D22导数的概念、求导法则-h.ppt

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1、第二章第二章微积分学的创始人:德国数学家 Leibniz 微分学导数导数描述函数变化快慢微分微分描述函数变化程度都是描述物质运动的工具(从微观上研究函数)导数与微分导数与微分导数思想导数思想最早由法国数学家 Ferma 在研究极值极值问题中提出.英国数学家 Newton注注一、引例一、引例二、导数的定义二、导数的定义三、导数的几何意义三、导数的几何意义四、函数的可导性与连续性的关系四、函数的可导性与连续性的关系五、单侧导数五、单侧导数第一节第一节 导数的概念导数的概念 第二章 一、一、引例引例1.变速直线运动的速度（变速直线运动的速度（瞬时速度瞬时速度）设描述质点运动位置的函数为则 到 的平均

2、速度为而在 时刻的瞬时速度为自由落体运动注注2.切线斜率切线斜率曲线在 M 点处的切线割线 M N 的极限位置 M T(当 时)割线 M N 的斜率切线 MT 的斜率两个问题的共性共性:瞬时速度切线斜率所求量为所求量为函数增量函数增量与与自变量增量自变量增量之比的极限之比的极限.类似问题还有:加速度加速度角速度线密度电流强度是速度增量速度增量与时间增量之比的极限是转角增量转角增量与时间增量之比的极限是质量增量质量增量与长度增量之比的极限是电量增量电量增量与时间增量之比的极限变化率问题 注二、导数的定义二、导数的定义定义定义1.设函数在点存在,且极限为记作:即则称函数的某邻域内有定义,若 在点处

3、可导可导,在点的导数导数.运动质点的位置函数在 时刻的瞬时速度曲线在 M 点处的切线斜率注注若上述极限不存在,在点在点 不可导不可导.若也称在若函数在开区间 I 内每点都可导,此时导数值构成的新函数称为导函数导函数.记作:注意注意:就说函数就称函数在在 I 内可导内可导.的导数为无穷大无穷大.例例1.求函数(C 为常数)的导数.解解:例例2.求函数解解:说明：说明：对一般幂函数(为常数)例如，例如，（以后将证明）例例3.求函数的导数.解解:则即类似可证得例例4.求函数的导数.解解:即或原式是否可按下述方法作:Ex 1.证明函数在 x=0 不可导.证证:不存在,Ex 2.设存在,求极限解解:原式

4、三、三、导数的几何意义导数的几何意义曲线在点的切线斜率为若曲线过上升;若曲线过下降;若切线与 x 轴平行,称为驻点驻点;若切线与 x 轴垂直.曲线在点处的切线方程切线方程:法线方程法线方程:例例5.问曲线哪一点有垂直切线?哪一点处的切线与直线平行?写出其切线方程.解解:令得对应则在点(1,1),(1,1)处与直线平行的切线方程分别为即故在原点(0,0)有垂直切线四、四、函数的可导性与连续性的关系函数的可导性与连续性的关系定理定理1.证证:设在点 x 处可导,存在,因此必有其中故所以函数在点 x 连续.注意注意:函数在点 x 连续未必可导连续未必可导.反例反例:在 x=0 处连续,但不可导.即在

5、点的某个右右 邻域内有定义，五、五、单侧导单侧导数数若则称之为函数在 处的右右 导数导数,记作即(左)(左左)例如例如,在 x=0 处有定义定义2.设存在,定理定理2.存在在点处右右 导数存在定理定理3.在点必 右右 连续.(左左)(左左)若函数与都存在,则称显然:在闭区间 a,b 上可导在开区间 内可导,在闭区间 上可导.且内容回顾内容回顾1.导数的实质:3.导数的几何意义:4.可导必连续,但连续不一定可导;5.已学求导公式:6.判断可导性不连续,一定不可导.直接用导数定义;看左右导数是否存在且相等.2.增量比的极限;切线的斜率;作业作业：P86:6,7，9,13,16,17 练习练习1.函

6、数 在某点 处的导数区别:是函数,是数值;联系:有什么区别与联系?与导函数2.设存在,则3.设,问 a 取何值时,在都存在,并求出解解:故时此时在都存在,显然该函数在 x=0 连续.第二节二、反函数的求导法则二、反函数的求导法则 三、复合函数求导法则三、复合函数求导法则 四、初等函数的求导问题四、初等函数的求导问题 一、四则运算求导法则一、四则运算求导法则 函数的求导法则 第二章 思路思路:(构造性定义)求导法则求导法则其它基本初等其它基本初等函数求导公式函数求导公式证明中利用了两个重要极限初等函数求导问题初等函数求导问题本节内容一、四则运算求导法则一、四则运算求导法则 定理定理1.的和、差、

7、积、商(除分母为 0的点外)都在点 x 可导,且下面证明（2）、（3）,并同时给出相应的推论和例题.(2)证证:设则有故结论成立.推论推论:(C为常数)例例1.解解:(3)证证:设则有故结论成立.推论推论:(C为常数)1.导数-增量比值的极限复习复习第一节与四则运算求导法则第一节与四则运算求导法则 例例.已知则3.导数的几何意义:4.可导必连续,但连续不一定可导;5.已学求导公式:2.切线的斜率;复习复习6、四则运算求导法则、四则运算求导法则 复习复习例例2.求证证证:类似可证:注二、反函数的求导法则二、反函数的求导法则 定理定理2.y 的某邻域内单调可导,且由反函数的连续性知 因此例例3.求

8、反三角函数及指数函数的导数.解解:1)设则类似可求得2)设则特别当时,在点 x 可导,三、复合函数求导法则三、复合函数求导法则定理定理3.在点可导复合函数且在点 x 可导,证证:在点 u 可导,故（当 时 )故有例如,关键:搞清复合函数结构,由外向内逐层求导.推广推广：此法则可推广到多个中间变量的情形.例例4.求下列导数:解解:(1)(2)(3)说明说明:类似可得例例5.设求解解:思考思考:若存在,如何求的导数?这两个记号含义不同练习练习:设例例6.设解解:记则(反双曲正弦)其它反双曲函数的导数见 P96例例17.的反函数四、初等函数的求导问题四、初等函数的求导问题 1.常数和基本初等函数的导

9、数(P95)练习练习1.求解解:练习练习2.设解解:求1.有限次四则运算的求导法则(C为常数)2.复合函数求导法则3.初等函数在定义区间内可导初等函数在定义区间内可导,且导数仍为初等函数且导数仍为初等函数内容小结内容小结4.求导公式及求导法则 (见 P95)注意注意:1)2)搞清复合函数结构,由外向内逐层求导.P 97 2.单号;6.(9,10);7.(5,8);8.(2,3,6);11.(3，5，8)作业作业内容小结内容小结1.求下列函数的导数解解:(1)(2)或第第1、2节课外练习节课外练习2.设求解解:方法方法1 利用导数定义.方法方法2 利用求导公式.课外练习课外练习 1.设解：解：2.设解解:其中可导,求求解解:因为3.设存在,且求所以在 处连续,且存在，证明:在处可导.证证：因为存在，则有又在处连续,所以即在处可导.4.设故5.求解解:关键关键:搞清复合函数结构 由外向内逐层求导6.设求解解: