传输原理边界层理论.ppt

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1、边界层理论第五章边界层理论本章主要内容本章主要内容1.1.介绍边界层的基本概念及特点；介绍边界层的基本概念及特点；2.2.平面层流边界层微分方程及其求解；平面层流边界层微分方程及其求解；3.3.平面层流边界层积分方程及其求解；平面层流边界层积分方程及其求解；4.4.平板绕流摩擦阻力的计算平板绕流摩擦阻力的计算 边界层理论边界层理论 理论形成的背景：理论形成的背景：实实际际流流体体流流动动方方程程是是非非线线性性偏偏微微分分方方程程，难难以以求求解解；人人们们注注意意到到大大多多数数实实际际流流体体的的流流动动都都可可以以分分为为两两个个区区域域，即即靠靠近近壁壁面面、速速度度梯梯度度较较大大的

2、的一一薄薄层层（边边界界层层）和和大大部部分分远远离离壁壁面面、速速度度梯梯度度较较小小的的区区域域。对对速速度度梯梯度度较较小小的的区区域域可可以以利利用用理理想想流流体体的的欧欧拉拉方方程程和和伯伯努努利利方方程程求求解解；对对很很薄薄的的边边界界层层可可以以通通过过简简化化后后再再求求解解。这这样样就就将将整整个个区区域域求求解解问问题题转转化化为为主主流流区区的的理理想想流流体体的的流流动动问问题题和和靠靠近近壁壁面面边边界界层层内内的的流流动动问问题题。当当然然，与与此此同同时时就就有有一一个个区区域域的的划划分分问问题题或者说有一个边界层厚度的确定问题。或者说有一个边界层厚度的确定

3、问题。边界层理论边界层理论 意意义义：粘粘性性流流体体流流动动理理论论应应用用于于实实际际问问题题，明明确确了了研研究究理理想想流流体体流流动动的的实实际际意意义义，在在流流体体力力学学的的发发展展中中起起了了非非常重要的作用。常重要的作用。第一第一节 边界界层的基本概念的基本概念一、边界层的定义一、边界层的定义边边界界层层：流流体体在在流流经经固固体体壁壁面面时时，在在固固体体壁壁面面形形成成速速度度梯度较大的流体薄层。梯度较大的流体薄层。边边界界层层的的厚厚度度：流流速速相相当当于于主主流流区区速速度度的的99%99%处处，到到固固体壁面的距离称为边界层厚度。体壁面的距离称为边界层厚度。二

4、、边界层的形成与特点二、边界层的形成与特点 为为什什么么会会形形成成边边界界层层？因因为为流流体体内内部部存存在在粘粘附附力力或或粘粘性性力力 。我我们们已已经经知知道道：流流体体流流过过管管道道时时，其其流流动动形形态态是是通通过过雷雷诺数来判别的。诺数来判别的。Re=dRe=d/第一第一节 边界界层理理论的基本概念的基本概念当当Re ReRe ReRe Recrcr 时，流动为湍流。时，流动为湍流。对对于于流流体体掠掠过过平平板板的的流流动动，流流动动形形态态仍仍然然可可通通过过雷雷诺诺数数来来判判别别，不不过过此此时时的的雷雷诺诺数数用用 ReRex x=x x0 0/计算。计算。其中：

5、其中：x x 为流体进入平板的长度，又称为流体进入平板的长度，又称进流深度进流深度；0 0 为主流区流体速度。为主流区流体速度。对于光滑平板而言：对于光滑平板而言：ReRex x210 310 310 6 6 时为湍流；时为湍流；210 210 5 5 ReRex x 310 310 6 6为层为层流到湍流的过渡区。流到湍流的过渡区。第一节第一节 边界层理论的基本概念边界层理论的基本概念（1）层流区：）层流区：xxc，使使得得Rex2105，且且Rex 3106，这时边界层内的流动形态已进入湍，这时边界层内的流动形态已进入湍流状态，边界层的厚度随流进长度的增加而流状态，边界层的厚度随流进长度的

6、增加而迅速增加。迅速增加。第一第一节 边界界层理理论的基本概念的基本概念应特别强调的是应特别强调的是：无论过渡区还是湍流区，其边界层最：无论过渡区还是湍流区，其边界层最靠近壁面的一层始终都是作层流运动，靠近壁面的一层始终都是作层流运动，此即所谓的此即所谓的层流底层层流底层。注意：注意：层流底层层流底层和和边界层边界层的区别与联系的区别与联系 层流底层是根据有无层流底层是根据有无脉动脉动现象来划分；边界层则是现象来划分；边界层则是根据有无速度梯度来划分。边界层内根据有无速度梯度来划分。边界层内的流体可以是层流流动，也可以是作的流体可以是层流流动，也可以是作湍流流动。湍流流动。第一第一节 边界界层

