机构学和机器人学3运动学中的矩阵法.ppt

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1、第三章第三章 运动学中的矩阵法运动学中的矩阵法 描述刚体转动有三种方法描述刚体转动有三种方法:1）用绕右手直角坐标系的一组转动来描述。）用绕右手直角坐标系的一组转动来描述。刚体转动可以几只旋转矩阵来表示，这几只旋转矩阵刚体转动可以几只旋转矩阵来表示，这几只旋转矩阵都是以绕都是以绕x、y、z轴的转动为基础而导出的。我们称绕轴的转动为基础而导出的。我们称绕x、y、z轴转动的旋转矩阵为基本旋转矩阵。轴转动的旋转矩阵为基本旋转矩阵。2）用绕空间）用绕空间 轴的转动来描述。轴的转动来描述。3）用欧拉角描述。）用欧拉角描述。一、三只基本旋转矩阵一、三只基本旋转矩阵1、绕、绕z轴的旋转矩阵，若固连刚体上的定

2、长矢量轴的旋转矩阵，若固连刚体上的定长矢量绕绕z轴旋转轴旋转角，旋转前设：角，旋转前设：旋转后：旋转后：由图：由图：（3-1）写成矩阵形式：写成矩阵形式：简写成：简写成：则：则：称为绕称为绕z轴的旋转矩阵。轴的旋转矩阵。（3-2）（3-3）对于平面：对于平面：2、轴旋转轴旋转角的矩阵表示角的矩阵表示 旋转矩阵旋转矩阵:（3-4）（3-5）（3-6）3、旋转旋转角的矩阵表示角的矩阵表示式中：式中：为三只基本旋转矩阵，对于该矩阵有许多表示方法，为三只基本旋转矩阵，对于该矩阵有许多表示方法，都有不同但实质一样，我们常见表示为旋转矩阵：都有不同但实质一样，我们常见表示为旋转矩阵：（3-7）（3-8）二

3、、绕直角坐标轴的一组旋转二、绕直角坐标轴的一组旋转随刚体旋转，旋转次序为：随刚体旋转，旋转次序为：注意：旋转次序对刚体最终位置有影响，（即旋转次序注意：旋转次序对刚体最终位置有影响，（即旋转次序 不可互换）。不可互换）。若定长矢量若定长矢量先绕先绕z转转绕绕y轴转轴转角角绕绕x轴转轴转角达到终点，则：角达到终点，则：其余类推。其余类推。（3-9）（3-10）（3-11）xy平面内的矩形体，经有序列三个平面内的矩形体，经有序列三个900的旋转后的的旋转后的刚体位置如图，旋转次序有两种：刚体位置如图，旋转次序有两种：式式311无普遍价值，具体问题需进行分析，再构成无普遍价值，具体问题需进行分析，再

4、构成完整的旋转矩阵。完整的旋转矩阵。与刚体固联与刚体固联方法：将方法：将是三个方向余弦。以上旋转矩阵仅指绕是三个方向余弦。以上旋转矩阵仅指绕x、y、z坐标轴坐标轴的旋转矩阵，现要用该矩阵来描述相对于一个固定坐标的旋转矩阵，现要用该矩阵来描述相对于一个固定坐标系中的系中的为旋转轴的单位矢量，分量为旋转轴的单位矢量，分量轴旋转轴旋转角。角。轴和轴和z轴平行，轴平行，这一暂时位置这一暂时位置轴转回原先的位置，这种方法轴转回原先的位置，这种方法三、绕三、绕第二种表示旋转的方法第二种表示旋转的方法轴的旋转矩阵轴的旋转矩阵设设然后使刚体绕然后使刚体绕最后再将最后再将可用可用五次转动来实现。五次转动来实现。

