线性代数课件-01n阶行列式的定义及性质.ppt

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1、线线 性性 代代 数数 电子教案1第第一一讲讲阶阶行行列列式式的的定定义义及及其其性性质质主要内容：主要内容：二、三阶行列式的定义；二、三阶行列式的定义；全排列及其逆序数；全排列及其逆序数；n n阶行列式的定义及其性质；阶行列式的定义及其性质；排列对换、排列对换、n n阶行列式的第二种定义阶行列式的第二种定义.基本要求：基本要求：会用对角线法则计算会用对角线法则计算2 2阶和阶和3 3阶行列式；阶行列式；知道知道n n阶行列式的定义及其性质阶行列式的定义及其性质.2一、二阶行列式的引入一、二阶行列式的引入第第一一节节 2阶阶和和3阶阶行行列列式式用消元法解二元线性方程组用消元法解二元线性方程组

2、两式相减消去两式相减消去 ，得，得3方程组的解为方程组的解为由方程组的四个系数确定由方程组的四个系数确定.类似地，消去类似地，消去 ，得，得当当 时，时，4二、二阶行列式的定义二、二阶行列式的定义定义定义定义定义 由四个数排成二行二列（横排称行、竖排由四个数排成二行二列（横排称行、竖排称列）的数表称列）的数表即即5二二阶阶行行列列式式的的计计算算对对角角线线法法则则主对角线主对角线副对角线副对角线对于二元线性方程组对于二元线性方程组若记若记系数行列式系数行列式6789则二元线性方程组的解为则二元线性方程组的解为注意注意 分母都为原方程组的系数行列式分母都为原方程组的系数行列式.10解解例例例例

3、1 1 1 111三、三阶行列式的定义三、三阶行列式的定义定义定义定义定义记记记记列标列标行标行标（6 6）式称为数表（）式称为数表（5 5）所确定的）所确定的三阶行列式三阶行列式三阶行列式三阶行列式.12三三阶阶行行列列式式的的计计算算对对角角线线法法则则注意注意 红线上三元素的乘积冠以正号，黄线上三红线上三元素的乘积冠以正号，黄线上三元素的乘积冠以负号元素的乘积冠以负号说明说明 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式对角线法则只适用于二阶与三阶行列式13 利用三阶行列式求解三元线性方程组利用三阶行列式求解三元线性方程组 如果三元线性方程组如果三元线性方程组的系数行列式的系数行列式14若记若记或

4、或15记记即即1617得得18得得19则三元线性方程组的解为则三元线性方程组的解为:20例例例例 解解解解按对角线法则，有按对角线法则，有21例例例例3 3 3 3解解解解方程左端方程左端22例例4 4 解线性方程组解线性方程组解解解解由于方程组的系数行列式由于方程组的系数行列式23同理可得同理可得故方程组的解为故方程组的解为:24四、小结四、小结二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性方程组二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性方程组引入的引入的.对角线法则对角线法则二阶与三阶行列式的计算二阶与三阶行列式的计算三阶行列式包括三阶行列式包括3!3!项项,每一项都是位于不同行每一项都是位于不同行,不同

5、列的三个元素的乘积不同列的三个元素的乘积,其中三项为正其中三项为正,三项为三项为 负负.25About Determinant A determinant is a number that is assigned to a square array of number in a certain way.This idea was considered as early as 1683 by The Japanese mathematician Seki TakakazuAnd independently in 1693 by the German mathematician Gottfried

6、 Leibniz,about 160 years before a separate theory of matrices developed.For many years,determinants appeared mainly in discussions of systems ofLinear equations.26一、有关概念一、有关概念第第二二节节 全全排排列列及及其其逆逆序序数数引例引例用用1、2、3三个数字，可以组成多少个没三个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？有重复数字的三位数？解解1 2 3123百位百位3 3种放法种放法十位十位1231个位个位12 32 2种放法

