统计物理学习讲义.ppt

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1、统计物理学习讲义 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望统计物理、自旋玻璃和复杂系统统计物理、自旋玻璃和复杂系统统计物理做什么？统计物理做什么？自旋玻璃自旋玻璃(Spin Glasses)是什么？是什么？它们在复杂系统研究中有何应用？它们在复杂系统研究中有何应用？它们的局限性？它们的局限性？探讨：对我们的研究有何启发？探讨：对我们的研究有何启发？学习提纲和计划学习提纲和计划(欢迎补充修改欢迎补充修改)基本概念介绍nEntropy,Boltzmann分布(p

2、artition function)nExample:K-SAT问题的相变Dynamics and Landscapesn各态历尽,landscapes,Monte Carlo SimulationnExample:Simulated Annealing(模拟退火)Meanfield,Replica Symmetry,Cavity MethodsnMeanfield 用于网络动力学的例子nReplica Symmetry 用于组合问题的例子nCavity Methods:Survey Propagation Critical Phenomena&Power-lawn相变nSOC,HOT/COL

3、D理论谁报名来主讲？统计物理统计物理Statistical physics is about systems composed of many parts.集体行为集体行为 组合数学和概率理论组合数学和概率理论Traditional examples:n气体、液体、固体-原子或分子；n金属、半导体-电子;n量子场-量子，电磁场-光子等Complex systems examples:n生态系统-物种n社会系统-人n计算机网络-计算机n市场-经纪人agentn鱼群-鱼、鸟群-鸟、蚁群-蚂蚁n组合问题组合问题 变量变量 研究复杂系统为什么要学习统计物理？研究复杂系统为什么要学习统计物理？Colle

4、ctive Behavior 群群体行为体行为集体行为：n系统由大量相似的个体组成n全局行为不依赖于个体的精确细节，而相互作用必须合理定义，并且不要太复杂；n个体在单独存在的行为与在整体中的行为很不一样.(在整体中各个体行为变得相似)；n相互作用的类型：吸引、抗拒、对齐n主要的集体现象：相变、模式形成、群组运动、同步 n研究手段：统计物理、多主体计算机模拟“磁化”现象:go个体行为 邻居动作的平均方向同步掌声恐慌现象http:/angel.elte.hu/vicsek/自旋玻璃自旋玻璃(Spin Glasses)简单的理想模型，性质丰富，易于研究个体:spin si;系统:多个spin局部相互

5、作用以最简单的Ising模型为例：nsi=1 或者 1n在lattice上排列，相邻spin之间有相互作用n能量(Hamiltonian)：E=-J(i-1)isi-1siJij0,偏好相邻同向；Jij0,偏好相邻不同向；Jij=0,无相互作用考虑外部场 E=-Jijsisj-hisi性质：有序/无序、受挫、相变、对称破缺现实中的例子：组合问题、恐慌人群、经济模型(-)(+)(+)?sisi+1si-1J(i-1)iJi(i+1)E=-JijsisjSpin GlassConfiguration r=s1,s2,snHamiltonian(E,Cost function):E(r)J=HJ(r

6、)=-JiksiskQuenched variable:J,random variable a probability distribution P(J)Different Spin model:different P(J)Notation:=PJ(s)g(s)So-called Disorder:Structural parameter J is random and have large complexity自旋玻璃例子自旋玻璃例子-K-SAT问题问题经典NP-完全问题N个布尔变量:xi=True/False,si=1/-1M个clauses:M个含k个变量的逻辑表达式K=3,3-SAT:

7、c1:x1 or(not x3)or x8,c2:(not x2)or x3 or(not x4),c3:x3 or x7 or x9,目标：满足所有M个clauses 的 N个布尔变量的一组赋值Spin glass 的能量 E=-a=1,M(Ca=T),Ground State E=-M 解状态结果：当K=3,M/N 4.25,问题求解困难 恐慌现象恐慌现象行人建模：期望移动速度、与他人的排斥力、与墙壁的作用力、个人速度的扰动恐慌（由于火灾或者大众心理）：n人们希望移动更快n人与人之间的物理冲突更厉害；n出口处障碍、堵塞形成；n危险压力出现；n人群开始出现大众恐慌心理；n看不到其它的出口；计

8、算机模拟实验：(Go)n单出口房间：无恐慌、恐慌、惊跑、带圆柱、火灾n走廊：直走廊、中间加宽的走廊n人群：个人主义、群体心理、两者综合Begin统计物理能做什么？怎么做？基本点：n只关心状态的概率，并不关心演化的过程（假设各态历经）n熵最大核心：Boltzmann分布(partition function)学习提纲和计划学习提纲和计划基本概念介绍nEntropy,Boltzmann分布(partition function)nExample:K-SAT问题的相变Dynamics and Landscapesn各态历尽,landscapes,Monte Carlo SimulationnExam

9、ple:Simulated Annealing(模拟退火)Meanfield,Replica Symmetry,Cavity MethodsnMeanfield 用于网络动力学的例子nReplica Symmetry 用于组合问题的例子nCavity Methods:Survey Propagation Critical Phenomena&Power-lawn相变nSOC,HOT/COLD理论EntropyMicrostate r:a specific configuration of systemMacrostate R:an evaluation value(R):number of m

