一函数极限连续.pptx

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1、一、一、函数、极限、连续函数、极限、连续1.函数定义定义:定义域 值域设函数为特殊的映射:其中定义域：使表达式有意义的实数全体或由实际意义确定。第1页/共38页函数的特性有界性,单调性,奇偶性,周期性 复合函数(构造新函数的重要方法)初等函数由基本初等函数 经有限次四则运算与有限次复合而成且能用一个式子表示的函数.例如例如.函数函数函数函数基本初等函数:常数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数第2页/共38页2 极限极限 极限定义的等价形式(以 为例)极限存在准则及极限运算法则第3页/共38页无穷小无穷小无穷小的性质;无穷小的比较;常用等价无穷小:两个重要极限两个重要极限 等价无

2、穷小代换第4页/共38页存在(或为 )定理定理(洛必达法则)说明说明:定理中换为之一,条件 2)作相应的修改,定理仍然成立.洛必达法则第5页/共38页3.连续与间断连续与间断函数连续的定义函数间断点第一类（左右极限存在）第二类（左右极限至少有一个不存在）可去间断点跳跃间断点无穷间断点振荡间断点重要结论：初等函数在定义区间内连续第6页/共38页例例3.设函数在 x=0 连续,则 a=,b=.提示提示:第7页/共38页有无穷间断点及可去间断点解解:为无穷间断点,所以为可去间断点,极限存在例例4.设函数设函数试确定常数 a 及 b.第8页/共38页二、二、导数和微分导数和微分导数导数 定义:当时,为

3、右导数当时,为左导数 微分微分:关系关系:可导可微导数几何意义导数几何意义:切线斜率切线斜率1.有关概念第9页/共38页例例5.5.设设在处连续,且求解解:第10页/共38页2.导数和微分的求法正确使用导数及微分公式和法则（要求记住！）隐函数求导法参数方程求导法高阶导数的求法(逐次求一阶导数）第11页/共38页例例6.求由方程求由方程在 x=0 处的导数解解:方程两边对 x 求导得因 x=0 时 y=0,故确定的隐函数第12页/共38页例7.求解解:关键关键:搞清复合函数结构 由外向内逐层求导第13页/共38页三、多元函数微分法1.多元显函数求偏导和高阶偏导2.复合函数求偏导注意正确使用求导符

4、号3.隐函数求偏导将其余变量固定，对该变量求导。第14页/共38页4.全微分5.重要关系:函数可导函数可导函数可微函数可微偏导数连续偏导数连续函数连续函数连续第15页/共38页例8.求求解法解法1:解法解法2:在点(1,2)处的偏导数.第16页/共38页解：设则例例例例9.9.9.9.设设设设第17页/共38页 拉格朗日中值定理 四、导数与微分的应用1.微分中值定理及其相互关系微分中值定理及其相互关系 罗尔定理 柯西中值定理 第18页/共38页函数单调性的判定及极值求法若定理定理 1.设函数则 在 I 内单调递增(递减).在开区间 I 内可导,3.3.函数的性态函数的性态:2.2.导数的几何意

5、义导数的几何意义第19页/共38页极值第一判别法极值第一判别法且在空心邻域内有导数,(1)“左左正正右右负负”,(2)“左左负负右右正正”,第20页/共38页极值第二判别法极值第二判别法二阶导数,且则 在点 取极大值;则 在点 取极小值.第21页/共38页例例10.确定函确定函数数的单调区间.解解:令得故的单调增单调增区间为的单调减单调减区间为第22页/共38页例例11.求函求函数数的极值.解解:1)求导数2)求驻点令得驻点3)判别因故 为极小值;又故需用第一判别法判别.第23页/共38页定理2.(凹凸判定凹凸判定法法)(1)在 I 内则 在 I 内图形是凹的;(2)在 I 内则 在 I 内图

6、形是凸的.设函数在区间I 上有二阶导数凹弧凸弧的分界点为拐点凹弧凸弧的分界点为拐点第24页/共38页例例12.求曲求曲线线的凹凸区间及拐点.解解:1)求2)求拐点可疑点坐标令得对应3)列表判别故该曲线在及上向上凹,向上凸,点(0,1)及均为拐点.凹凹凸第25页/共38页的连续性及导函数例例13.填空题填空题(1)设函数其导数图形如图所示,单调减区间为 ;极小值点为 ;极大值点为 .提示提示:的正负作 f(x)的示意图.单调增区间为 ;第26页/共38页 .在区间 上是凸弧;拐点为 提示提示:的正负作 f(x)的示意图.形在区间 上是凹弧;则函数 f(x)的图(2)设函设函数数的图形如图所示,第

7、27页/共38页曲线方程为参数方程切线方程切线方程切向量切向量法平面方程法平面方程4.4.4.4.多元函数微分法的应用多元函数微分法的应用多元函数微分法的应用多元函数微分法的应用(1)在几何中的应用求曲线的切线及法平面第28页/共38页曲面 在点 M 的法向量法向量法线方程法线方程切平面方程切平面方程第29页/共38页法线方程法线方程当光滑曲面当光滑曲面 的方程为显式的方程为显式 切平面方程切平面方程第30页/共38页上求一点,使该点处的法线垂直于例例14.在曲面并写出该法线方程.提示提示:设所求点为则该点的法向量为利用得平面法线垂直于平面点在曲面上第31页/共38页说明说明:使偏导数都为 0

8、 的点称为驻点.极值必要条件极值必要条件函数偏导数,但驻点不一定是极值点.且在该点取得极值,则有存在(2)(2)极值与最值问题极值与最值问题极值的必要条件与充分条件第32页/共38页时,具有极值 极值充分条件极值充分条件的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数,且令则:1)当A0 时取极小值.2)当3)当时,没有极值.时,不能确定,需另行讨论.若函数第33页/共38页极值问题无条件极值:条 件 极 值:条件极值的求法:方法方法1 代入法代入法.求一元函数的无条件极值问题对自变量只有定义域限制对自变量除定义域限制外,还有其它条件限制例如,转化第34页/共38页引入辅助函数则极值点满足:方法方法方法方法2 2 2 2 拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法.解该方程组，得极值点。第35页/共38页例15.要设计一个容量为则问题为求x,y,令解方程组解解:设 x,y,z 分别表示长、宽、高,下水箱表面积最小.z 使在条件水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？的长方体开口水箱,试问 第36页/共38页得唯一驻点由题意可知合理的设计是存在的,长、宽为高的 2 倍时，所用材料最省.因此,当高为第37页/共38页感谢您的观看！第38页/共38页