计算机控制技术1状态变量和模型.ppt

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1、1、状态变量和状态变量模型、状态变量和状态变量模型2、状态空间表达式的建立、状态空间表达式的建立3、传递函数矩阵、传递函数矩阵4、状态空间表达式的线性变换、状态空间表达式的线性变换 第二章第二章 连续时间控制系统连续时间控制系统状态空间描述状态空间描述10/28/202210/28/20221 1第一节第一节 动态系统的状态变量动态系统的状态变量和状态变量模型和状态变量模型10/28/202210/28/20222 2 现代控制理论以现代控制理论以n个一阶微方程来描述系个一阶微方程来描述系统，这些微分方程又组合成一个一阶向统，这些微分方程又组合成一个一阶向量量-矩阵微分方程。称为状态方程矩阵微

2、分方程。称为状态方程.应用应用向量向量-矩阵表示方法，可极大地简化系统矩阵表示方法，可极大地简化系统的数学表达式。状态变量、输入或输出的数学表达式。状态变量、输入或输出数目的增多并不增加方程的复杂性。事数目的增多并不增加方程的复杂性。事实上，分析复杂的多输入实上，分析复杂的多输入-多输出系统，多输出系统，仅比分析用一阶纯量微分方程描述的系仅比分析用一阶纯量微分方程描述的系统在方法上稍复杂一些。统在方法上稍复杂一些。10/28/202210/28/20223 3系统描述中常用的基本概念 系统的外部描述 传递函数 系统的内部描述 状态空间表达式10/28/202210/28/20224 4动力学系

3、统能储存输入信息的系统，系统中要有储能元件。动力学系统能储存输入信息的系统，系统中要有储能元件。术语术语术语术语 ：q 状态状态状态状态：指系统的运动状态（可以是物理的或非物理的）。指系统的运动状态（可以是物理的或非物理的）。状态可以理解为系统记忆，状态可以理解为系统记忆，t=tot=to时刻的初始状态能记忆系统在时刻的初始状态能记忆系统在 ttot=tot=to时输入时输入的时间函数，那么，系统在的时间函数，那么，系统在t=tot=to的任何瞬间的行为就完全确的任何瞬间的行为就完全确定了。定了。最小个数最小个数最小个数最小个数：意味着这组变量是互相独立的。：意味着这组变量是互相独立的。减少变

4、量，描述不减少变量，描述不完整，增加则一定存在线性相关的变量，毫无必要。完整，增加则一定存在线性相关的变量，毫无必要。10/28/202210/28/20225 5qq状态空间状态空间状态空间状态空间：以状态变量以状态变量 为坐标轴所构成的为坐标轴所构成的n维空间。在某一特定时刻维空间。在某一特定时刻 ，状态向量，状态向量 是状态空间的一个是状态空间的一个点。点。qq状态轨迹状态轨迹状态轨迹状态轨迹：以以 为起点，随着时间的推移，为起点，随着时间的推移，在在状态空间绘出的一条轨迹。状态空间绘出的一条轨迹。qq状态向量状态向量状态向量状态向量：把把 这几个状态变量看成是向量这几个状态变量看成是向

5、量 的分量，则的分量，则 称为状态向量。记作：称为状态向量。记作：或：或：10/28/202210/28/20226 6qq状态方程状态方程状态方程状态方程：由系统的状态变量构成的一阶微分方程组，称为状由系统的状态变量构成的一阶微分方程组，称为状态方程。态方程。反映系统中状态变量和输入变量的因果关系，也反映反映系统中状态变量和输入变量的因果关系，也反映每个状态变量对时间的变化关系。方程形式如下：每个状态变量对时间的变化关系。方程形式如下：其中其中n n是状态变量个数，是状态变量个数，r r是输入变量个数；是输入变量个数；是线性或是线性或非线性函数。非线性函数。通式为：通式为：通式为：通式为：1