5、转动刚体使转动刚体使（即（即z轴）旋转轴）旋转角，角，（3-12）即为绕任意轴即为绕任意轴旋转旋转角，角，前后位置的关系式。前后位置的关系式。（3-13）(3-12)中五只矩阵连乘即得中五只矩阵连乘即得的表达式。的表达式。由图：由图：1 1 是单位矢量是单位矢量代入（代入（312）展开可得：）展开可得：式中：式中：（3-14）（3-15）四、欧拉旋转矩阵四、欧拉旋转矩阵轴转轴转角角绕绕N即即x1轴转轴转角角绕绕z转过转过描述刚体旋转的第三种方法是用欧拉角表示。描述刚体旋转的第三种方法是用欧拉角表示。首先绕首先绕（进动）（进动）（3-16）（章动）（章动）（3-17）（自转）（自转）（3-18）

6、其中：其中：（3-19）由于欧拉角是相对位移角，所以还可自转由于欧拉角是相对位移角，所以还可自转即：即：欧拉公式通常用于定点运动机构的分析，例如蛇螺仪。欧拉公式通常用于定点运动机构的分析，例如蛇螺仪。三只基本旋转矩阵及三只旋转矩阵为正交矩阵，其逆矩阵为三只基本旋转矩阵及三只旋转矩阵为正交矩阵，其逆矩阵为其的转置矩阵。其的转置矩阵。3-2 刚体的位移矩阵刚体的位移矩阵刚体位置刚体位置E用用表示，由位置表示，由位置1位置位置2可看作矢量可看作矢量到到，其总位移可以看作，其总位移可以看作的平移和绕基点的平移和绕基点角位移之和。角位移之和。到到转到转到由由 一、平面位移矩阵一、平面位移矩阵由（由（33

7、）可写成：可写成：而而 知：知：（3-20）写成分量的形式得：写成分量的形式得：（321）式中式中为刚体相对固定坐标系为刚体相对固定坐标系x-y的转角。的转角。和最终位置和最终位置及转角及转角是同时给定，是同时给定，点的起始位置点的起始位置适合计算适合计算Q点新位置坐标的形式，由式（点新位置坐标的形式，由式（320）求解）求解得：得：通常，起始位置通常，起始位置因此当因此当为已知，为已知，可将可将(320)改成改成重新整理：重新整理：（322）将其写成将其写成33矩阵方程：矩阵方程：写成简单形式：写成简单形式：或：或：则则33矩阵矩阵称为平面位移矩阵。称为平面位移矩阵。（323）（324）（3

8、25）二、空间位移矩阵二、空间位移矩阵刚体空间位移矩阵，类似以上（刚体空间位移矩阵，类似以上（3-20）、（）、（3-22）、（）、（3-25）方）方式的描述，图仍然适用于空间机构，只要用三维旋转矩阵式的描述，图仍然适用于空间机构，只要用三维旋转矩阵代替代替即可。即可。为了方便，现用为了方便，现用于是相应表达式于是相应表达式（322）成：）成：（320）成：）成：（324）成：）成：（326）（327）（328）（325）变成：）变成：是一个是一个44的空间位移矩阵。的空间位移矩阵。（329）轴移动，同时又以角位移轴移动，同时又以角位移刚体位移基本矩阵方程。刚体位移基本矩阵方程。上，而刚体沿着

9、该轴作螺旋运动，上，而刚体沿着该轴作螺旋运动，沿沿轴旋转。轴旋转。三、螺旋位移矩阵三、螺旋位移矩阵式（式（326）有时往往用一个特殊点有时往往用一个特殊点P作为参考点，它的两个位置作为参考点，它的两个位置如图所示，刚体以线位移如图所示，刚体以线位移则（则（326）式变为：）式变为：均在一个固定轴线均在一个固定轴线（330）用（用（328）形式来写则上式成为：）形式来写则上式成为：可简写为：可简写为：式中式中称为有限螺旋位移矩阵。为称为有限螺旋位移矩阵。为44矩阵。矩阵。（331）（332）解：根据参考点解：根据参考点p运动前后的位置及刚体的转角运动前后的位置及刚体的转角，构成位移矩阵构成位移矩