7、理理论的基本概念的基本概念第二第二节 平面平面层流流边界界层微分方程（普朗特微分方程（普朗特边界界层微分方程）微分方程）一、一、微分方程的建立微分方程的建立对于二维平面不可压缩层流稳态流动，在直角坐标系下对于二维平面不可压缩层流稳态流动，在直角坐标系下满足的控制方程为满足的控制方程为连续性方程连续性方程x方向动量传输方程方向动量传输方程y方向动量传输方程方向动量传输方程第二第二节 平面平面层流流边界界层微分方程（普朗特微分方程（普朗特边界界层微分方程）微分方程）考虑不可压缩流体作平面层流（二维流场），此时质量考虑不可压缩流体作平面层流（二维流场），此时质量力对流动产生的影响较小，则有方程组力对

8、流动产生的影响较小，则有方程组连续性方程连续性方程x方向动量传输方程方向动量传输方程y方向动量传输方程方向动量传输方程因为因为是一个无穷小量，所以是一个无穷小量，所以是一个高价无穷小，可以略去不计。是一个高价无穷小，可以略去不计。第二第二节 平面平面层流流边界界层微分方程（普朗特微分方程（普朗特边界界层微分方程）微分方程）于是，于是，x x方向动量传输方程可简化为方向动量传输方程可简化为关于关于y轴方向上的动量传输方程，因为边界层厚度轴方向上的动量传输方程，因为边界层厚度很小很小，第三式中的，第三式中的Vy对对x和和y的各项偏导数与的各项偏导数与x轴轴方向上的动方向上的动量传输相比均属无穷小量

9、，可略而不计。因而，第三式量传输相比均属无穷小量，可略而不计。因而，第三式可以简化为可以简化为第二第二节 平面平面层流流边界界层微分方程（普朗特微分方程（普朗特边界界层微分方程）微分方程）对主流区中的同一对主流区中的同一 y 值，不同的值，不同的 x 值其伯努利方程可写为值其伯努利方程可写为由于由于与与0皆为常数，故皆为常数，故p为常数，即为常数，即 dp/dx=0因此因此第二第二节 平面平面层流流边界界层微分方程（普朗特微分方程（普朗特边界界层微分方程）微分方程）普普朗朗特特边边界界层层微微分分方方程程的的解解是是由由他他的的学学生生布布拉拉修修斯斯在在19081908年年首首先先求求出出的

10、的，他他首首先先引引入入了了流流函函数数的的概概念念，得得出出边界层微分方程的解是一无穷级数。边界层微分方程的解是一无穷级数。所以，原方程组就简化为所以，原方程组就简化为 定解条件为定解条件为第二第二节 平面平面层流流边界界层微分方程（普朗特微分方程（普朗特边界界层微分方程）微分方程）边界层厚度边界层厚度与流进距离与流进距离x x 和流速和流速0 0 的关系为的关系为式中：式中：Cn为二项式的系数；为二项式的系数；A2为系数，可由边界条件为系数，可由边界条件确定。确定。第三节第三节 边界层内积分方程（冯边界层内积分方程（冯卡门方程）卡门方程）一、一、边界层积分方程的建立边界层积分方程的建立 前

11、前面面将将连连续续性性方方程程与与纳纳维维尔尔斯斯托托克克斯斯方方程程应应用用于于边边界界层层，并并通通过过合合理理的的简简化化处处理理，使使方方程程的的形形式式大大为为简简化化。但但所所得得到到的的布布拉拉修修斯斯解解仍仍然然是是一一个个无无穷穷级级数数，使使用用时时很很不不方方便便。而而且且还还只只能能用用于于平平板板表表面面层层流流边边界界层层。现现在在我我们们将将直直接接从从动动量量守守恒恒定定律律出出发发，建立边界层内的动量守恒方程。建立边界层内的动量守恒方程。第三节第三节 边界层内积分方程（冯边界层内积分方程（冯卡门方程）卡门方程）1 1）从）从ABAB面单位时间流入的质量记为面单