10、icrostates related to a macrostateMicro-canonical entropy:S(R)=k log(R)More General forms:A macrostate R:pi for system be found in a microstate i A distribution of microstates.Gibbs Entropy:S(R)=-k pi logpi Maximum the most possible distribution of microstates Without constraint on pi,pi=1/N S is ma

11、ximized(n(ni i)=M!/n)=M!/n1 1!n!n2 2!.n!.nNN!,!,p pi i=n=ni i/M/MWith Constraint on pi:Partition Function ZObservable quantity E(Hamiltonian)Ergodic Hypothesis(time average=ensemble average)We know:nFrom experiments:,nEi for all ri,and=piEi,pi=1.We want to know the most probable distribution of micr

12、ostates Maximize S=-kpilogpi and we get:pi=e-Ei/Z,Z=ie-Ei (=(kT)-1)So,pi and is decided by Ei and Knowing or T and Ei,we can define the most possible distribution of microstates pi and Z T Z distribution is less symmetricalToy ExamplewThree microstates:E1=0,E2=2,E3=3wWe have p1E1+p2E2+p3E3=e.g.2p2+3

13、p3=,and p1+p2+p3=1 w 3 temperatures:decreasing order of TZ p1p2p311.50.105 2.540 0.393 0.319 0.287210.420 1.716 0.583 0.252 0.16530.31.083 1.154 0.867 0.099 0.034Important conceptslPartition function:Z(T,E)=re-E(r)/T Knowing this,we can do a lot of things!Variance of E,#sol,lFree Energy:F=-k T lnZ (

14、?)lEntropy S=-(F/T)E=-k pilnpi Z and#sol(ground state)Z(T)=re-E(r)/T=H=1,2,r|E(r)=H e-H/T When T0,system are most likely in the ground state.e-E(r)/T 0 except E(r)=0Z(0)=r|E(r)=0 e-0=r|E(r)=0So,number of ground states=Z(0).In T0,Z also counts other r that E(r)0.But the lower T,the r with lower E(r)Z

15、 counts.Z is decreasing when T is decreasing.The K-SAT result considers T=0.学习提纲和计划学习提纲和计划基本概念介绍nEntropy,Boltzmann分布(partition function)nExample:K-SAT问题的相变Dynamics and Landscapesn各态历尽,landscapes,Monte Carlo SimulationnExample:Simulated Annealing(模拟退火)Meanfield,Replica Symmetry,Cavity MethodsnMeanfie

16、ld 用于网络动力学的例子nReplica Symmetry 用于组合问题的例子nCavity Methods:Survey Propagation Critical Phenomena&Power-lawn相变nSOC,HOT/COLD理论各态历尽各态历尽w对任意2个系统状态r1和r2,r1可以经过有限部变换到r2.00011011熵最大分布的三个条件熵最大分布的三个条件 Rij=probability of ri changes to rj 方程的平衡状态是熵最大分布,必须要满足：np=Rp,R 有唯一的主特征向量(特征值为1)n各态历经n细致平衡：平衡态时，piRij=pjRjiErgo

17、dicity breaking and LandscapewMapping of microstates onto energiesbarrierr1r2r3rnVery high,unlikely to cross,when system size is large,T is low:pi/pj=e-(Ei-Ej)/TMonte Carlo Simulationw设定状态转换矩阵，使得系统演化服从我们希望的状态分布 P。w如果各态历尽和细致平衡，有w 把P代入就可以得到Rij Simulated Annealing目标P是Boltzmann分布：pie-Ei/T。Rij/Rji=e-(Ej-

18、Ei)/T Rij=1if EjEi e-(Ej-Ei)/T if EjEiSimulated Annealing:nWe want to minimize EnT=0,ergodicity breaking,favors minimal EnT0,barriers can be crossed,favors more states Most problems have many metastable states(local optima),various scales of barriers heights学习提纲和计划学习提纲和计划基本概念介绍nEntropy,Boltzmann分布(p

19、artition function)nExample:K-SAT问题的相变Dynamics and Landscapesn各态历尽,landscapes,Monte Carlo SimulationnExample:Simulated Annealing(模拟退火)Meanfield,Replica Symmetry,Cavity MethodsnMeanfield 用于网络动力学的例子nReplica Symmetry 用于组合问题的例子nCavity Methods:Survey Propagation Critical Phenomena&Power-lawn相变nSOC,HOT/COL

20、D理论Replica Approach and P(J)For a given J,free energy density:fJ=-1/(N)ln ZJFor a P(J),we want to know:=P(J)fJFor n replicas:Zn=JP(J)(ZJ)n(ZJ)n=s1s2sn exp-a=1nHJ(sa)si is the i th replica.fn=-1/(nN)ln Zn,ln Z=Lim n0(Zn-1/n)We get:=Lim n0 fn f0参考教材参考教材 http:/ Newman 2001 复杂系统暑期学校教材 http:/www.santafe.

21、edu/mark/budapest01/K-SAT相变:Nature,Vol 400,July 1999,p133-137Survey Propagation:Science,Vol 297,Aug.2002,p812-815,p784-785.SOC:大自然如何工作,Per Bak.HOT/COLD:nHOT:Highly Optimized Tolerance:A Mechanism for Power Laws in Designed Systems.J.M.Carlson,John Doyle.(April 27,1999)nCOLD:Optimal design,robustness,and risk aversion.M.E.J.Newman,Michelle Girvan and J.Doyne Farmer