高数第六章第一次定积分的计算面积.ppt

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1、第一讲第一讲 元素法求平面图形的面积元素法求平面图形的面积第六章第六章 定定积分的应用积分的应用10/28/20221一、问题的提出一、问题的提出回顾回顾 曲边梯形求面积的问题曲边梯形求面积的问题ab xyo10/28/20222一、问题的提出一、问题的提出面积表示为定积分的步骤如下面积表示为定积分的步骤如下（3）求和，得求和，得A的近似值的近似值（4）求极限，得求极限，得A的精确值的精确值10/28/20223一、问题的提出一、问题的提出ab xyo提示提示面面积积元元素素10/28/20224一、问题的提出一、问题的提出10/28/20225一、问题的提出一、问题的提出元素法的一般步骤：元

2、素法的一般步骤：10/28/20226一、问题的提出一、问题的提出这个方法通常叫做这个方法通常叫做元素法元素法应用方向：应用方向：平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；功；水压力；引力和平均值等功；水压力；引力和平均值等10/28/20227二、直角坐标系下求平面图形的面积二、直角坐标系下求平面图形的面积曲边梯形的面积曲边梯形的面积曲边梯形的面积曲边梯形的面积10/28/20228二、直角坐标系下求平面图形的面积二、直角坐标系下求平面图形的面积解解两曲线的交点两曲线的交点面积元素面积元素选选 为积分变量为积分变量问题：问题：积分变量只能选积分变量只能选 吗

3、？吗？10/28/20229二、直角坐标系下求平面图形的面积二、直角坐标系下求平面图形的面积解解两曲线的交点两曲线的交点选选 为积分变量为积分变量选选 为积分变量为积分变量10/28/202210二、直角坐标系下求平面图形的面积二、直角坐标系下求平面图形的面积如果曲边梯形的曲边为参数方程如果曲边梯形的曲边为参数方程曲边梯形的面积曲边梯形的面积10/28/202211二、直角坐标系下求平面图形的面积二、直角坐标系下求平面图形的面积解解椭圆的参数方程椭圆的参数方程由对称性知总面积等于由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积倍第一象限部分面积10/28/202212三、极坐标系三、极坐标系1 1、平

4、面上的极坐标系、平面上的极坐标系如图所示：如图所示：极坐标系极坐标系O-称为称为极极点点；Ox-称为称为极轴极轴；设设M 是平面上一点，如图所示是平面上一点，如图所示-称为称为极径极径-称为称为极角，极角，逆时针为正，顺时针为负逆时针为正，顺时针为负-称为点称为点M 的的极坐标，极坐标，记为记为M 10/28/202213三、极坐标系三、极坐标系2 2、平面上点的极坐标表示、平面上点的极坐标表示如下列点的表示：如下列点的表示：平面上点平面上点M 与一对实数一一对应与一对实数一一对应极坐标系极坐标系 表示极点，表示极点，即极点的坐标为即极点的坐标为10/28/202214三、极坐标系三、极坐标系

5、2 2、平面上点的极坐标表示、平面上点的极坐标表示注：注：0，0 010/28/202215三、极坐标系三、极坐标系3 3、极坐标与直角坐标的互化、极坐标与直角坐标的互化M(x，y）(1)(1)由由极坐标极坐标化化直角坐标直角坐标例例 点点M的极坐标为的极坐标为 求其直角坐标求其直角坐标.解：解：点点M的直角坐标：的直角坐标：10/28/202216三、极坐标系三、极坐标系3 3、极坐标与直角坐标的互化、极坐标与直角坐标的互化(2)(2)由由直角坐标直角坐标化化极坐标极坐标例例 点点M的直角坐标为的直角坐标为 求其极坐标求其极坐标解解点点M的极坐标：的极坐标：M(x，y）10/28/20221

6、7三、极坐标系三、极坐标系4 4、曲线的极坐标方程、曲线的极坐标方程1)1)、极坐标曲线、极坐标曲线=常数，过原点的射线常数，过原点的射线=常数，以原点为中心的圆常数，以原点为中心的圆 如如 =2，为半径为，为半径为2的圆，的圆，直角坐标中的方程为：直角坐标中的方程为：如如 ，为过原点、与，为过原点、与x轴正向夹角为轴正向夹角为 的半射的半射线，直角坐标中的方程为：线，直角坐标中的方程为：10/28/202218三、极坐标系三、极坐标系4 4、曲线的极坐标方程、曲线的极坐标方程2)2)、极坐标方程的建立、极坐标方程的建立由已知的条件，将曲线上动点的坐标由已知的条件，将曲线上动点的坐标 关系关系

7、式表示出来，从而得到曲线的极坐标方程式表示出来，从而得到曲线的极坐标方程.例例解：解：试求经过点试求经过点A(a，0)，a0，而和极轴垂直的，而和极轴垂直的极坐标方程极坐标方程如图所示，如图所示，设动点为设动点为 则则或或为所求的直线方程为所求的直线方程10/28/202219三、极坐标系三、极坐标系4 4、曲线的极坐标方程、曲线的极坐标方程2)2)、极坐标方程的建立、极坐标方程的建立例例 求一圆过极点且圆心在极轴上，半径为求一圆过极点且圆心在极轴上，半径为a，求极坐标方程，求极坐标方程解：解：如图所示，设动点为如图所示，设动点为AA则则或或另：若一圆过极点且圆心在垂另：若一圆过极点且圆心在垂

8、直极轴的直线上，半径为直极轴的直线上，半径为a，则极坐标方程为：则极坐标方程为：10/28/202220四、极坐标系下求平面图形的面积四、极坐标系下求平面图形的面积面积元素面积元素曲边扇形的面积曲边扇形的面积10/28/202221四、极坐标系下求平面图形的面积四、极坐标系下求平面图形的面积解解由对称性知总面积由对称性知总面积=4倍第一象限部分面积倍第一象限部分面积10/28/202222四、极坐标系下求平面图形的面积四、极坐标系下求平面图形的面积解解利用对称性知利用对称性知10/28/202223作业作业 P279 ;3；5(1,2)预习预习:第六章第六章 第二节第二节10/28/202224