线性代数第二章方阵的行列式.ppt

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1、线性代数线性代数 第二章第二章第二章第二章 方阵的行列式方阵的行列式 本章教学内容本章教学内容1 n阶行列式的定义阶行列式的定义2 方阵行列式的性质方阵行列式的性质3 展开定理与行列式的计算展开定理与行列式的计算1 n阶行列式的定义阶行列式的定义1.排列与逆序数排列与逆序数定义定义 由由1,2,n按任何一种次序排成的有序数按任何一种次序排成的有序数组组i1 i2 in称为一个称为一个n级排列，简称排列级排列，简称排列.例例 3级排列：级排列：123,132,213,231,312,321,共共6个个性质性质 不同的不同的n级排列共级排列共n!个个.排列排列123，从小到大排，全顺；，从小到大排

2、，全顺；排列排列132，32,但但3排在排在2之前，即之前，即32是一个逆序是一个逆序定义定义 在一个排列在一个排列i1 i2 in中中,若若it is中中,但但it排在排在is之前，则称之前，则称it与与is组成一个逆序组成一个逆序.i1 i2 in中所有逆中所有逆序的总数称为此排列的逆序数序的总数称为此排列的逆序数,记为记为(i1 i2 in).1 1 n阶行列式的定义阶行列式的定义公式公式 若若排列排列i1 1 i2 2 in n中中,it t之后有之后有kt t个数比个数比it t小小(t=1,2,=1,2,n-1),-1),则则(i1 1 i2 2 in n)=k1+k2+kn-1.

3、例例 (53421)=(52431)=定义定义 逆序数为奇数的排列称为奇排列；逆序数为奇数的排列称为奇排列；逆序数为偶数的排列称为偶排列；逆序数为偶数的排列称为偶排列；例例 (53421)=9,53421为奇排列；为奇排列；(52431)=8,52431为偶排列。为偶排列。作一次对换作一次对换改变了排列改变了排列的奇偶性的奇偶性1 1 n阶行列式的定义阶行列式的定义定义定义 将一个排列的两个元素对调，而其余元素将一个排列的两个元素对调，而其余元素不动，这种构成一个新排列的变换称为对换不动，这种构成一个新排列的变换称为对换.定理定理 一次对换必改变排列的奇偶性一次对换必改变排列的奇偶性.(证略证

4、略)例例1 设设3x452y是一个是一个6级奇排列，求级奇排列，求x,y.解解 (314526)=2+0+1+1+0=4,314526是偶排列，是偶排列，364521是奇排列，是奇排列，x=6,y=1.推论推论 所有所有n级排列中奇偶排列各占一半，级排列中奇偶排列各占一半，例例 n级排列级排列n(n-1)21是奇排列还是偶排列？是奇排列还是偶排列？解解 (n(n-1)21)=(n-1)+(n-2)+1所以当所以当n=4k或或n=4k+1时，时，n(n-1)21是偶排列；是偶排列；当当n=4k+2或或n=4k+3时，时，n(n-1)21是奇排列是奇排列.(上述上述n为正整数，为正整数，k为整数为

5、整数)1 1 n阶行列式的定义阶行列式的定义2.n阶行列式的定义阶行列式的定义我们已学过二阶行列式与三阶行列式我们已学过二阶行列式与三阶行列式二阶行列式二阶行列式例例一种一种算式算式行列式行列式的值的值1 1 n阶行列式的定义阶行列式的定义三阶行列式三阶行列式例例下面我们来观察三阶行列式的值的特点下面我们来观察三阶行列式的值的特点1 1 n阶行列式的定义阶行列式的定义三阶行列式三阶行列式1.右边每项都是三个元素的乘积，这三个元素位于右边每项都是三个元素的乘积，这三个元素位于行列式的不同行、不同列，除正负号外均可写成行列式的不同行、不同列，除正负号外均可写成的形式，第一个下标的形式，第一个下标(

6、行标行标)排成标准排列排成标准排列123，第，第二个下标二个下标(列标列标)排成一个排成一个3级排列级排列j1j2j3，3级排列共级排列共有有3!=6个，故右边共有个，故右边共有6项。项。1 1 n阶行列式的定义阶行列式的定义三阶行列式三阶行列式2.带正号的三项，列标排成排列带正号的三项，列标排成排列123,231,321,均均是偶排列；带负号的三项，列标排成排列是偶排列；带负号的三项，列标排成排列321,213,132,均是奇排列，因此三阶行列式的值可写为均是奇排列，因此三阶行列式的值可写为表示对所有不同的表示对所有不同的3级排列求和级排列求和1 1 n阶行列式的定义阶行列式的定义仿三阶行列

7、式，可定义仿三阶行列式，可定义n阶行列式阶行列式定义定义 n阶方阵阶方阵A=(aij)的行列式记为的行列式记为 A 或或detA.也称为也称为n阶行列式阶行列式.注注1.均布项共有均布项共有n!个，一半取正号个，一半取正号,一半取负号；一半取负号；2.当当n3时，不宜用时，不宜用“对角线法则对角线法则”计算行列式的值计算行列式的值表示对所有不同的表示对所有不同的n级排列求和级排列求和均布项均布项符号因子符号因子来自不同行来自不同行不同列的不同列的n个元素的积个元素的积1 1 n阶行列式的定义阶行列式的定义3.一阶行列式一阶行列式 a11=a11,例例 一阶行列式一阶行列式 -2=-2，(这不是

8、绝对值这不是绝对值)4.行列式的值也可定义为行列式的值也可定义为1 1 n阶行列式的定义阶行列式的定义例例2 证明证明证证 当当ij时，时，aij=0,则则j1=1，j2=2，jn=n，即可能不等于零的均布项只有即可能不等于零的均布项只有a11a22 ann，又又(12 n n)=0,)=0,即即此项的符号为正号，此项的符号为正号，所所 以以D=a11a22 ann1 1 n阶行列式的定义阶行列式的定义仿例仿例2 证明可知证明可知1 1 n阶行列式的定义阶行列式的定义例例4其中其中A11,A22,为方阵为方阵.例例1 1 n阶行列式的定义阶行列式的定义更一般的有更一般的有1 1 n阶行列式的定

9、义阶行列式的定义本节学习要求本节学习要求 理解逆序数、奇排列与偶排列概念，会求一理解逆序数、奇排列与偶排列概念，会求一个排列的逆序数，会判断一个排列的奇偶性；个排列的逆序数，会判断一个排列的奇偶性；理解行列式的概念，会判断某一个均布项的符理解行列式的概念，会判断某一个均布项的符号，熟悉上号，熟悉上(下下)三角形方阵、对角方阵的行列式三角形方阵、对角方阵的行列式的值。的值。作业：习题作业：习题2.1(A)第第1(1),3,5题题2 2 n阶行列式的性质阶行列式的性质 本节教学内容本节教学内容1.1.行列式的性质行列式的性质2.2.方阵行列式的性质方阵行列式的性质2 2 n阶行列式的性质阶行列式的

10、性质1.1.行列式的性质行列式的性质 为了方便行列式的计算，我们来为了方便行列式的计算，我们来讨论讨论 行列式行列式的性质的性质.2 2 n阶行列式的性质阶行列式的性质性质性质 行列式具有分行可加性，即行列式具有分行可加性，即1 1 n阶行列式的定义阶行列式的定义证证2 2 n阶行列式的性质阶行列式的性质性质性质 设设A为方阵，则为方阵，则 AT T=A 证证 性质性质2 2表明，行列式对行成立的性质，对列也表明，行列式对行成立的性质，对列也成立成立.由性质由性质1 1、2 2有有2 2 n阶行列式的性质阶行列式的性质性质性质 2.1 行列式具有分列可加性，即行列式具有分列可加性，即2 2 n

11、阶行列式的性质阶行列式的性质例例推论推论 行列式的某一行行列式的某一行(列列)的元素全为零，则行列的元素全为零，则行列式的值为零式的值为零.证证 设设行列式的第行列式的第i行行(列列)的元素全为零，因行列的元素全为零，因行列式的均布项都含第式的均布项都含第i行行(列列)的元素，故其值为零的元素，故其值为零.2 2 n阶行列式的性质阶行列式的性质性质性质即即或或1 1 n阶行列式的定义阶行列式的定义证证 第一式第一式再由性质再由性质2得第二式得第二式.推论推论2.1 行列式的某一行行列式的某一行(列列)的公因子可提到行的公因子可提到行列式的外面列式的外面.2 2 n阶行列式的性质阶行列式的性质性

