《中值定理与洛必达》PPT课件.ppt

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1、 罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理统称称微分学中值定理微分学中值定理，它它们在理在理论上和上和应用上都有着重大意用上都有着重大意义，尤其是拉格朗日中，尤其是拉格朗日中值定理，它刻划了函数在整个区定理，它刻划了函数在整个区间上的上的变化与化与导数概念的局部性之数概念的局部性之间的的联系，是研系，是研究函数性究函数性质的理的理论依据。依据。学学习时，可借助于几何，可借助于几何图形来帮助理形来帮助理解定理的条件，解定理的条件，结论以及以及证明的思路，并明的思路，并初步掌握初步掌握应用微分学中用微分学中值定理定理进行行论证的的思想方法。思想方法。本章重点本章重点：利用导

2、数研究函数以及曲线的性态利用导数研究函数以及曲线的性态（如单调性、凹凸性、渐进线等）（如单调性、凹凸性、渐进线等）微分学中值定理微分学中值定理（罗尔定理、拉格朗日中值定理）（罗尔定理、拉格朗日中值定理）洛必达法则洛必达法则 计算不定型极限计算不定型极限利用导数证明不等式利用导数证明不等式1.中值定理中值定理一、罗尔定理一、罗尔定理(Rolle16521719法国法国)几何意义：几何意义：AB为为a,b上连续曲线，且除上连续曲线，且除a,b 两点外都有切线存在，两端点纵标相等，两点外都有切线存在，两端点纵标相等，则在则在(a,b)中至少能找到一点，使这点对中至少能找到一点，使这点对应应曲线上的点

3、处的曲线上的点处的切线平行于切线平行于x轴轴。ABxy08证：证：f(x)在在闭区间闭区间a,b上连续，上连续，f(x)在在a,b必有最大值必有最大值M及最小值及最小值m,有两种情况有两种情况:(1)M=m;(2)Mm.(1)若若M=m，则则m=f(x)=M,f(x)为常数，即有为常数，即有那么那么(a,b)内任一点都可取作内任一点都可取作，M=m时，定理必成立。时，定理必成立。(2)若若Mm，f(a)=f(b),M,m中至少有一个不等于中至少有一个不等于f(a)或或f(b),不妨设不妨设Mf(a),(设设mf(a)同样可证）同样可证）又设又设有有f()=M,f(x)在在(a,b)可导，可导，

4、由极限的保号性：由极限的保号性：可见在函数取到最大值与最小值的点处，可见在函数取到最大值与最小值的点处，其导数等于其导数等于0。例：例：说明：说明：1.罗尔定理的条件是充分的，但非必要的。罗尔定理的条件是充分的，但非必要的。yxO1 .。虽不满足条件虽不满足条件(1)、(3)但仍存在但仍存在但若条件都不满足，则但若条件都不满足，则一定找不到定理中的一定找不到定理中的。2.特别，当特别，当f(a)=f(b)=0时，时，Rolle定理定理可简述为：可简述为：若若f(x)在在a,b连续，在连续，在(a,b)可导，可导，则在函数的则在函数的两个零点两个零点之间，它的之间，它的一阶导数一阶导数至少有一个

5、至少有一个零点零点（或一个（或一个根根）。）。例题讨论例题讨论例例1：验证罗尔定理对函数验证罗尔定理对函数f(x)=sinx在在0，上的正确性，并求出上的正确性，并求出。证：证：满足罗尔定理条件，满足罗尔定理条件，罗尔定理成立。罗尔定理成立。例例 2：证：证：由由Rolle定理，定理，至少存在至少存在例例3：证：证：由由Rolle定理，定理，至少存在至少存在证：先证根的存在性：令证：先证根的存在性：令由零点定理，必有由零点定理，必有例例4：再证唯一性：再证唯一性：有两个根有两个根x1与与x2,即即设设F(x)=0在在(0,1)又又F(x)在在0,1上连续，在上连续，在(0,1)内可内可导，导，

6、由罗尔定理，必存在由罗尔定理，必存在但已知但已知F(x)=0只有一个小于只有一个小于1的正根。的正根。矛盾矛盾!反证：反证：由上述即知，由上述即知，则在则在x1,x2间有间有，使使则在则在x1,x2间有间有，使使以此类推。以此类推。若若 f(x)在在0,1上有二阶导数，且上有二阶导数，且f(1)=0，设，设 F(x)=x2f(x)，试证在（，试证在（0,1）内）内至少存在一点至少存在一点，使，使例例5：证：证：F(x)在在0,1连续连续,在在(0,1)可导可导(由由题意题意),则由罗尔定理，则由罗尔定理，又由罗尔定理，又由罗尔定理，这这条条件件很很特特殊殊，若若取取消消这这条条件件，AB弦弦就