12、位时间流入的质量记为mmx x、动量记为、动量记为MMx x 对如图所示的二维平面流动问题，取图示的控制体对如图所示的二维平面流动问题，取图示的控制体（单元体），断面为（单元体），断面为ABCD，垂直于图面方向（，垂直于图面方向（z 轴方轴方向向）取单位长度。）取单位长度。第三节第三节 边界层内积分方程（冯边界层内积分方程（冯卡门方程）卡门方程）2 2）从从CD面面单单位位时时间间流流出出的的动动量量记记为为M x+x，流流出出的的质质量量记为记为m x+x 3）从）从BC面单位时间内流入的质量记为面单位时间内流入的质量记为ml，流入的动量流入的动量在在x x方向的分量记为方向的分量记为Ml

13、；而而AD面没有流体的流入、面没有流体的流入、流出。流出。第三节第三节 边界层内积分方程（冯边界层内积分方程（冯卡门方程）卡门方程）根据质量守恒定律，则有根据质量守恒定律，则有BC面面在在边边界界层层之之外外，流流体体沿沿x方方向向的的速速度度近近似似等等于于0，故此由，故此由BC面流入的动量在面流入的动量在x方向的分量方向的分量Ml4）AD面没有质量流入、流出，但有动量通量存在，面没有质量流入、流出，但有动量通量存在，其值为其值为0，故此由，故此由AD面在单位时间内传给流体的粘面在单位时间内传给流体的粘性动量为性动量为0 x。第三节第三节 边界层内积分方程（冯边界层内积分方程（冯卡门方程）卡

14、门方程）5）沿沿x方方向向一一般般情情况况下下还还存存在在着着压压力力梯梯度度。所所以以，由由于于作作用用在在AB面面和和CD面面上上的的压压力力差差而而施施加加给给控控制制体体的的作作用用力为力为通过前面的推导我们已经知道通过前面的推导我们已经知道所以，上式变为所以，上式变为第三节第三节 边界层内积分方程（冯边界层内积分方程（冯卡门方程）卡门方程）建立动量守恒方程如下建立动量守恒方程如下化简后得化简后得第三节第三节 边界层内积分方程（冯边界层内积分方程（冯卡门方程）卡门方程）上式就是边界层积分方程，也称为上式就是边界层积分方程，也称为冯卡门方程冯卡门方程。由前面的分析我们知道由前面的分析我们

15、知道 是一小量，可略去不计，这是一小量，可略去不计，这时方程进一步简化为时方程进一步简化为 第三节第三节 边界层内积分方程（冯边界层内积分方程（冯卡门方程）卡门方程）上式即为简化后的冯卡门方程，可以用于不同的流上式即为简化后的冯卡门方程，可以用于不同的流态，只要是不可压缩流体就可。态，只要是不可压缩流体就可。二、二、层流边界层积分方程的解层流边界层积分方程的解 波尔豪森波尔豪森是最早解出冯卡门方程的人，他分析了方是最早解出冯卡门方程的人，他分析了方程的特点，假设在层流情况下，速度的分布曲线是程的特点，假设在层流情况下，速度的分布曲线是y的三的三次方函数关系，即次方函数关系，即x=a+by+cy

16、2+dy3式中的四个待定常数式中的四个待定常数a、b、c、d 可由以下边界条件确定：可由以下边界条件确定：第三节第三节 边界层内积分方程（冯边界层内积分方程（冯卡门方程）卡门方程）这些边界条件是这些边界条件是条件条件1），），2），），3）是显而易见的）是显而易见的;条件条件4）是由于）是由于y=0时，时，x=y=0；再结合前面推导的普朗特微分方程而再结合前面推导的普朗特微分方程而得到得到利用上述边界条件确定出：利用上述边界条件确定出：a=0，c=0，第三节第三节 边界层内积分方程（冯边界层内积分方程（冯卡门方程）卡门方程）因此，速度分布可表示为因此，速度分布可表示为或者或者将上式联立冯将上式

17、联立冯-卡门方程，就可求出速度分布和边界层卡门方程，就可求出速度分布和边界层厚度厚度 上式给出了边界层厚度上式给出了边界层厚度与进流距离和速度的关系。与进流距离和速度的关系。第三节第三节 边界层内积分方程（冯边界层内积分方程（冯卡门方程）卡门方程）三、湍流边界层内积分方程的解三、湍流边界层内积分方程的解 在在湍湍流流情情况况下下，冯冯-卡卡门门积积分分方方程程中中的的0 0为为一一般般的的应应力力项项，要要想想解解上上述述方方程程也也必必须须补补充充一一个个x x与与之之间间的的关关系系式式，它它不不能能由由波波尔尔豪豪森森的的三三次次方方函函数数给给出出，此此时时要要借借助助圆圆管管内湍流速