6、0/28/202210/28/20227 7将通式化为矩阵形式有：将通式化为矩阵形式有：将通式化为矩阵形式有：将通式化为矩阵形式有：其中：其中：其中：其中：10/28/202210/28/20228 8qq输出方程输出方程输出方程输出方程：在指定输出的情况下，该输出与状态变量和输入之在指定输出的情况下，该输出与状态变量和输入之间的函数关系。间的函数关系。反映系统中输出变量与状态变量和输入变量的因反映系统中输出变量与状态变量和输入变量的因果关系。方程形式如下：果关系。方程形式如下：其中其中n n是状态变量个数，是状态变量个数，r r是输入变量个数，是输入变量个数，mm是输出变量是输出变量个数，个

7、数，是线性或非线性函数。是线性或非线性函数。通式为：通式为：通式为：通式为：10/28/202210/28/20229 9将通式化为矩阵形式有：将通式化为矩阵形式有：将通式化为矩阵形式有：将通式化为矩阵形式有：其中：其中：其中：其中：10/28/202210/28/20221010(2)(2)状态空间表达式非唯一性状态空间表达式非唯一性,这是和传递函数明显区别的地方。这是和传递函数明显区别的地方。状态变量非唯一，导致矩阵状态变量非唯一，导致矩阵A,B,C,DA,B,C,D非唯一。非唯一。(1)(1)为描述系统方便，经常用为描述系统方便，经常用 代表一个动力学系统。代表一个动力学系统。说明说明说

8、明说明 ：qq动态方程或状态空间表达式动态方程或状态空间表达式动态方程或状态空间表达式动态方程或状态空间表达式：将状态方程和输出方程联立，将状态方程和输出方程联立，就构成动态方程或状态空间表达式。一般形式如下：就构成动态方程或状态空间表达式。一般形式如下：其中其中其中其中：A、B、C、D矩阵含义同上。矩阵含义同上。10/28/202210/28/20221111(3)(3)定常系统：定常系统：A,B,C,D A,B,C,D各元素与时间无关；各元素与时间无关；时变系统：时变系统：A,B,C,D A,B,C,D中的各元素一部分或全部是时间的函数；中的各元素一部分或全部是时间的函数；定常系统定常系统

9、 ；时变系统时变系统(5)(5)系统输出与状态的区别：系统输出与状态的区别：系统输出：希望丛系统中测得的信息，物理上可以量测到；系统输出：希望丛系统中测得的信息，物理上可以量测到；系统状态：描述系统内部行为的信息，物理上不一定可观测。系统状态：描述系统内部行为的信息，物理上不一定可观测。(4)(4)非线性非线性系统状态空间表达式：系统状态空间表达式：和和 是是x x与与u u的某类非的某类非线性函数。可以用线性系统来近似（关于线性化方法，自己看线性函数。可以用线性系统来近似（关于线性化方法，自己看教材教材P13P13）10/28/202210/28/20221212常用符号常用符号常用符号常用

10、符号：系统动态方程的模拟结构图系统动态方程的模拟结构图：模拟结构图：模拟结构图：模拟结构图：模拟结构图：积分器积分器比例器比例器加法器加法器 小结小结小结小结 ：注：积分器个数与状态变量个数一致。注：积分器个数与状态变量个数一致。10/28/202210/28/20221313第二节第二节 状态空间表达式的建立状态空间表达式的建立1、由系统物理机理建立动态方程、由系统物理机理建立动态方程2、由微分方程建立动态方程、由微分方程建立动态方程3、由传递函数建立动态方程（系统实现问题）、由传递函数建立动态方程（系统实现问题）4、由结构图建立动态方程、由结构图建立动态方程10/28/202210/28/