7、就不不一定平行于一定平行于x轴，此时结论又如何？轴，此时结论又如何？三、拉格朗日中值定理三、拉格朗日中值定理（Lagrange1736-1813法国）法国）罗尔定理中：罗尔定理中：拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理：若函数若函数f(x)（1）在）在a,b上连续，上连续，（2）在（）在（a,b）内可导，）内可导，则在（则在（a,b）内至少存在一点）内至少存在一点，使得：，使得：而右端正是而右端正是AB弦的斜率弦的斜率.xAByOab12几何意义：几何意义：式式可写成可写成:ABxyOab12在在上上述述条条件件下下，曲曲线线AB上上至至少少有有一一点点，使，使(,f()处的切线平行于处的切线平行于

8、AB弦。弦。ABxyOab12显然，罗尔定理显然，罗尔定理是是L定理定理的特殊情况的特殊情况：弦弦AB 平行于平行于x轴。轴。曲线曲线AB与弦与弦AB交于交于A、B点，此处它们的点，此处它们的（1）分析：）分析：这样就要使两端点函数值相等，为此引进这样就要使两端点函数值相等，为此引进希望能用罗尔定理来证，希望能用罗尔定理来证，辅助函数辅助函数(x),且要满足且要满足注意，弦注意，弦AB的方程：的方程：f(x)为为曲线曲线AB上纵坐标，上纵坐标，y为为弦弦AB上的纵坐标。上的纵坐标。差即为差即为0，即，即证：证：至少存在一点至少存在一点（2）证：）证：作辅助函数：作辅助函数：f(x)在在a,b连

9、续，在（连续，在（a,b）可导，）可导，(x)在在a,b连续，在（连续，在（a,b）可导，）可导，则由罗尔定理，则由罗尔定理，须须掌掌握握这这种种引引进进辅辅助助函函数数来来证证明明一些等式的方法。一些等式的方法。例：例：设设f(x)在在a,b连续，在（连续，在（a,b）可导，）可导，证明存在一点证明存在一点分析：分析：由罗尔定理，存在由罗尔定理，存在证明：证明：由条件知由条件知F(x)在在a,b上连续，在上连续，在(a,b)内可导，且内可导，且此此类类问问题题的的关关键键是是构构造造合合理理的的辅辅助助函函数数，可可采采用用反反向向演演绎绎的的思思维维方方式式，多多掌掌握握一一些些函函数数的

10、导数形式，如的导数形式，如1.说明：说明：又称为又称为拉格朗日中值公式拉格朗日中值公式。若若ab,即在即在b,a中，中，L定理仍成定理仍成立，立，2.注意：此式并不是注意：此式并不是式的反向，式的反向，的范围不同。的范围不同。Lagrange中值定理的另一些形式：中值定理的另一些形式：3.(1)则有则有(2)设设x,x+x为（为（a,b）内任意两点）内任意两点,则则f(x)在在x,x+x或或x+x,x 上上仍满足仍满足L定理，定理，在在中令：中令：式即称为式即称为有限增量公式有限增量公式。由此。由此L定理定理也称为也称为有限增量定理有限增量定理，或，或微分中值定理微分中值定理。曾知曾知从从L定

11、理可得以下推论：定理可得以下推论：只是只是y的近似式，的近似式，是是y的精确表达式，的精确表达式，它明确表达了函数增量与函数在某点它明确表达了函数增量与函数在某点导数的关系。导数的关系。定理：定理：(原已知常数的的导数为原已知常数的的导数为0，现逆命题也成立，现逆命题也成立)证：证：由由L定理：定理：由由x1,x2的任意性，的任意性，（P.129）（说说明明若若两两个个函函数数在在某某一一区区间间内内具具有有相相同同的的导数，则这两个函数仅差一个常数）导数，则这两个函数仅差一个常数）推论推论：若若f(x),g(x)在在(a,b)内成立内成立则在则在(a,b)内内证证：由定理由定理:F(x)=C

12、,例题讨论例题讨论证：证：例例1：验证拉格朗日中值定理对验证拉格朗日中值定理对满足满足L定理定理的条件，的条件，利用利用L定理证明一些不等式：定理证明一些不等式：例例2：证明不等式证明不等式证：证：则则f(u)在在x,y连续，在连续，在(x,y)可导，可导，由由L定理：定理：同理，同理，xy,例例3：证明：证明：分析：分析：出现函数出现函数arctan x 在在a,b上的增量上的增量,用用L定理定理。由由L定理：定理：令令证证：例例4:则则 f(x)在在x0 处右导数存在处右导数存在,且且（即导函数在左端点处的右极限值（即导函数在左端点处的右极限值该点右导数值）该点右导数值）证：证：要证：要证

