D84多元复合函数的求导法则.ppt

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1、 第八章第八章山东交通学院高等数学教研室山东交通学院高等数学教研室第四节第四节 多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则 一一、多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则二二、多元复合函数的全微分多元复合函数的全微分 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 复习回顾复习回顾v 一元复合函数一元复合函数求导法则求导法则微分法则微分法则v 二元复合函数二元复合函数求导法则求导法则微分法则微分法则若多元复合函数的若多元复合函数的中间变量不止一个中间变量不止一个,结果如何结果如何?目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 一、多元复合函数的求导法则一、多元复合函数的求导法则定理定理 处

2、处偏导数连续偏导数连续,在点 t 可导,则复合函数证明证明:则相应中间变量且有增量u,v,（全导数）（全导数）若函数设 t 取得增量t,由题设知可微则则 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学(全导数公式全导数公式)(t0 时,根式前加“”号)目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 推广推广:(1)中间变量多于两个的情形中间变量多于两个的情形.设下面所涉及的函数都可微(2)中间变量是多元函数的情形中间变量是多元函数的情形.如如如如 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学(3)中间变量既有一元函数又有多元函数的情形中间变量既有一元函数又有多元函数的情形.如如 目录 上页 下页

3、返回 结束高等数学高等数学 又如又如当它们都具有可微条件时当它们都具有可微条件时,有有注意注意:这里这里表示表示 f(x,(x,y)固定固定 y 对对 x 求导求导表示表示f(x,v)固定固定 v 对对 x 求导求导与与不同不同 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 例例1 设设解解:目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 例例2 解解:目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 例例3 设 求全导数解解:(4)多元抽象复合函数求导多元抽象复合函数求导下列几个例题有助于掌握这方面问题的求导下列几个例题有助于掌握这方面问题的求导技巧与常用导数符号技巧与常用导数符号.推广推广:目录

4、 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 为简便起见为简便起见,引入记号引入记号例例4 设设 f 具有二阶连续偏导数具有二阶连续偏导数,求求解解:则则令令 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 例例5 设设 全微分全微分其中其中f偏导数，求偏导数，求解解:具具有二阶连续的有二阶连续的 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 二、多元复合函数的全微分二、多元复合函数的全微分设函数设函数的全微分为的全微分为可见无论可见无论 u,v 是自变量还是中间变量是自变量还是中间变量,则复合函数则复合函数都可微都可微,其全微分表达其全微分表达 形式都一样形式都一样,这性质叫做这性质叫做全微分形式

5、不变性全微分形式不变性.目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 例例1 例例 6 利用全微分形式不变性再解例利用全微分形式不变性再解例1解解:所以所以 练习练习例1 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 内容小结内容小结1 复合函数的求导法则复合函数的求导法则如如2 全微分形式不变性全微分形式不变性不论不论 u,v 是自变量还是中间变量是自变量还是中间变量,目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 思考与练习思考与练习解答提示解答提示:P31 题题7P31 题题7;8(2)目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 P31 题题8(2)目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 1 已知求解解:两边对 x 求导,得由 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 2 求在点处可微,且设函数解解:(2001考研考研)小结由题设