10、阵例例1 已知一个作平面运动的刚体，其运动可用参考点已知一个作平面运动的刚体，其运动可用参考点p从从位置到位置到位置的位移以及刚体的转角位置的位移以及刚体的转角来描述，已知刚体上任一点来描述，已知刚体上任一点Q0在第一个位置在第一个位置，求，求Q第二个位置的坐标第二个位置的坐标时其坐标时其坐标四、位移矩阵示例四、位移矩阵示例再由式（再由式（3-25）可得）可得:例例2 求例求例1中刚体位置中刚体位置1到位置到位置2的有限旋转中心的有限旋转中心?当一个作平面运动的刚体，从位置当一个作平面运动的刚体，从位置1到位置到位置2时，该平面时，该平面上总存在一个位置不变的点，此平面可以看作是绕固定平上总存

11、在一个位置不变的点，此平面可以看作是绕固定平面上的这一点作旋转。该点称为有限转动中心。注意，这面上的这一点作旋转。该点称为有限转动中心。注意，这一点和速度为零的点（速度瞬心）概念不能混同。一点和速度为零的点（速度瞬心）概念不能混同。设旋转中心设旋转中心因为描述刚体运动位移矩阵无论其所用的参考点是那一点，因为描述刚体运动位移矩阵无论其所用的参考点是那一点，作得的位移矩阵元素的对应值必定是相同的。因此作得的位移矩阵元素的对应值必定是相同的。因此作为参考点，写出解析形式的位移矩阵：作为参考点，写出解析形式的位移矩阵：由上例由上例数值矩阵第三列各对应元素相等得：数值矩阵第三列各对应元素相等得：再用再用

12、代入得：代入得：例例3 由数值位移矩阵元素求螺旋运动参数由数值位移矩阵元素求螺旋运动参数?螺旋运动是用来描述刚体空间有限位移的最简单运动。因螺旋运动是用来描述刚体空间有限位移的最简单运动。因此，用螺旋位移矩阵可方便地描述空间有限位移。但工程设计此，用螺旋位移矩阵可方便地描述空间有限位移。但工程设计实际问题中，给定的刚体位置参数的已知数据常常不是螺旋运实际问题中，给定的刚体位置参数的已知数据常常不是螺旋运动参数的数值，我们应用螺旋位移矩阵描述空间有限位移时，动参数的数值，我们应用螺旋位移矩阵描述空间有限位移时，首先要构成数值位移矩阵，然后可求出相应的螺旋运动参数首先要构成数值位移矩阵，然后可求出

13、相应的螺旋运动参数假设刚体由位置假设刚体由位置1到位置到位置j的数值位移矩阵的数值位移矩阵为：为：的数值。的数值。（333）因为无论用那种形式的位移矩阵来描述空间的有限位移，因为无论用那种形式的位移矩阵来描述空间的有限位移，对相同的位移，它们对应的元素相等。这样就可按已知的数值对相同的位移，它们对应的元素相等。这样就可按已知的数值位移矩阵，求得相应的螺旋位移矩阵的有关参数。位移矩阵，求得相应的螺旋位移矩阵的有关参数。（1）求螺旋转角）求螺旋转角 令式（令式（331）中旋转子阵的对角元素与已知的数值矩阵）中旋转子阵的对角元素与已知的数值矩阵式（式（333）中对应元素相等，则其对角线元素的总和亦相

14、等，）中对应元素相等，则其对角线元素的总和亦相等，即：即：所以：所以：（334）（2）求）求由式（由式（3-31）中旋转子阵的元素得：）中旋转子阵的元素得：所以：所以：同理：同理：（螺旋轴（螺旋轴u的方向余弦）的方向余弦）（335）（3）求线位移）求线位移s及螺旋轴上参考点及螺旋轴上参考点的坐标的坐标，为使计算简化，设，为使计算简化，设这时式（这时式（331）中第四列元素与已知的数值位移矩阵（）中第四列元素与已知的数值位移矩阵（333）式的对应元素相等，可得方程组：）式的对应元素相等，可得方程组：写成矩阵形式得：写成矩阵形式得：假设假设（336）这里有两种特殊情况，这里有两种特殊情况，如如即位

15、移只沿即位移只沿u方向能移动方向能移动s：u方向：方向：当当时时 s和和p则由该式求得。则由该式求得。由上式可方便地求得由上式可方便地求得 五、数值位移矩阵的建立五、数值位移矩阵的建立D1j为刚体为刚体E E从第一位置从第一位置E1E1运动到第运动到第j j位置的位移矩阵。位置的位移矩阵。已知刚体已知刚体E上不共面的四个点上不共面的四个点P、Q、R和和G在位置在位置1和位置和位置j时的坐标值。时的坐标值。1 1 做平面运动的刚体，其位移能用运动平面上任取的不共线的做平面运动的刚体，其位移能用运动平面上任取的不共线的A、B、C三点的位移完全确定下来。假设：三点的位移完全确定下来。假设：三个位移方

16、程可合并成：三个位移方程可合并成：如果知道平面上任意两点的位移，如何构成刚体的数值位如果知道平面上任意两点的位移，如何构成刚体的数值位移矩阵？移矩阵？六、位移矩阵的逆六、位移矩阵的逆对于平面旋转矩阵，可用对于平面旋转矩阵，可用角所构成的逆位移来构成角所构成的逆位移来构成，于是，于是:对于上式：对于上式：R是正交矩阵，是正交矩阵，对于空间旋转矩阵仍成立。对于空间旋转矩阵仍成立。对于位移矩阵，可将位移分解成位移和转动二部分，通过对于位移矩阵，可将位移分解成位移和转动二部分，通过依次位移矩阵来描述，即：依次位移矩阵来描述，即：平面：平面：空间空间44：去计算逆位移矩阵去计算逆位移矩阵应用以上等式很容

17、易由位移矩阵元素应用以上等式很容易由位移矩阵元素的各元素，当需要反复计算逆阵时可节省数值计算时间。的各元素，当需要反复计算逆阵时可节省数值计算时间。一、坐标变换矩阵一、坐标变换矩阵 设有两个原点不重合的坐标系设有两个原点不重合的坐标系和和如图，其中点如图，其中点p在在 坐标系坐标系中的坐标中的坐标3-3 坐坐 标标 变变 换换，在坐标系，在坐标系中的坐标为中的坐标为，若坐标系，若坐标系的原点的原点O2在坐标系中的坐标为在坐标系中的坐标为由图：由图：（337）上式可用两坐标系中的轴间夹角的余弦表示：上式可用两坐标系中的轴间夹角的余弦表示：（338）将上式写成齐次的矩阵形式得：将上式写成齐次的矩阵

18、形式得：（339）（340）T21称为由称为由系变到系变到系的坐标变换矩阵，其中系的坐标变换矩阵，其中16个个元素只有元素只有12个有实际意义，左上角前三列的个有实际意义，左上角前三列的33矩阵描述坐标系矩阵描述坐标系在系在系中的方位，其九个元素只有均不在同一行（或同一列）中的方位，其九个元素只有均不在同一行（或同一列）上的三个元素是独立的。第四列前三个元素表示坐标系上的三个元素是独立的。第四列前三个元素表示坐标系原点原点O2在系在系中的位置（坐标）。中的位置（坐标）。当两坐标的原点重合，即其原点的坐标变换时，一般当两坐标的原点重合，即其原点的坐标变换时，一般仍可用（仍可用（339）式，只是第

19、四列改为（）式，只是第四列改为（0、0、0、1）即可，若）即可，若z1与与z2重合如图，则重合如图，则系到系到系的坐标变换矩阵为：系的坐标变换矩阵为：（340）共原点共原点Z轴重合共原点轴重合共原点 将上式与式（将上式与式（32）比较它们形式大致相同，前面）比较它们形式大致相同，前面33矩矩阵完全相同，所不同的只是阵完全相同，所不同的只是对平面也适合，其原点坐标变换矩阵为（对平面也适合，其原点坐标变换矩阵为（33）：）：若已知若已知R点在坐标系点在坐标系里的坐标里的坐标则则R点在点在系里的坐标可用（系里的坐标可用（341）式求出即：）式求出即：（341）所以从所以从系变到系变到系的坐标变换矩阵

