《DA86几何中的应用》PPT课件.ppt

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1、第六节复习 目录 上页 下页 返回 结束 一、空间曲线的切线与法平面一、空间曲线的切线与法平面二、曲面的切平面与法线二、曲面的切平面与法线 多元函数微分学的几何应用 第八章第八章 复习复习:平面曲线的切线与法平面曲线的切线与法线线已知平面光滑曲线已知平面光滑曲线切线方程切线方程法线方程法线方程若平面光滑曲线方程为若平面光滑曲线方程为故在点故在点切线方程切线方程法线方程法线方程在点在点有有有有因因 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 一、一、空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面过点过点 M 与切线垂直的平面称为曲线在该点的与切线垂直的平面称为曲线在该点的法法机动

2、目录 上页 下页 返回 结束 位置位置.空间光滑曲线在点空间光滑曲线在点 M 处的处的切线切线为此点处割线的极限为此点处割线的极限平面平面.1.曲线方程为参数方程的情况曲线方程为参数方程的情况切线方程切线方程机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 此处要求此处要求也是法平面的法向量也是法平面的法向量,切线的方向向量切线的方向向量:称为曲线的称为曲线的切向量切向量.如个别为如个别为0,则理解为分子为则理解为分子为 0.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 不全为不全为0,因此得因此得法平面方程法平面方程 说明说明:若引进向量函数若引进向量函数,则则 为为

3、 r(t)的矢端曲线的矢端曲线,处的导向量处的导向量 就是该点的切向量就是该点的切向量.例例1.求圆柱螺旋线求圆柱螺旋线 对应点处的切线方程和法平面方程对应点处的切线方程和法平面方程.切线方程切线方程法平面方程法平面方程即即即即解解:由于由于对应的切向量为对应的切向量为在在机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 ,故故2.曲线为一般式的情况曲线为一般式的情况光滑曲线光滑曲线当当曲线上一点曲线上一点,且有且有时时,可表示为可表示为处的处的切向量为切向量为 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 则在点切线方程切线方程法平面方程法平面方程有或机动 目录 上页

4、 下页 返回 结束 也可表为法平面方程法平面方程机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2.求曲线求曲线在点在点M(1,2,1)处的切线方程与法平面方程处的切线方程与法平面方程.切线方程切线方程解法解法1 令令则则即即切向量切向量机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 法平面方程法平面方程即即机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 解法解法2.方程组两边对方程组两边对 x 求导求导,得得曲线在点曲线在点 M(1,2,1)处有处有:切向量切向量解得解得切线方程切线方程即即法平面方程法平面方程即即点点 M(1,2,1)处的处的切向切向量量机动机动 目录目录

5、上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 二、二、曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线 设设 有有光滑曲面光滑曲面通过其上定点通过其上定点对应点对应点 M,切线方程为切线方程为不全为不全为0.则则 在在且且点点 M 的的切向量切向量为为任意任意引一条光滑曲线引一条光滑曲线下面证明下面证明:此平面称为此平面称为 在该点的在该点的切平面切平面.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 上过点上过点 M 的任何曲线在该点的切线都的任何曲线在该点的切线都在同一平面上在同一平面上.证证:机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 在在 上上,得得令令由于曲线由于曲线 的任

6、意性的任意性,表明这些切线都在以表明这些切线都在以为法向量为法向量的平面上的平面上,从而切平面存在从而切平面存在.曲面曲面 在点在点 M 的的法向量法向量法线方程法线方程切平面方程切平面方程复习复习 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 曲面曲面时时,则在点则在点故当函数故当函数 法线方程法线方程令令特别特别,当光滑曲面当光滑曲面 的方程为显式的方程为显式 在点在点有连续偏导数时有连续偏导数时,切平面方程切平面方程机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 法向量法向量用用将将法向量的法向量的方向余弦：方向余弦：表示法向量的方向角表示法向量的方向角,并假定法向量方向

7、并假定法向量方向分别记为分别记为则则向上向上,复习复习 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例3.求球面求球面在点在点(1,2,3)处的处的切切平面及法线方程平面及法线方程.解解:所以球面在点所以球面在点(1,2,3)处有处有:切平面方程切平面方程 即即法线方程法线方程法向量法向量令令机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例4.确定正数确定正数 使曲面使曲面在点在点解解:二曲面在二曲面在 M 点的法向量分别为点的法向量分别为二曲面在点二曲面在点 M 相切相切,故故又点又点 M 在球面上在球面上,于是有于是有相切相切.与球面与球面机动机动 目录目录 上页上

8、页 下页下页 返回返回 结束结束 ,因此有因此有1.空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面 切线方程切线方程法平面方程法平面方程1)参数式情况参数式情况.空间光滑曲线空间光滑曲线切向量切向量内容小结内容小结机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 切线方程切线方程法平面方程法平面方程空间光滑曲线空间光滑曲线切向量切向量2)一般式情况一般式情况.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 空间光滑曲面空间光滑曲面曲面曲面 在点在点法线方程法线方程1)隐式情况隐式情况.的的法向量法向量切平面方程切平面方程2.曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线机动机动 目录

9、目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 空间光滑曲面空间光滑曲面切平面方程切平面方程法线方程法线方程2)显式情况显式情况.法线的法线的方向余弦方向余弦法向量法向量机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 思考与练习思考与练习1.如果平面如果平面与椭球面与椭球面相切相切,提示提示:设切点为设切点为则则机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 (二法向量平行二法向量平行)(切点在平面上切点在平面上)(切点在椭球面上切点在椭球面上)证明证明 曲面曲面上任一点处的上任一点处的切平面都通过原点切平面都通过原点.提示提示:在曲面上任意取一点在曲面上任意取一点则通过

10、此则通过此2.设设 f(u)可可微微,第七节第七节 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 证明原点坐标满足上述方程证明原点坐标满足上述方程.点的切平面为点的切平面为 1.证明曲面证明曲面与定直线平行与定直线平行,证证:曲面上任一点的法向量曲面上任一点的法向量取定直线的方向向量为取定直线的方向向量为则则(定向量定向量)故结论成立故结论成立.的所有切平面恒的所有切平面恒备用题备用题机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2.求曲线求曲线在点在点(1,1,1)的切线的切线解解:点点(1,1,1)处两曲面的法向量处两曲面的法向量为为因此切线的方向向量为因此切线的方向向量为由此得切线由此得切线:法平面法平面:即即与法平面与法平面.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 xz y0 PQMN x yABdz=AB:切面立标的增量切面立标的增量z=f(x,y)z=AN：曲面立标的增量曲面立标的增量过点过点M的切平面：的切平面：即：即：dz z=AB+BN.dz=AB用切面立标的增量近似曲面立标的增量用切面立标的增量近似曲面立标的增量dz全微分的几何意义全微分的几何意义