时域离散信号和系统的频域分析.ppt

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1、时域离散信号和系统的频域分析The Frequency-domain Analysis of the Discrete Time Signal&System1内容提要时域离散信号的傅里叶变换周期序列的傅里叶级数序列的Z变换讨论Z变换的定义和收敛域逆Z变换Z变换的定理和性质系统的频率响应系统函数的零极点分布特殊系统的系统函数及特点2v信号和系统的分析方法：时域分析和频域分析v模拟信号：连续时间函数表示信号，微分方程表示系统，FT或LT表示其频域v时域离散信号：序列表示信号，差分方程描述系统，FT或Z变换表示其频域32.2.1时域离散信号的傅里叶变换而f(j)的傅里叶反变换定义为：连续时间信号f(

2、t)的傅里叶变换定义为：4时域离散信号x(n)的傅里叶变换定义为X(ej)的傅里叶反变换定义为在物理意义上，X(ej)表示序列x(n)的频谱，为数字域频率。X(ej)一般为复数，可用它的实部和虚部表示为或用幅度和相位表示为(2.2.1)5例2.9求下列信号的傅里叶变换解：时域离散信号的傅里叶变换具有以下两个特点：(1)X(ej)是以2为周期的的连续函数。(2)当x(n)为实序列时，X(ej)的幅值|X(ej)|在02区间内是偶对称函数，相位argX(ej)是奇对称函数。6Note：并不是任何序列x(n)的傅里叶变换都是存在的。条件：只有当序列x(n)绝对可和，即时，式(2.2.1)中的级数才是

3、绝对收敛的，或x(n)的傅里叶变换存在。7(1)FT的周期性2.2.2时域离散信号傅里叶变换的性质n,M为 整 数 (2.2.6)因此序列的傅里叶变换是频率的周期函数，周期是2。X(ej)是傅里叶级数的形式，x(n)是其系数。(2)线性设则8(3)时移和频移特性设则(2.2.8)(2.2.9)(4)序列的折叠设则9(5)序列乘以n设则(6)序列的复共轭设则10(7)序列的傅里叶变换的对称性首先定义两个对称序列：共轭对称序列xe(n)，定义为xe(n)=xe*(-n)；共轭反对称序列xo(n)定义为xo(n)=-xo*(-n)，此处上标*表示复共轭。其中共轭对称序列的实部是偶函数，而虚部是奇函数

4、共轭反对称序列的实部是奇函数，而虚部是偶函数11序列的傅里叶变换X(ej)可以被分解成共轭对称与共轭反对称两部分之和，即其中12vFT的对称性(a)将序列x(n)分成实部xr(n)与虚部xi(n)x(n)=xr(n)+jxi(n)将上式进行FT，得到X(ej)=Xe(ej)+Xo(ej)式中结论：序列分成实部与虚部两部分，实部的FT具有共轭对称性，虚部和j一起对应的FT具有共轭反对称性。13(b)将序列分成共轭对称部分xe(n)和共轭反对称部分xo(n)，即x(n)=xe(n)+xo(n)(2.2.25)其中：14将上面两式分别进行FT，得到FTxe(n)=1/2X(ej)+X*(ej)=Re

5、X(ej)=XR(ej)FTxo(n)=1/2X(ej)-X*(ej)=jImX(ej)=jXI(ej)结论：序列的共轭对称部分xe(n)对应着FT的实部XR(ej)，而序列的共轭反对称部分xo(n)对应着FT的虚部（包括j）。所以：X(ej)=XR(ej)+jXI(ej)(2.2.26)15v分析实序列h(n)的对称性FT只有共轭对称部分He(ej)，共轭反对称部分为零。H(ej)=He(ej)H(ej)=H*(e-j)实序列的FT的实部是偶函数，虚部是奇函数，用公式表示为HR(ej)=HR(e-j)HI(ej)=-HI(e-j)16v实序列h(n)分解为共轭对称部分和共轭反对称部分h(n)

6、=he(n)+ho(n)则：he(n)=1/2h(n)+h(-n)ho(n)=1/2h(n)-h(-n)因为h(n)是实因果序列(2.2.27)17(2.2.28)实因果序列h(n)分别用he(n)和ho(n)表示为h(n)=he(n)u+(n)(2.2.29)h(n)=ho(n)u+(n)+h(0)(n)(2.2.30)(2.2.31)18(8)序列的卷积设则(9)序列相乘设则19(10)Parseval定理帕斯维尔定理告诉我们，信号时域的总能量等于频域的总能量。202.3周期序列的离散傅里叶级数2.3.12.3.1定义定义设是以N为周期的周期序列，由于是周期性的，可以展成傅里叶级数()其基