7、种放法1 1种放法种放法种放法种放法.共有共有 1.1.概念的引入概念的引入272.2.全排列及其逆序数全排列及其逆序数问题问题定义定义把把 个不同的元素排成一列，叫做这个不同的元素排成一列，叫做这 个元素的全排列（或排列）个元素的全排列（或排列）.个不同的元素的所有排列的种数，通常个不同的元素的所有排列的种数，通常用用 表示表示.由引例由引例同理同理28排列的逆序数排列的逆序数 在一个排列在一个排列 中，若数中，若数 例如例如 排列排列32514 中，中，定义定义 我们规定各元素之间有一个标准次序我们规定各元素之间有一个标准次序,n n 个个不同的自然数，规定由小到大为不同的自然数，规定由小

8、到大为标准次序标准次序.3 2 5 1 4逆序逆序逆序逆序逆序逆序则称这两个数组成一个则称这两个数组成一个逆序逆序.29定义定义 一个排列中所有逆序的总数称为此排列的一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数逆序数.逆序数为零的排列称为标准排列逆序数为零的排列称为标准排列.例如例如 排列排列32514 中，中，3 2 5 1 4故此排列的故此排列的逆序数为逆序数为3+1+0+1+0=5.逆序数为逆序数为1逆序数为逆序数为33.排列的奇偶性排列的奇偶性逆序数为奇数的排列称为逆序数为奇数的排列称为奇排列奇排列;逆序数为偶数的排列称为逆序数为偶数的排列称为偶排列偶排列.30分别计算出排列中每个元素前

9、面比它大的数码分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码个数，即算出排列中每个元素的逆序数，每个个数，即算出排列中每个元素的逆序数，每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数.例例1 1 求排列求排列32514的逆序数的逆序数.解解在排列在排列32514中中,3排在首位排在首位,逆序数为逆序数为0;2的前面比的前面比2大的数只有一个大的数只有一个3,故逆序数为故逆序数为1;二、计算排列逆序数的方法二、计算排列逆序数的方法分别计算出排在分别计算出排在 前面比它大的数前面比它大的数的个数，即分别算出的个数，即分别算出 这这 个元个元素的逆序数，这个元素的逆序数的

10、总和即为所素的逆序数，这个元素的逆序数的总和即为所排列的逆序数排列的逆序数.方方法法1方方法法2313 2 5 1 4于是排列于是排列32514的逆序数为的逆序数为5的前面没有比的前面没有比5大的数大的数,其逆序数为其逆序数为0;1的前面比的前面比1大的数有大的数有3个个,故逆序数为故逆序数为3;4的前面比的前面比4大的数有大的数有1个个,故逆序数为故逆序数为1;32例例2 2 计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇偶性偶性.解解此排列为此排列为偶排列偶排列.33解解当当 时为偶排列；时为偶排列；当当 时为奇排列时为奇排列.根据方法根据方法2 234解解当当

11、为偶数时，排列为偶排列，为偶数时，排列为偶排列，当当 为奇数时，排列为奇排列为奇数时，排列为奇排列.35三、小结三、小结 3.计算排列的逆序数的方法有两种计算排列的逆序数的方法有两种 1.个不同元素的所有排列种数个不同元素的所有排列种数2.排列具有奇偶性排列具有奇偶性36一、概念的引入一、概念的引入第第三三节节 阶阶行行列列式式的的定定义义和和性性质质三阶行列式三阶行列式说明说明（1）三阶行列式共有三阶行列式共有 项，即项，即 项项（2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积乘积（3）每项的正负号都取决于位于不同行不同列每项的正负号都取决于位于不同行不同列

12、 的三个元素的下标排列的三个元素的下标排列37列标排列的逆序数为列标排列的逆序数为偶排列偶排列奇排列奇排列例如例如列标排列的逆序数为列标排列的逆序数为38二、阶行列式的定义二、阶行列式的定义定义定义39第一定义式：第一定义式：40说明说明1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的定义的;2 2、阶行列式是阶行列式是 项的代数和项的代数和;3、阶行列式的每项都是位于不同行、不同阶行列式的每项都是位于不同行、不同列列 个元素的乘积个元素的乘积;4、一阶行列式一阶行列式 不

