多元函数微分学习题总结.ppt

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1、习习 题题 课课基本内容基本内容典型例题典型例题第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学教学要求1第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学 习题课习题课一、基本内容一、基本内容1.多元函数的概念多元函数的概念2.多元函数的极限多元函数的极限一元函数一元函数在某点的极限存在的充要在某点的极限存在的充要和一元函数极限的差异：和一元函数极限的差异：必需是点必需是点P在定义域内以在定义域内以任何方式和途径任何方式和途径趋趋而而多元函数多元函数于于P0时时,多多元元函函数数的的基基本本概概念念 条件是条件是左右极限都左右极限都存在且相等存在且相等;都有极限都有极限,且相等且相等.2第七章第七章 多元

2、函数微分学多元函数微分学 习题课习题课3.多元函数的连续性多元函数的连续性4.多元函数的偏导数多元函数的偏导数高阶偏导数：高阶偏导数：闭区域上连续函数的性质闭区域上连续函数的性质 最值定理最值定理 介值定理介值定理3第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学 习题课习题课5.全微分全微分可微的必要条件可微的必要条件可微必连续，可微必可导可微必连续，可微必可导。可微的充分条件可微的充分条件 偏导连续必可微偏导连续必可微。偏导连续偏导连续 可微可微 连续连续有偏导有偏导4第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学 习题课习题课6.多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则（三种情况三种情况）(1

3、)抽象函数的情形抽象函数的情形(2)高阶复合函数求导高阶复合函数求导特别注意特别注意7.隐函数的求导法则隐函数的求导法则(1)一个方程情形一个方程情形(二元方程、三元方程二元方程、三元方程)(2)方程组情形方程组情形隐函数的个数隐函数的个数=方程的个数方程的个数隐函数的自变量个数隐函数的自变量个数=总自变量个数总自变量个数 方程的个数方程的个数5第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学 习题课习题课8.多元函数微分学的几何应用多元函数微分学的几何应用(1)空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面(三种情形三种情形)(2)空间曲面的切平面与法线空间曲面的切平面与法线(三种情形三种情形)9.

4、方向导数与梯度方向导数与梯度方向导数方向导数梯度梯度6第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学 习题课习题课方向导数与梯度的关系方向导数与梯度的关系函数沿梯度方向的方向导数最大函数沿梯度方向的方向导数最大(即增长最快即增长最快)，且方向导数的最大值为梯度的模。，且方向导数的最大值为梯度的模。10.多元函数的极值与最值多元函数的极值与最值(1)极值的必要条件极值的必要条件极值的充分条件极值的充分条件(2)求条件极值的方法求条件极值的方法代入法，代入法，Lagrange乘数法乘数法(3)求最值的方法求最值的方法7二、教学要求二、教学要求与可微之间的关系与可微之间的关系.掌握复合函数与隐函数偏导数

5、的求法掌握复合函数与隐函数偏导数的求法.二元函数极限、二元函数极限、2.熟练掌握偏导数的定义与求法熟练掌握偏导数的定义与求法,特别要特别要会求函会求函数的全微分数的全微分(尤其是尤其是判定判定分段函数分段点的分段函数分段点的可微性可微性).第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学 习题课习题课连续、连续、1.掌握掌握存在偏导存在偏导85.了解方向导数与梯度的概念及其计了解方向导数与梯度的概念及其计会用拉格朗日乘数法求多元函数的会用拉格朗日乘数法求多元函数的 3.熟练掌握空间曲线的切线与法平面熟练掌握空间曲线的切线与法平面曲面的切平面与法线方程的求法曲面的切平面与法线方程的求法.方程、方程、4

6、.熟练掌握二元函数的极值理论及其熟练掌握二元函数的极值理论及其求法求法,极值以及有关应用题极值以及有关应用题.算方法算方法.第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学 习题课习题课9例例解解分析分析拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法.第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学 习题课习题课三、典型例题三、典型例题10得得第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学 习题课习题课11即得即得唯一驻点唯一驻点根据题意距离的最小值一定存在根据题意距离的最小值一定存在,且有且有故必在故必在取得最小值取得最小值.唯一驻点唯一驻点,第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学 习题课习题课12试求试求 和和 .解题

7、思路解题思路再代入上式即得再代入上式即得.第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学 习题课习题课例例13上海交大考试题上海交大考试题(97级级)解解则则设曲面上的任意点为设曲面上的任意点为且在此点的且在此点的法向量法向量上的任意一点处的切平面上的任意一点处的切平面都过原点都过原点.第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学 习题课习题课14则则切平面方程为切平面方程为:即证即证.上的任意一点处的切平面都过原点上的任意一点处的切平面都过原点.第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学 习题课习题课15解解例例此方向导数等于梯度的模此方向导数等于梯度的模?第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分

8、学 习题课习题课16此方向导数等于梯度的模此方向导数等于梯度的模?第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学 习题课习题课17第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学 习题课习题课18作业作业自测题七自测题七(61(61页页)4.5.6.7.8.11.12.第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学 习题课习题课19例例解解第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学 习题课习题课三、典型例题三、典型例题20第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学 习题课习题课21解解例例法一法一 方程组各方程两边微分方程组各方程两边微分,得得分析分析 变量变量4个个,方程方程3个个,独立自变量独立自变量1个个.由题意由题意选选x为独立自变量为独立自变量.第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学 习题课习题课22法二法二 方程组各方程两边对方程组各方程两边对x求导求导,得得第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学 习题课习题课23法三法三而而由由隐隐函函数数求求导导公公式式由由 链链导导法法则则第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学 习题课习题课24