高等数学函数的连续性.ppt

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1、、函数的连续性。函数的连续性。1、掌握函数连续性的判断方法。、掌握函数连续性的判断方法。2、零点定理的应用。、零点定理的应用。2.1 导数的概念导数的概念3、掌握导数的概念、几何意义及其与连续性的关系。、掌握导数的概念、几何意义及其与连续性的关系。1、变量的增量 设函数设函数y=f(x)在点在点x0的某一个邻域的某一个邻域U(x0)内有定义内有定义 称称D Dy f(x0+D+Dx)-f(x0)函数函数y的增量。的增量。在邻域在邻域U(x0)内内 若自变量若自变量x从初值从初值x0变到终值变到终值x1 则称则称D Dx x1-x0为自变量为自变量x的增量的增量 DxDy、函数连续性、函数连续性

2、2、函数的连续性定义提示:设设x x0+D Dx 则当则当D Dx0时时 xx0 因此因此 设函数设函数 y f(x)在点在点x0及其邻域内有定义及其邻域内有定义 如果如果那么就称函数那么就称函数 y f(x)在点在点x0处连续处连续 D Dy f(x0+D+Dx)-f(x0)左连续和右连续左连续和右连续解题思路：解题思路：根据函数连续的充要条件根据函数连续的充要条件函数在区间内连续函数在区间内连续、函数的间断点、函数的间断点如果函数如果函数f(x)在在点点x0有以下有以下三种情况之一：三种情况之一：则称函数在点则称函数在点x0为不连续，为不连续，x0称为函数的称为函数的不连续点或不连续点或间

3、断点。间断点。可去间断点可去间断点只要改变或补充间断只要改变或补充间断点的函数值定义后，间断点可以变点的函数值定义后，间断点可以变成连续点。成连续点。、初等函数的连续性、初等函数的连续性一、一、一切基本初等函数在其一切基本初等函数在其定义域定义域内都是连续的。内都是连续的。二、二、设函数设函数f(x)和和g(x)在点在点x0连续连续 则函数则函数 在点在点x0也连续也连续 三、三、设函数设函数y fg(x)由函数由函数y f(u)与函数与函数u g(x)复合而复合而成成 若函数若函数 u g(x)在点在点 x0 连续连续 函数函数 y f(u)在点在点u0 g(x0)连续连续 则复合函数则复合

4、函数y fj j(x)在点在点x0也连续也连续 四、四、初等函数在其初等函数在其定义区间定义区间内是连续的。内是连续的。总结：总结：由于函数在其连续点由于函数在其连续点x0满足满足初等函数在其有定义的点处求极限初等函数在其有定义的点处求极限求这一点的函数值。求这一点的函数值。例例1（因式分解，（因式分解，去掉零因子）去掉零因子）（有理化，（有理化，去掉零因子）去掉零因子）一般地例7（有理化，去掉零因子）（有理化，去掉零因子）、闭区间上连续函数的性质、闭区间上连续函数的性质定理定理8（最值定理最值定理）闭区间闭区间a,b上的连续函数上的连续函数f(x)在该区间上至少取得它的最大值在该区间上至少取

5、得它的最大值M和最小值和最小值m各一次。各一次。推论推论6 闭区间闭区间a,b上的连续函数上的连续函数f(x)一定有界。一定有界。定理9（介值定理）若若y=f(x)在闭区间在闭区间a b上连续上连续 且且f(a)f(b)则对于则对于f(a)与与f(b)之间的任意一个常数之间的任意一个常数C 在开区间在开区间(a b)内至少内至少有一点有一点x x 使得使得f(x x)C (a x x b)定理的几何意义：定理的几何意义：连续曲线连续曲线f(x)与水平直线与水平直线y=c至少相交于一点。至少相交于一点。推论（零点定理）设函数设函数f(x)在闭区间在闭区间a b上连续上连续 且且f(a)f(b)0

6、 f(1)-20 根据推论根据推论,在在(0 1)内至少有一点内至少有一点x x 使得使得 f(x x)0 即即 x x 3-4x x 2+1 0 (0 x x1)1)这这说说明明方方程程x3-4x2+1 0在在区区间间(0 1)内内至至少少有有一一个个根根是是x x 第二章 一元函数微分学一、导数的概念二、导数的运算三、微分四、导数的应用本章简介本章简介导数与微分是微分学中的两个基本概念。其中导数是研究函数相对于自变量的变化的快慢程度，即函数的变化率；而微分则是指当自变量有微小变化时，函数改变量的近似值。本章重点本章重点导数与微分的概念；基本初等函数的求导公式；求导法则。本章难点本章难点导数

7、与微分的概念；复合函数的求导法则。实例实例1.变速直线运动的瞬时速度问题变速直线运动的瞬时速度问题如图如图,取极限得取极限得瞬时速度瞬时速度 导数的概念导数的概念设物体作直线运动所经过的路程为设物体作直线运动所经过的路程为s=f(t)求求t0时刻时刻瞬时速度瞬时速度.2.1.2 导数的定义导数的定义定义定义1 设函数设函数 f(x)在在 x0及其及其 某个邻域内有定义某个邻域内有定义,当自当自变变量量x在在 x0处取得增处取得增 量量x 时时,相应地函数相应地函数 y取得增量取得增量 如果如果存在存在,则称函数则称函数 y=f(x)在在 x0 处可导处可导,或称或称y=f(x)在在 x0 处有

8、处有导数。导数。该极限值就是该极限值就是 f(x)在点在点 x0 处的导数，处的导数，记为记为很明显很明显由导数定义可知：由导数定义可知：由定义求导数由定义求导数步骤步骤:例例1 设设 ，求，求 解一解一所以所以 解二解二例例2 2解解单侧导数导数与单侧导数的关系 函数函数f(x)在开区间在开区间(a b)内可导是指函数在区间内内可导是指函数在区间内每一点可导每一点可导 函数函数f(x)在闭区间在闭区间a b上可导是指函数上可导是指函数f(x)在开区在开区间间(a b)内可导内可导 且在且在a点有右导数、在点有右导数、在b点有左导数点有左导数 函数在区间上的可导性例例5 已知已知解解 因为因为所以所以 ，从而，从而MxyoT的切线方程的切线方程法线方程法线方程N 导数的几何意义导数的几何意义例例3 3解解根据导数的几何意义根据导数的几何意义,得切线斜率为得切线斜率为所求切线方程为所求切线方程为法线方程为法线方程为2.1.4 可导与连续的关系可导与连续的关系结论：结论：可导的函数一定是连续的。可导的函数一定是连续的。证证比如比如解解注意注意注意注意:反之不成立反之不成立反之不成立反之不成立.即连续不一定可导。即连续不一定可导。即连续不一定可导。即连续不一定可导。例例4 4解解小结v函数连续性的定义v利用连续性求解函数极限v介值定理和零点定理的应用v导数的定义v可导与连续的关系