13、要与绝对值记号相混淆不要与绝对值记号相混淆;5、的符号为的符号为41例题例题例例1 1计算对角行列式计算对角行列式分析分析解解在阶行列式的定义中，行列式的元素在阶行列式的定义中，行列式的元素记作，记号不仅代表一个数，还表明这个记作，记号不仅代表一个数，还表明这个数在行列式中的位置本例中是具体数，不能显示数在行列式中的位置本例中是具体数，不能显示它们在行列式中的位置因此，需要把数在行列式它们在行列式中的位置因此，需要把数在行列式中的位置标示出来中的位置标示出来从而得到乘积中各元素的列标排列为从而得到乘积中各元素的列标排列为42即行列式中不为零的项为即行列式中不为零的项为所以所以 只能等于只能等于

14、 ,同理可得同理可得从而这个项为零，从而这个项为零，展开式中项的一般形式是展开式中项的一般形式是43例例 证明证明对角行列式对角行列式44证明证明第一式是显然的第一式是显然的,下面证第二式下面证第二式.若记若记则依行列式定义则依行列式定义证毕证毕45例例 计算上计算上三角行列式三角行列式分析根据行列式的定义，分析根据行列式的定义，展开式中项的一般形式是展开式中项的一般形式是所以不为零的项只有所以不为零的项只有解解当时当时，此项等于零，因此此项等于零，因此对于对于当时当时，从而此项也等于零，因此从而此项也等于零，因此46同理可得同理可得下三角行列式下三角行列式47例例48三、行列式行列式的第二种

15、定义1.1.对换对换 在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，这种做出新排列的手续叫做动，这种做出新排列的手续叫做对换对换，将相邻两个将相邻两个元素对换，叫做元素对换，叫做相邻对换相邻对换.例如例如对换对换相邻对换相邻对换492.2.对换与排列的奇偶性的关系对换与排列的奇偶性的关系定理定理1 一个排列中的任意两个元素对换，排列一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性改变奇偶性.推论推论 奇排列变成标准排列的对换次数为奇数；奇排列变成标准排列的对换次数为奇数；偶排列变成标准排列的对换次数为偶数偶排列变成标准排列的对换次数为偶数.证明证明503.3.

16、行列式的第二种定义行列式的第二种定义 对于行列式展开式的任意一项对于行列式展开式的任意一项其中行标排列其中行标排列 为自然排列，为自然排列，为列标排列为列标排列的逆序数的逆序数，交换交换 与与 的位置得的位置得这时，这一项的值不变，而行标排列与列标排列同这时，这一项的值不变，而行标排列与列标排列同作了一次相应的对换：作了一次相应的对换：51 由于行标排列和列标排列都作了一次对换，因此由于行标排列和列标排列都作了一次对换，因此它们逆序数之和的奇偶性没有改变它们逆序数之和的奇偶性没有改变.则则 和和 的奇偶性相同，从而的奇偶性相同，从而 这表明，行列式的展开式中每一项前的符号由行这表明，行列式的展

17、开式中每一项前的符号由行标排列和列标排列的逆序数之和的奇偶性确定标排列和列标排列的逆序数之和的奇偶性确定.当列当列标排列变为标准排列时，行标排列相应的变为一个标排列变为标准排列时，行标排列相应的变为一个新的排列，设为新的排列，设为 ，其逆序数为，其逆序数为 ，则，则52定理定理2阶行列式也可定义为阶行列式也可定义为其中其中为行标排列的为行标排列的 逆序数逆序数.第二种定义式第二种定义式53四、行列式的性质四、行列式的性质记记行列式行列式称为行列式称为行列式的的转置行列式转置行列式.性质性质1 1 行列式与它的转置行列式相等行列式与它的转置行列式相等.说明说明 此性质表明，行列式中的行和列具有同