12、质性质即即第第j行行第第i行行2 2 n阶行列式的性质阶行列式的性质或或1 1 n阶行列式的定义阶行列式的定义证证 第一式第一式再由性质再由性质2得第二式得第二式.2 2 n阶行列式的性质阶行列式的性质例例推论推论 行列式有两行行列式有两行(列列)相同，则行列式的值相同，则行列式的值为零。为零。证证 设行列式设行列式D的第的第i行行(列列)与第与第j行行(列列)相同，则相同，则2 2 n阶行列式的性质阶行列式的性质例例推论推论 行列式有两行行列式有两行(列列)对应元素成比例，则对应元素成比例，则行列式的值为零。行列式的值为零。证证 设设n阶方阵阶方阵A的第的第i行与第行与第j行对应元素成比例，

13、行对应元素成比例，即即 ajs=kais(s=1,2,n)，若，若k=0,结论成立，若结论成立，若k 0,则则B的第的第i行行(列列)与第与第j行行(列列)相同，相同，(由性质由性质知列的情形也成立知列的情形也成立)2 2 n阶行列式的性质阶行列式的性质例例=0-2r1+r22 2 n阶行列式的性质阶行列式的性质性质性质即即2 2 n阶行列式的性质阶行列式的性质或或证证 由性质由性质及推论及推论得到得到.2 2 n阶行列式的性质阶行列式的性质例例1 1 2 2 n阶行列式的性质阶行列式的性质例例2 2 2 2 n阶行列式的性质阶行列式的性质例例3 3 计算行列式计算行列式解解 2 2 n阶行列

14、式的性质阶行列式的性质2.2.方阵行列式的性质方阵行列式的性质定理定理 设设A,B为为n阶方阵，阶方阵，为常数，为常数，m为正整为正整数，则数，则 A=n A ；AB=A B ；Am=A m .注注 一般的一般的 A+B A+B ；虽然虽然ABBA，但，但 AB=BA ；由由推得，下证推得，下证 2 2 n阶行列式的性质阶行列式的性质证明证明 A=n A ；证证 设设A=(=(aij),),则则 2 2 n阶行列式的性质阶行列式的性质证明证明 AB=A B ；证证 设设A=(=(aij),),B=(=(bij),),由上节例由上节例4 4知知D=A B，另一方面另一方面 2 2 n阶行列式的性

15、质阶行列式的性质 (证毕证毕)2 2 n阶行列式的性质阶行列式的性质本节学习要求本节学习要求 熟悉行列式的性质与方阵的性质，熟练计算行熟悉行列式的性质与方阵的性质，熟练计算行列式的值。列式的值。作业作业：习题习题2.2(A)第第1(1)(3)题题 习题习题2.2(B)第第1(1)(3)题题3 3 展开定理与展开定理与行列式的计算行列式的计算 本节教学内容本节教学内容1.行列式按一行行列式按一行(列列)展开定理展开定理2.Laplace定理定理1.行列式按一行行列式按一行(列列)展开定理展开定理三阶行列式的一个计算公式三阶行列式的一个计算公式3 3 展开定理与展开定理与行列式的计算行列式的计算M

16、ij称为称为aij的的余子式余子式Aij称为称为aij的的代数余子式代数余子式3 3 展开定理与展开定理与行列式的计算行列式的计算定义定义 在在n阶方阵阶方阵A=(aij)的的行列式行列式 A 中，中，划掉元划掉元素素aij所在的第所在的第i行和第行和第j列后，留下的元素排成的列后，留下的元素排成的n-1阶行列式阶行列式Mij称为元素称为元素aij的的余子式余子式，Aij=(-1)i+jMij称称为元素为元素aij的的代数余子式代数余子式.定理定理 n阶方阵阶方阵A=(aij)的的行列式行列式其中其中Aij为元素为元素aij的的代数余子式代数余子式.(证略证略)按第按第i行展开行展开按第按第j

17、列展开列展开3 3 展开定理与展开定理与行列式的计算行列式的计算例例1 1 3 3 展开定理与展开定理与行列式的计算行列式的计算#3 3 展开定理与展开定理与行列式的计算行列式的计算例例2 2计算行列式计算行列式3 3 展开定理与展开定理与行列式的计算行列式的计算解解 按第一行展开按第一行展开3 3 展开定理与展开定理与行列式的计算行列式的计算例例3 3 证明证明Vandermonde(Vandermonde(范德蒙德范德蒙德)行列式行列式右边表示满足右边表示满足11ijn的所有的所有xj-xi作连乘作连乘.如如3 3 展开定理与展开定理与行列式的计算行列式的计算证证(数学归纳法数学归纳法)3