13、：得证。得证。=课外作业课外作业习题习题3-1（A）1,2,4,6,8,10习题习题3-1（B）2,3,5,6,9,10,12ABCYXf(b)f(a)g(a)g(b)g()四、柯西中值定理四、柯西中值定理(Cauchy1789-1857法国法国)若曲线若曲线AB:Y=f(X)用参数方程表示：用参数方程表示：与这一事实相应的就是与这一事实相应的就是柯西中值定理柯西中值定理：ABCYXf(b)f(a)g(a)g(b)g()注注意意：柯柯西西中中值值定定理理并并不不是是分分子子分分母母分分别别利利用用拉拉格格朗朗日日中中值值定定理理而而得得，如如这这样样，则则不不会是一个会是一个，但柯西中值定理中

14、的，但柯西中值定理中的是同一个是同一个。说明：说明：(1)当当ba时定理同样成立，并仍有时定理同样成立，并仍有(2)柯西中值定理主要用于证明计算极限的柯西中值定理主要用于证明计算极限的一个非常重要的法则一个非常重要的法则洛必达法则洛必达法则。此时即为此时即为Lagrange 中值定理。中值定理。2.洛必达法则洛必达法则 定理：定理：证：证：则则x 0至多是至多是f(x),g(x)的可去间断的可去间断点点设设f(x0)=0,g(x0)=0,那么那么f(x),g(x)在在x0的某个邻域内连续的某个邻域内连续,且且除除x0外外f(x),g(x)可可导，导，由柯西中值定理由柯西中值定理.x0.x.x0

15、.(或连续点或连续点)，说明：说明：同理同理,例题讨论例题讨论求下列极限:=0.由例由例5、6可见，三个函数可见，三个函数a x,x,loga x当当x+时都是时都是无穷大量无穷大量,但它们趋于无但它们趋于无穷大的快慢程度不同。穷大的快慢程度不同。以以指数函数指数函数a x的速度最快，的速度最快，幂函数幂函数x 次之，次之，对数函数对数函数loga x最慢。最慢。可见一味用洛必达法则，则永远无结果。可见一味用洛必达法则，则永远无结果。洛必达法则并不是万能的，一旦做不下洛必达法则并不是万能的，一旦做不下去必须改用其它方法。去必须改用其它方法。=0，若用若用消去无穷因子消去无穷因子法：法：原定理只

16、说原定理只说存在等于存在等于A或或，则，则显然极限不存在，显然极限不存在，用洛必达法则无意义。用洛必达法则无意义。问问题题：答：答：否否 ！0 0极限不存在时只能说明洛必达法极限不存在时只能说明洛必达法则则失效失效，应改用以前学的方法求极限。，应改用以前学的方法求极限。=1.=0.先适当先适当利用利用无穷小代换无穷小代换整理整理问题：问题：下列计算是否正确？应如何计算下列计算是否正确？应如何计算？错错数列极限不能直接使用洛必达法则，数列极限不能直接使用洛必达法则，非连续变量非连续变量不可求导不可求导！每次使用洛必达法则前，应把函数尽每次使用洛必达法则前，应把函数尽量化简或进行整理：量化简或进行

17、整理：（1）恒等式化简）恒等式化简（2）约去零）约去零(无穷无穷)因因子（子（3）提出非零因子（）提出非零因子（4）等价无穷小代）等价无穷小代换换随时检验极限的类型，直至求出极限值。随时检验极限的类型，直至求出极限值。注意注意：1.2.课外作业课外作业习题习题3-2（A）1,2然后利用洛必达法则然后利用洛必达法则例例1：一般，把求导后函数形式简单的因子一般，把求导后函数形式简单的因子放分母上。放分母上。例例2：例例3：例例4：例例5：例例6：例例7：从以上各例可看出，洛必达法则是从以上各例可看出，洛必达法则是计算不定型极限的有利工具，但它计算不定型极限的有利工具，但它并不是计算所有不定型极限的

18、万能并不是计算所有不定型极限的万能工具，若使用得不恰当，它不一定工具，若使用得不恰当，它不一定比通常方法更简单。要随时注意应比通常方法更简单。要随时注意应用洛必达法则的条件，并辅以其它用洛必达法则的条件，并辅以其它方法来补充不足。方法来补充不足。每次使用洛必达法则前，应把函数尽每次使用洛必达法则前，应把函数尽量化简或进行整理：量化简或进行整理：（1）恒等式化简）恒等式化简（2）约去零）约去零(无穷无穷)因因子（子（3）提出非零因子（）提出非零因子（4）等价无穷小代）等价无穷小代换换随时检验极限的类型，直至求出极限值。随时检验极限的类型，直至求出极限值。注意注意：1.2.)(xf设设例例 =)(xxg)(xg具有二阶导数具有二阶导数其中其中0 x 0)0(,0)0()0(aggg且且=0 x=,解：解：课外作业课外作业习题习题3-2（B）1（单（单),5,6