11、20221414 状态变量的选取状态变量的选取状态变量的选取状态变量的选取 ：建立状态空间表达式的前提建立状态空间表达式的前提系统储能元件的输出系统储能元件的输出系统输出及其各阶导数系统输出及其各阶导数使系统状态方程成为某种标准形式的变量（对角线标使系统状态方程成为某种标准形式的变量（对角线标准型和约当标准型）准型和约当标准型）一、从系统物理机理建立动态方程一、从系统物理机理建立动态方程一、从系统物理机理建立动态方程一、从系统物理机理建立动态方程10/28/202210/28/20221515状态空间分析法举例例1求图示机械系统的状态空间表达式外力 位移 牛顿力学令-弹性系数阻尼系数10/28

12、/202210/28/20221616动态方程如下10/28/202210/28/20221717状态空间表达式为：例2求图示RLC回路的状态空间表达式10/28/202210/28/20221818电路如图电路如图1 1所示。请建立该电路以电压所示。请建立该电路以电压u u1 1,u,u2 2为输入量，为输入量，u uA A为输出量的状态空间表达式。为输出量的状态空间表达式。例例例例 L L2 2u uA Au u1 1u u2 2+_ _+_ _i i1 1i i2 2R R2 2R R1 1图图1 1L L1 1 解解解解 ：1)1)选择状态变量选择状态变量 两个储能元件两个储能元件L

13、L1 1和和L L2 2，根据，根据P8P8表，可以选择表，可以选择i i1 1和和i i2 2为状态变量，且两者是独立的。为状态变量，且两者是独立的。10/28/202210/28/202219192 2）根据克希荷夫电压定律，列写）根据克希荷夫电压定律，列写2 2个回路的微分方程：个回路的微分方程：整理得：整理得：10/28/202210/28/202220203 3）状态空间表达式为：）状态空间表达式为：10/28/202210/28/20222121 例例例例 试列出在外力试列出在外力f作用作用下，以质量下，以质量 的的位移位移 为输出的动为输出的动态方程。态方程。解解解解：该系统有四

14、个独立的储能元件。取状态变量如下：该系统有四个独立的储能元件。取状态变量如下：质量块受力图如下：质量块受力图如下：10/28/202210/28/20222222则有：则有：及：及：将所选的状态变量将所选的状态变量代入上式并整理出状态方程得：代入上式并整理出状态方程得：输出方程：输出方程：状态方程：状态方程：10/28/202210/28/20222323写成矩阵形式：写成矩阵形式：=432100100001xxxxy10/28/202210/28/20222424二、由微分方程写动态方程二、由微分方程写动态方程二、由微分方程写动态方程二、由微分方程写动态方程可以转换为传递函数形式可以转换为传

15、递函数形式可以转换为传递函数形式可以转换为传递函数形式线性定常系统的状态空间表达式为线性定常系统的状态空间表达式为在经典控制理论中在经典控制理论中,控制系统的时域模型为：控制系统的时域模型为：解决问题解决问题解决问题解决问题:选取适当的状态变量选取适当的状态变量,并由并由 定出相应的系数矩阵定出相应的系数矩阵A A、B B、C C、D.D.两类问题两类问题两类问题两类问题：1 1、微分方程中不包含输入函数的导数项、微分方程中不包含输入函数的导数项2 2、微分方程中包含输入函数的导数项、微分方程中包含输入函数的导数项10/28/202210/28/20222525微分方程形式微分方程形式:1 1

16、、微分方程中不包含输入函数的导数项、微分方程中不包含输入函数的导数项、微分方程中不包含输入函数的导数项、微分方程中不包含输入函数的导数项2.2.）将上两边对）将上两边对）将上两边对）将上两边对t t求导求导求导求导，化为状态变量，化为状态变量 的一阶微的一阶微分方程组分方程组.1.1.）选择状态变量）选择状态变量）选择状态变量）选择状态变量.若给定初始条件若给定初始条件 则系统行为被完全确定则系统行为被完全确定 故选择故选择 为系统的一组状态变量为系统的一组状态变量输出输出及其各阶导数及其各阶导数 令令:10/28/202210/28/202226263.3.）化为向量矩阵形式：）化为向量矩阵

17、形式：）化为向量矩阵形式：）化为向量矩阵形式：状态方程为状态方程为:输出方程为输出方程为:注意：第一能观标准型，见后。注意：第一能观标准型，见后。10/28/202210/28/202227275.5.）说明：）说明：）说明：）说明：状态变量是状态变量是输出输出y及及y的各阶导数的各阶导数系统矩阵系统矩阵A特点：主对角线上方特点：主对角线上方1个元素为个元素为1，最下面一行为微，最下面一行为微分方程系数的负值，其它元素全为分方程系数的负值，其它元素全为0，友矩阵或相伴矩阵友矩阵或相伴矩阵。（注意：（注意：不要和逆阵中的伴随阵混淆）不要和逆阵中的伴随阵混淆）4.4.）画模拟结构图：）画模拟结构图

18、：）画模拟结构图：）画模拟结构图：10/28/202210/28/20222828 例例例例 设系统输入设系统输入-输出微分方程为下式，求其状态空间表达式。输出微分方程为下式，求其状态空间表达式。解解解解：若选若选 ，可导出系数矩阵，可导出系数矩阵A，B，C 模拟结构图模拟结构图模拟结构图模拟结构图10/28/202210/28/202229292 2 2 2、微分方程中包含输入函数的导数项、微分方程中包含输入函数的导数项、微分方程中包含输入函数的导数项、微分方程中包含输入函数的导数项 （两种实现方法）（两种实现方法）（两种实现方法）（两种实现方法）微分方程形式：微分方程形式：第一种方法：取拉

19、氏变换后，用传递函数的可控标准型实现第一种方法：取拉氏变换后，用传递函数的可控标准型实现第二种方法：用可观标准型实现第二种方法：用可观标准型实现注：两种方法见传递函数的直接实现一节。注：两种方法见传递函数的直接实现一节。10/28/202210/28/20223030三、由传递函数列写状态空间表达式三、由传递函数列写状态空间表达式三、由传递函数列写状态空间表达式三、由传递函数列写状态空间表达式传递函数的实现方式：传递函数的实现方式：1 1）直接分解（可控标准型、可观标准型）直接分解（可控标准型、可观标准型）2 2）串联分解）串联分解 3 3）并联分解（对角线标准型、约当标准型）并联分解（对角线

20、标准型、约当标准型）10/28/202210/28/202231311 1、直接分解的实现直接分解的实现直接分解的实现直接分解的实现：（可控标准型、可观标准型实现）：（可控标准型、可观标准型实现）：（可控标准型、可观标准型实现）：（可控标准型、可观标准型实现）引入中间变量引入中间变量 ，有：，有：令：令：传递函数为：传递函数为：1 1）可控标准型实现步骤：）可控标准型实现步骤：）可控标准型实现步骤：）可控标准型实现步骤：注意：如果分母中注意：如果分母中 的系数不为的系数不为1，则先化为，则先化为1。10/28/202210/28/20223232选择状态变量如下：选择状态变量如下：对应的微分方

21、程分别为（左边不含有导数项）：对应的微分方程分别为（左边不含有导数项）：则：则：10/28/202210/28/20223333写成矩阵形式有：写成矩阵形式有：10/28/202210/28/20223434 例例：求求 的状态空间表达式。的状态空间表达式。解解：分子、分母同除以分子、分母同除以4 4得：得：可得：可得：10/28/202210/28/20223535q由由系统的机理列写动态方程：系统的机理列写动态方程：物理方程的罗列，状态变量的选择（任意，个数唯一）物理方程的罗列，状态变量的选择（任意，个数唯一）q由微分方程写动态方程：由微分方程写动态方程：不含输入导数项：选输出及其各阶导数为状态变量；不含输入导数项：选输出及其各阶导数为状态变量；含有输入导数项：能观标准型或转变为传递函数后，用能含有输入导数项：能观标准型或转变为传递函数后，用能 控标准型；控标准型；q由传递函数求动态方程：由传递函数求动态方程：（特殊形式：标准型）（特殊形式：标准型）小结小结小结小结:10/28/202210/28/20223636