18、 3 展开定理与展开定理与行列式的计算行列式的计算则则3 3 展开定理与展开定理与行列式的计算行列式的计算#3 3 展开定理与展开定理与行列式的计算行列式的计算例例4 4 计算行列式计算行列式解解 当当x=0=0或或y=0=0时时,D=0,=0,下设下设xy0,0,3 3 展开定理与展开定理与行列式的计算行列式的计算注注 此法称加边法此法称加边法.3 3 展开定理与展开定理与行列式的计算行列式的计算例例4 4 计算行列式计算行列式另解另解3 3 展开定理与展开定理与行列式的计算行列式的计算定理定理 设设n阶方阵阶方阵A=(aij),Aij为为aij的代数余子式的代数余子式当当i j时，时，ai

19、1Aj1+ai2Aj2+ainAjn=0；a1iA1j+a2iA2j+aniAnj=0；证证 将将 A 按第按第j行展开，得行展开，得再用再用aik代换代换ajk,得得ai1ai1ai2ai2ainain0=同理可证列的情形同理可证列的情形.3 3 展开定理与展开定理与行列式的计算行列式的计算例例5 设设4阶行列式阶行列式 A 中中a12=2,a22=m,a32=k,a42=3;M12=1,M22=-1,M32=1,M42=-1;A14=3,A24=1,A34=4,A44=2，且，且 A=1，求，求m,k的值。的值。解解 M12=1,M22=-1,M32=1,M42=-1，知，知 A12=-1

20、,A22=-1,A32=-1,A42=-1，由定理由定理和定理和定理得得解之得解之得m=4,k=-2.3 3 展开定理与展开定理与行列式的计算行列式的计算2.Laplace(拉普拉斯拉普拉斯)定理定理先介绍两个概念先介绍两个概念定义定义 设设D是一个是一个n阶行列式，在阶行列式，在D中取某中取某k个行个行及某及某k个列个列(1kn)，由这些行与列相交处的元素构，由这些行与列相交处的元素构成一个成一个k阶行列式，叫做阶行列式，叫做D的一个的一个k阶子式阶子式。定义定义 设设D是一个是一个n阶行列式，阶行列式，N是是D的某个的某个k阶阶子式，在子式，在D中划去中划去N所在的行及所在的列后，剩下所在

21、的行及所在的列后，剩下的的n-k阶子式阶子式M，称为子式，称为子式N的的余子式余子式。若。若N所在行所在行的序数是的序数是i1,i2,ik，所在列的序数是，所在列的序数是j1,j2,jk，叫做叫做N的的代数余子式代数余子式。3 3 展开定理与展开定理与行列式的计算行列式的计算例例 设设则则3 3 展开定理与展开定理与行列式的计算行列式的计算例例 设设则则3 3 展开定理与展开定理与行列式的计算行列式的计算定理定理3.3(Laplace拉普拉斯拉普拉斯)设设D是一个是一个n阶行列阶行列式，在式，在D中取定某中取定某k个行个行(1 kn-1)，则含于此，则含于此k行行的所有的所有k阶子式与其代数余

22、子式的乘积之和等于阶子式与其代数余子式的乘积之和等于D.注注1.此定理通常说成行列式此定理通常说成行列式按某按某k行展开行展开；同理；同理行列式也可按某行列式也可按某k列展开列展开.2.定理定理是是Laplace定理的特例定理的特例.3.n阶行列式阶行列式D中取定某中取定某k个行，含于此个行，含于此k行的所有行的所有k阶子式共有阶子式共有 所以只有这些子式大部分为所以只有这些子式大部分为0时，应用定理才方便时，应用定理才方便.4.第一节例第一节例4是是Laplace定理的特例，即定理的特例，即1 1 n阶行列式的定义阶行列式的定义推论推论3 3 展开定理与展开定理与行列式的计算行列式的计算例例7 计算行列式计算行列式解解 取定取定2,5列展开列展开3 3 展开定理与展开定理与行列式的计算行列式的计算例例8 8 计算计算解解：3 3 展开定理与展开定理与行列式的计算行列式的计算本节学习要求本节学习要求 掌握行列式按一行掌握行列式按一行(列列)展开定理，熟练它去展开定理，熟练它去计算行列式的值，理解计算行列式的值，理解 Laplace定理，会用它对行定理，会用它对行列式作简便计算。列式作简便计算。作业作业：习题：习题2.3(A)2.3(A)第第1(1),2(3)1(1),2(3)题题 习题习题2.3(B)2.3(B)第第1(2),2(1)1(2),2(1)题题