函数的平均变化率.ppt

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1、中国人民大学附属中学中国人民大学附属中学1.1.1 函数的平均变化率函数的平均变化率微积分主要与四类问题的处理相关微积分主要与四类问题的处理相关:一、已知物体运动的路程作为时间的函数一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的求物体在任意时刻的速度速度与与加速度加速度等等;二、求二、求曲线的切线曲线的切线;三、求已知函数的三、求已知函数的最大值与最小值最大值与最小值;四、求四、求长度、面积、体积和重心长度、面积、体积和重心等。等。导数是微积分的核心概念之一它是研究导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有

2、效的工具。题最一般、最有效的工具。例子例子:假设下图是一座山的剖面示意图，并在假设下图是一座山的剖面示意图，并在上面建立平面直角坐标系。上面建立平面直角坐标系。A是出发点，是出发点，H是山顶。爬山路线用函数是山顶。爬山路线用函数y=f(x)表示。表示。H 自变量自变量x表示某旅游者的水平位置，函表示某旅游者的水平位置，函数值数值y=f(x)表示此时旅游者所在的高度。表示此时旅游者所在的高度。想想看，如何用数量表示此旅游者登山路想想看，如何用数量表示此旅游者登山路线的平缓及陡峭程度呢？线的平缓及陡峭程度呢？某旅游者从某旅游者从A点爬到点爬到B点，假设这段山路点，假设这段山路是平直的。设点是平直的

3、。设点A的坐标为的坐标为(x0，y0)，点，点B的的坐标为坐标为(x1，y1)，自变量，自变量x的改变量为的改变量为x1x0，记作，记作x，函数值的改变量为，函数值的改变量为y1y0，记，记作作y，即，即x=x1x0，y=y1y0，假设向量假设向量 对对x轴的倾斜角为轴的倾斜角为，直线，直线AB的斜率为的斜率为k，容易看出，容易看出 于是此人从点于是此人从点A爬到点爬到点B的位移可以用的位移可以用向量向量 来表示，来表示，显然，显然，“线段线段”所在直线的斜率的绝所在直线的斜率的绝对值越大，山坡越陡。这就是说，竖直位对值越大，山坡越陡。这就是说，竖直位移与水平位移之比移与水平位移之比 的绝对值

4、越大，山的绝对值越大，山坡越陡；反之，山坡越平缓。坡越陡；反之，山坡越平缓。现在摆在我们面前的问题是：山路是现在摆在我们面前的问题是：山路是弯曲的，怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭弯曲的，怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度呢？程度呢？一个很自然的想法是将弯曲的山路分一个很自然的想法是将弯曲的山路分成许多小段，每一小段的山坡可视为平直成许多小段，每一小段的山坡可视为平直的。例如，山坡的。例如，山坡DE可近似的看作线段可近似的看作线段DE，再用对平直山坡，再用对平直山坡AB分析的方法，得到此分析的方法，得到此段山路的陡峭程度可以用比值近似地刻画。段山路的陡峭程度可以用比值近似地刻画。注意各小段的注意各小

5、段的 是不尽相同的。但不是不尽相同的。但不管是哪一小段山坡，高度的平均变化都可管是哪一小段山坡，高度的平均变化都可以用起点、终点的纵坐标之差与横坐标之以用起点、终点的纵坐标之差与横坐标之差的比值差的比值 来度量。来度量。由此我们引出由此我们引出函数平均变化率函数平均变化率的概念。的概念。平均变化率的概念：平均变化率的概念：一般地，已知函数一般地，已知函数y=f(x)，x0，x1是其定是其定义域内不同的两点，记义域内不同的两点，记x=x1x0，y=y1y0=f(x1)f(x0)=f(x0+x)f(x0).则当则当x0时，商时，商称作函数称作函数y=f(x)在区间在区间x0，x0+x(或或x0+x

6、，x0)的平均变化率。的平均变化率。进一步理解：进一步理解：1.式子中式子中x、y的值可正、可负，但的值可正、可负，但的的x值不能为值不能为0，y 的值可以为的值可以为0；2.若函数若函数f(x)为常函数时，为常函数时，y=0；3.变式变式:例例1求函数求函数y=x2在区间在区间x0，x0+x(或或x0+x，x0)的平均变化率。的平均变化率。解：函数解：函数y=x2在区间在区间x0，x0+x(或或x0+x，x0)的平均变化率为的平均变化率为 由上式可以看出，当由上式可以看出，当x0取定值时，取定值时，x取不同的值，函数的平均变化率不同，当取不同的值，函数的平均变化率不同，当x取定值，取定值，x

7、0取不同的值时，该函数的平取不同的值时，该函数的平均变化率也不一样。均变化率也不一样。例如，例如，x0取正值，并不断增大时，该函取正值，并不断增大时，该函数的平均变化率也不断地增大，曲线变得数的平均变化率也不断地增大，曲线变得越来越陡峭。越来越陡峭。例例2求函数求函数 在区间在区间x0，x0+x(或或x0+x，x0)的平均变化率的平均变化率(x00，且，且x0+x0).解：函数解：函数 的平均变化率为的平均变化率为 例例3已知函数已知函数f(x)=x2+x的图象上的一的图象上的一点点A(1,2)及临近一点及临近一点B(1+x,2+y),则则 3x练习题练习题1.设函数设函数y=f(x)，当自变量，当自变量x由由x0改变到改变到x0+x时，函数的改变量为（）时，函数的改变量为（）Af(x0+x)B f(x0)+x Cf(x0)x Df(x0+x)f(x0)D 2.一质点运动的方程为一质点运动的方程为s=12t2，则在一，则在一段时间段时间1，2内的平均速度为（）内的平均速度为（）A4 B8 C 6 D6C3.将半径为将半径为R的球加热，若球的半径增加的球加热，若球的半径增加R，则球的表面积增加，则球的表面积增加S等于（等于（）A B C DB4.在曲线在曲线y=x2+1的图象上取一点的图象上取一点(1,2)及附及附近一点近一点(1+x,2+y)，则，则 为（）为（）A B C DC