18、度分布的内湍流速度分布的1/71/7次方定律次方定律用边界层厚度用边界层厚度代替式中的代替式中的R得到得到 用它来代替波尔豪森多项式的速度分布，根据圆管湍用它来代替波尔豪森多项式的速度分布，根据圆管湍流阻力的关系式，得出壁面切应力流阻力的关系式，得出壁面切应力 0 0为为 第三节第三节 边界层内积分方程（冯边界层内积分方程（冯卡门方程）卡门方程）代入积分方程代入积分方程可得到可得到将它和将它和积分后得积分后得第三节第三节 边界层内积分方程（冯边界层内积分方程（冯卡门方程）卡门方程）由边界条件由边界条件由此可见：湍流边界层厚度（由此可见：湍流边界层厚度（x4/5），比层流边界层），比层流边界层厚

19、度（厚度（x1/2）随进流距离增加而增厚要快得多。）随进流距离增加而增厚要快得多。从而得到湍流边界层厚度的分布从而得到湍流边界层厚度的分布第四节 平板绕流摩擦阻力计算 对于实际流体掠过平板作层流流动，由于流体粘性的作对于实际流体掠过平板作层流流动，由于流体粘性的作用，使得流体和平板之间存在着相互作用力，即用，使得流体和平板之间存在着相互作用力，即 根据上式，如果我们知道流体在边界层内的速度分布根据上式，如果我们知道流体在边界层内的速度分布x 和流体的动力粘度和流体的动力粘度，则平板对流体的作用力就可以很，则平板对流体的作用力就可以很方便地通过上式求出。方便地通过上式求出。第四节 平板绕流摩擦阻

20、力计算一、不可压缩流体作层流掠过平板表面流动时的摩擦阻力一、不可压缩流体作层流掠过平板表面流动时的摩擦阻力 通常定义摩擦阻力系数通常定义摩擦阻力系数Cf 为为对于长度为对于长度为L、宽度为、宽度为B 的平板，其总阻力的平板，其总阻力S 为为我们注意到我们注意到第四节 平板绕流摩擦阻力计算即即可求出层流条件下掠过平板表面的摩擦阻力系数可求出层流条件下掠过平板表面的摩擦阻力系数Cf请注意：讲义中此处应补充以下内容请注意：讲义中此处应补充以下内容霍华斯（霍华斯（Howarth)对微分方对微分方程通过数值计算给出。程通过数值计算给出。其中其中第四节 平板绕流摩擦阻力计算 另另一一方方面面，由由边边界界

21、层层积积分分方方程程的的解解，也也可可以以计计算算出出层层流平面绕流摩擦阻力，流平面绕流摩擦阻力，所以，总阻力所以，总阻力即即 由由和和可得到可得到注意：原教材中该部分注意：原教材中该部分多处有误！请参照改正。多处有误！请参照改正。（P 71）第四节 平板绕流摩擦阻力计算以以上上的的推推导导可可见见：无无论论从从边边界界层层微微分分方方程程出出发发还还是是从从边边界界层层积积分分方方程程出出发发，都都可可以以求求出出固固体体壁壁面面与与流流体体之之间的摩擦力，其结果相差不大。间的摩擦力，其结果相差不大。所以所以联立式联立式同样可求得层流条件下掠过平板表面的摩擦阻力系数同样可求得层流条件下掠过平

22、板表面的摩擦阻力系数Cf第四节 平板绕流摩擦阻力计算二、不可压缩流体作湍流流动掠过平板表面时二、不可压缩流体作湍流流动掠过平板表面时的摩擦阻力计算的摩擦阻力计算 湍流掠过平板表面时，流体与平壁之间的摩擦阻力湍流掠过平板表面时，流体与平壁之间的摩擦阻力不仅与分子粘性有关，而且还与湍流的脉动有关。不仅与分子粘性有关，而且还与湍流的脉动有关。此时在边界层内借助速度的此时在边界层内借助速度的1/7次的经验公式，即次的经验公式，即 把它代入冯把它代入冯卡门方程可得卡门方程可得 第四节第四节 平板绕流摩擦阻力计算平板绕流摩擦阻力计算此时此时 由湍流边界层公式给出，即由湍流边界层公式给出，即 对于长度为对于

23、长度为L、宽度为、宽度为B 的平板，其总阻力的平板，其总阻力S 为为这时平板摩擦阻力系数可由下式给出这时平板摩擦阻力系数可由下式给出上式适用于上式适用于105 ReL 107，若将系数改成与实验结果，若将系数改成与实验结果更吻合。更吻合。第四节第四节 平板绕流摩擦阻力计算平板绕流摩擦阻力计算第五章第五章 例题讲解例题讲解【例例5-15-1】运动粘度运动粘度 的空气以速度的空气以速度 掠过掠过一平板，试求：一平板，试求：1 1、进流深度为、进流深度为50cm50cm处的边界层厚度；处的边界层厚度；2 2、进流深度为、进流深度为50cm50cm、板面上方距板面、板面上方距板面5mm5mm处空气的流