18、等的地此性质表明，行列式中的行和列具有同等的地位，行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立，位，行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立，反之亦然反之亦然.证明证明54性质性质2 2 互换行列式的两行（列），行列式变号互换行列式的两行（列），行列式变号.推论推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则此如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式等于零行列式等于零.证明证明性质性质3 3 证明证明行列式的某一行（列）中所有的元素都乘行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数以同一数 ,等于用数等于用数 称此行列式称此行列式.性质性质4 4推论推论行列式中如果有两行（列）元素成比例，行列式中如果有两

19、行（列）元素成比例，则此行列式等于零则此行列式等于零.行列式中某一行（列）的所有元素的公因行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面子可以提到行列式符号的外面.举例举例55性质性质5 5若行列式的某一行（列）的元素都是两数若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，例如第之和，例如第 列的元素都是两数之和：列的元素都是两数之和：则则 等于下列两个行列式之和：等于下列两个行列式之和：说明说明 此性质表明行列式可以按照某一行（列）分拆此性质表明行列式可以按照某一行（列）分拆成两个行列式成两个行列式.56性质性质6 6 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同把行列式的某一列（行）的各

20、元素乘以同一数然后加到另一列（行）对应的元素上一数然后加到另一列（行）对应的元素上去，行列式的值不变去，行列式的值不变.例如例如以数以数k乘第乘第1列加到第列加到第3列列57五、小结五、小结1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的要而定义的.2、阶行列式共有阶行列式共有 项，每项都是位于不同项，每项都是位于不同行、不同列的行、不同列的 个元素的乘积个元素的乘积,正负号由下标排正负号由下标排列的逆序数决定列的逆序数决定.3、行列式共有行列式共有6 6条性质和两条推论条性质

21、和两条推论.58思考题思考题2、分别用两种方法求排列、分别用两种方法求排列16352487的逆序数的逆序数.1 1、求一个二次多项式求一个二次多项式,使使3、已知已知,59思考题解答思考题解答1、解、解设所求的二次多项式为设所求的二次多项式为由题意得由题意得得一个关于未知数得一个关于未知数 的线性方程组的线性方程组,又又得得故所求多项式为故所求多项式为602、解、解用方法用方法1 11 6 3 5 2 4 8 7 用方法用方法2 2由前向后求每个数的逆序数由前向后求每个数的逆序数.613、解、解含含 的项有两项的项有两项,即即对应于对应于又又62作业：作业：P26 1.(2)(4)2.(1)(

22、3)(5)(6)3.63定理定理1的证明的证明先证相邻对换的情形先证相邻对换的情形.设排列为设排列为变为变为 这些元这些元素的逆序数经过对换并不改变，而素的逆序数经过对换并不改变，而 两元素的逆两元素的逆序改变为：当序改变为：当 时，经过对换后时，经过对换后 的逆序数增的逆序数增加加1 1而而 的逆序数不变；的逆序数不变；当当 时，经过对换后时，经过对换后 的逆序数不变而的逆序数不变而 的逆序数减少的逆序数减少1.1.所以这两个排列所以这两个排列的奇偶性不同的奇偶性不同.再证一般对换的情形再证一般对换的情形.64邻对换，变成邻对换，变成次相邻对换，变成次相邻对换，变成 总之，总之，次相邻对换，

23、排列次相邻对换，排列变成排列变成排列所以这两个排列的奇偶性不同所以这两个排列的奇偶性不同.把它作把它作再作再作经经 返回返回次相次相65性质性质1 1的证明的证明记记则则根据定义根据定义根据第二种定义根据第二种定义返回返回下标不表示在行下标不表示在行列式中的位置列式中的位置66性质性质2 2的证明的证明对换对换 两行得到两行得到则当则当 时时，当当 时时，于是于是67这时，行标排列这时，行标排列 为自然排列，列标排为自然排列，列标排列为列为而而 为为排列 的 逆序数逆序数，设排列设排列 逆序数为逆序数为 ，则，则返回返回68以数以数 乘第四行的各乘第四行的各元素加到第一行：元素加到第一行：(1)(2)返回返回69性质性质3 3的证明的证明记记则当则当 时，时，当当 时时，于是于是返回返回70