ,则称其为则称其为 的负矩阵的负矩阵定义定义减法减法减法同样也要求减法同样也要求同型矩阵同型矩阵加减法其实是两个矩阵的加减法其实是两个矩阵的对应位置上的元分别相加相减对应位置上的元分别相加相减设设 是是 矩阵矩阵,是常数是常数,数数 与矩

7、阵与矩阵定义定义的乘积指的是矩阵的乘积指的是矩阵 ,记为记为 ,即即数数 与矩阵与矩阵 的乘积就是把的乘积就是把 中的每个元都乘以中的每个元都乘以 .数乘后的矩阵与原矩阵为数乘后的矩阵与原矩阵为同型矩阵同型矩阵数乘法则数乘法则若若 ,则则矩阵相加与数乘矩阵合起来矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的统称为矩阵的线性运算线性运算.矩阵矩阵 完全由矩阵完全由矩阵 和矩阵和矩阵 决定决定,中第中第 行第行第 列元列元 是由是由 中第中第 行的每一个元与行的每一个元与 中第中第 列的对应元相列的对应元相乘然后再相加得到的乘然后再相加得到的设设 是是 矩阵矩阵,是是 矩阵矩阵定义定义则由元则由元构成的构

8、成的 矩阵矩阵称为矩阵称为矩阵 与矩阵与矩阵 的的乘积乘积,记为记为S列S行 与与 乘积的第乘积的第 行行 列元列元 是由是由 中的第中的第 行的每一个元行的每一个元与与 中的第中的第 列的对应元相乘然后得到列的对应元相乘然后得到i 行j 列乘积矩阵乘积矩阵 的行数等于的行数等于 的行数，列数等于的行数，列数等于 的列数的列数位于位于左边左边的矩阵的矩阵 的的列数列数与位于与位于右边右边的矩阵的矩阵 的的行数行数相同相同ABC=AB动动笔动动笔矩阵乘法不满足交换律矩阵乘法不满足交换律注意：注意：矩阵乘法的运算规则矩阵乘法的运算规则（其中（其中 为常数）为常数）;设设A是是 阶矩阵，称阶矩阵，称

9、 为为A的的 次幂，即次幂，即 并且并且不一样的乘法不一样的乘法存在不一定 存在都存在也不一定相等却可能等于并不能推出并不能推出并不能推出方程组可用矩阵表示为 用矩阵表示线性方程组用矩阵表示线性方程组定义定义将矩阵将矩阵 的行取作列（或列取作行），的行取作列（或列取作行），可得到一个可得到一个 矩阵，称此矩阵为矩阵，称此矩阵为 的的转置矩阵转置矩阵，的转置，记为的转置，记为简称简称矩阵转置的性质矩阵转置的性质（其中（其中 为常数）为常数）;阶方阵阶方阵 是对称矩阵的充要条件是是对称矩阵的充要条件是 阶方阵阶方阵 是反称矩阵的充要条件是是反称矩阵的充要条件是对对n阶方阵阶方阵 ,将将A中元按照原来顺序做中元按照原来顺序做定义定义一个一个n阶行列式阶行列式,称之为称之为方阵方阵A的行列式的行列式,记为记为或或性质性质1、2、3、不一样不一样!设设A是是n阶方阵阶方阵,若若 ,则称则称A为为非奇异矩阵非奇异矩阵定义定义(非退化矩阵非退化矩阵).否则称否则称A为为奇异矩阵奇异矩阵(退化矩阵退化矩阵).