24、速；处空气的流速；3 3、相同的进流深度、板面板面上方距板面、相同的进流深度、板面板面上方距板面15mm15mm处空气的流速。处空气的流速。解：解：1 1）先计算）先计算ReRe，判别流态。，判别流态。第五章第五章 例题讲解例题讲解3 3）对该处，）对该处，处于边界层外。处于边界层外。2 2）因进流深度）因进流深度50cm50cm处的边界层厚度为处的边界层厚度为，求解处位于层，求解处位于层流边界层内，该处空气的流速为：流边界层内，该处空气的流速为：故该处空气的流速故该处空气的流速【例例5-2】如图所示，如图所示，s s、=925kg/m=925kg/m3 3 的流体以的速度平的流体以的速度平行

25、地流过一块长行地流过一块长0.5 m0.5 m的光滑平板。的光滑平板。试求试求 ：1 1）求边界层的最大厚度）求边界层的最大厚度？2）求）求A点（位于壁面点（位于壁面处处）、）、B点（板上方点（板上方50mm处处）和）和C点（板面上方点（板面上方90mm处处）三）三处处x方向的速度方向的速度 以及它以及它们们在在y方向的速度梯度方向的速度梯度第五章第五章 例例题讲解解 解：解：先计算先计算Re，判别流态。，判别流态。第五章第五章 例例题讲解解边界层的最大厚度边界层的最大厚度 在平板的最右端。在平板的最右端。解：解：设在设在x=200mm处的边界层处的边界层厚度为厚度为，先计算该处的，先计算该处

26、的Re，判别流态。判别流态。(层流层流)第五章第五章 例例题讲解解A点处：点处：y=0 根据层流边界层内的速度分布公式根据层流边界层内的速度分布公式第五章第五章 例例题讲解解B点处：点处：C点处：点处：【例例5-35-3】设空气从宽为设空气从宽为40cm40cm的平板表面流过，空气的平板表面流过，空气的流动速度的流动速度v v0 0=2.6m/s;=2.6m/s;空气在当时温度下的运动粘度空气在当时温度下的运动粘度=1.4710=1.4710-5-5mm2 2/s/s。试求：流入深度。试求：流入深度x=30cmx=30cm处的边界层处的边界层厚度，以及距板面高处的空气流速及板面上的总阻力？厚度

27、，以及距板面高处的空气流速及板面上的总阻力？解：解：（1）（2）边界层厚度（按）边界层厚度（按Re为层流区）：为层流区）：第五章第五章 例题讲解例题讲解（3 3）当处的速度）当处的速度v vx x。按边界层内的速度场：。按边界层内的速度场：（4）平板上的总阻力）平板上的总阻力S，按式（，按式（5-30）确定：）确定：第五章第五章 例题讲解例题讲解1.边界层的特点边界层的特点：a.边界层厚度为一有限值；边界层厚度为一有限值；b.边界层厚度沿流程增加；边界层厚度沿流程增加；c.边界层分层流边界层和湍流边界层；边界层分层流边界层和湍流边界层；d.边界层外可按理想流体对待，在边界层内切应力按下边界层外

28、可按理想流体对待，在边界层内切应力按下式计算式计算 第五章 小 结 层流时的边界层微分方程层流时的边界层微分方程2.流体掠过平板流体掠过平板第五章 小 结速度分布为一无穷级数形式（不作为计算时使用）速度分布为一无穷级数形式（不作为计算时使用）边界层厚度边界层厚度 3.边界层积分方程边界层积分方程速度分布关系速度分布关系边界层厚度边界层厚度第五章 小 结4.4.不可压缩流体层流掠过平板流动摩擦阻力不可压缩流体层流掠过平板流动摩擦阻力S S及摩擦阻及摩擦阻力系数力系数C Cf f由边界层微由边界层微分方程推得分方程推得由边界层积由边界层积分方程推得分方程推得5.不可压缩湍流掠过平板表面流动边界层厚度不可压缩湍流掠过平板表面流动边界层厚度、摩擦摩擦阻力阻力S、及摩擦阻力系数及摩擦阻力系数Cf第五章 小 结第五章第五章 习习 题题做做材料加工冶金传输原理材料加工冶金传输原理吴树森主编教材中第吴树森主编教材中第5章后面章后面的练习的练习 5-2,5-3,5-4,5-5