7、波频率为：用复指数表示：第k次谐波为：21由于是周期序列，且k次谐波也是周期为N的序列：因此，对于离散傅里叶级数，只取下标从0到N-1的N个谐波分量就足以表示原来的信号。这样可把离散傅里叶级数表示为式中，乘以系数1/N是为了下面计算的方便；为k次谐波的系数。22将上式两边乘以由复指数序列的正交性：所以，23(2.3.6)(2.3.7)得到周期序列的离散傅里叶级数表达式：如果将n当作时间变量，k当作频率变量，则第一式表示的是时域到频域的变换，称为DFS的正变换。第二式表示的是频域到时域的变换，称为DFS的反变换。由于故是周期为N的离散周期信号。周期序列的信息可以用它在一个周期中的N个值来代表。2

8、42.3.2周期序列的傅里叶变换表示式(2.3.8)假定其FT的形式与(2.3.8)式一样，但由于n取整数，下式成立取整数模拟系统中，令时域离散系统中，令25说明：复指数序列的FT是在02r处的单位冲激函数，强度为2，如图所示。因此ej0n的FT为(2.3.9)若上述假定成立，则按照式(2.2.4)的逆变换必须存在，且唯一等于，下面进行验证。26图2.3.2的FT27观察图，在区间，只包括一个单位冲激函数，等式右边为，因此得到下式：结论：证明了式(2.3.9)是ej0n的FT.对一般周期序列，按式(2.3.4)展开DFS，第k次谐波为其FT为28式中k=0,1,2N-1,如果让k在之间变化，上

9、式可简化成(2.3.10)因此的FT如下式29表2.3.2基本序列的傅里叶变换30例2.3.3令，2/0为有理数，求其FT。解：将用欧拉公式展开(2.3.11)按照式(2.3.9)，其FT推导如下：31图2.3.4cos0n的FT322.4时域离散信号的傅里叶变换与模拟信号傅里叶变换之间的关系v模拟信号xa(t)的一对傅里叶变换式(2.4.1)(2.4.2)其中，t与的域均在之间。33v连续信号和采样信号v采样信号和连续信号xa(t)的傅里叶变换之间的关系34v时域离散信号x(n)，或称序列x(n)：x(n)=xa(nT)n取整数，否则无定义。vx(n)的一对傅里叶变换用式(2.2.1)和式(

10、2.2.4)表示：35v讨论X(ej)与Xa(j)的关系数字频率与模拟频率(f)之间的关系(2.4.4)将t=nT代入式模拟信号的傅里叶变换式中，得到并将其表示成无限多个积分和，每个积分区间为2/T36令，代入上式后，再将用代替，得到式中，因为r和n均取整数，e-j2rn=1，交换求和号和积分号得到(2.4.5)37v若序列是由一模拟信号取样产生，则序列的数字频率与模拟信号的频率(f)成线性性关系，即：=T式中T是采样周期T=1/fs，将其代入式(2.4.5)得到现在对比(2.2.4)式和(2.4.6)式，得到(2.4.6)(2.4.7)38v结论：序列的傅里叶变换和模拟信号的傅里叶变换之间的

11、关系，与采样信号的FT和模拟信号的FT之间的关系一样，都是Xa(j)以周期s=2/T进行周期延拓，且在频率轴上进行归一化（对归一化）。频率轴上取值的对应关系用式(1.2.10)表示。39图2.4.1模拟频率与数字频率之间的定标关系40v例 2.4.1 设xa(t)=cos(2f0t)，f0=50 Hz，以采样频率fs=200Hz对xa(t)进行采样，得到采样信号和时域离散信号x(n)，求xa(t)和的傅里叶变换以及x(n)的FT。解：(2.4.8)41以fs=200Hz对xa(t)进行采样得到采样信号，按照式(1.5.2)，与xa(t)的关系式为的傅里叶变换用式(1.5.5)确定，即以s=2fs为周期，将Xa(j)周期延拓形成，得到：42(2.4.9)将采样信号转换成序列x(n)，用下式表示：x(n)=xa(nT)=cos(2f0nT)按照式(2.4.7)，得到x(n)的FT，实际上只要将=/T=fs代入中即可。43将fs=200Hz，f0=50Hz，代入上式，根据冲击函数的性质，求括弧中公式为零时的值，可得=2k/2，因此X(ej)用下式表示：(2.4.10)44图2.4.2例图45