20、即为坐标系系的坐标变换矩阵即为坐标系绕绕z轴轴转过转过角使其与坐标系角使其与坐标系重合的旋转矩阵重合的旋转矩阵R。位置不同。位置不同。同样若已知同样若已知R点在点在系里的坐标系里的坐标，求，求R点在点在点的坐标，则：点的坐标，则：所以：所以：相当于相当于绕绕z转转到到重合。重合。（342）对于不共原点坐标变换，可用同样办法讨论。对于不共原点坐标变换，可用同样办法讨论。如图有两个坐标系如图有两个坐标系若已知若已知P点在点在系的坐标：系的坐标：o2点在点在系里坐标：系里坐标：则：则：写成矩阵形式：写成矩阵形式：（343）另一方面可以将坐标系另一方面可以将坐标系看作看作经绕经绕z轴转轴转角，角，所形

21、成的，可以把所形成的，可以把写出由写出由系到系到系的位移矩阵为：系的位移矩阵为：所以：所以：以上是平面情况，同样适用于空间坐标系。以上是平面情况，同样适用于空间坐标系。又随参考系由又随参考系由点当成参考点，点当成参考点，（344）二、二、DH矩阵矩阵相对位姿矩阵相对位姿矩阵 若从空间机构中任取两相邻构件若从空间机构中任取两相邻构件i和和i+1，如在每个构件，如在每个构件上固连一个坐标系，则上固连一个坐标系，则i+1构件上某点构件上某点p在坐标系在坐标系i+1和和i中的中的坐标变换可用式坐标变换可用式(3-39)坐标变换矩阵来描述，对于不共原点坐标变换矩阵来描述，对于不共原点两个任意方位的坐标系

22、，会有六个独立参数两个任意方位的坐标系，会有六个独立参数:哈登伯格（哈登伯格（Hartenberg）和迪纳维特（）和迪纳维特（Denavit）提出）提出DH法，可使六个独立参数减少到四个。该法称为法，可使六个独立参数减少到四个。该法称为DH矩阵矩阵或位姿矩阵。或位姿矩阵。按按DH表示法，图示五级副（转动副或移动副）组成表示法，图示五级副（转动副或移动副）组成的空间机构，两个相邻构件的空间机构，两个相邻构件1和和2中，坐标系取法为：中，坐标系取法为：有效的方法为先选定各有效的方法为先选定各个坐标系的个坐标系的Z轴，对于转动轴，对于转动副，移动副，螺旋副及副，移动副，螺旋副及级副，圆柱副，级副，圆

23、柱副，Z轴取与运轴取与运动副轴线相重合；动副轴线相重合；Z轴确定后，沿两个相轴确定后，沿两个相邻邻Z轴（如轴（如Z1、Z2）的最短）的最短公垂线即最短距离线确定公垂线即最短距离线确定X轴，图中轴，图中X2取在取在Z1、Z2轴最短轴最短d1的延长线上，的延长线上，Y轴轴由右手规则决定。由右手规则决定。由上述规则可确定下列参数：由上述规则可确定下列参数：1、d1是是Z2与与Z1两轴的垂直距离，两轴的垂直距离，正向一致时取正向一致时取Z；2、1是是Z2与与Z1两轴间夹角，面对两轴间夹角，面对x2轴，轴，Z2由由Z1逆时针转为正。逆时针转为正。3、1是是x2与与x1两轴间夹角，面对两轴间夹角，面对Z1

24、轴，轴，x1向向x2逆时针转为正。逆时针转为正。是是x1和和x2间的距离，间的距离，与与Z1轴方向一致时为正。轴方向一致时为正。由此方程（由此方程（339）式写成：）式写成：HD矩阵矩阵:（349）对于一个具有对于一个具有n个构件的闭环机构，进行连续变换，即：个构件的闭环机构，进行连续变换，即：闭环机构：闭环机构：DH矩阵在空间机构运动分析和综合中非常有用，尤矩阵在空间机构运动分析和综合中非常有用，尤其对于机器人的运动分析特别有效。其对于机器人的运动分析特别有效。H（350）（351）例：图示一偏心曲柄滑块机构，已知机构的尺寸，进行运动例：图示一偏心曲柄滑块机构，已知机构的尺寸，进行运动分析。

25、分析。解：解：首先建立与各构件固联的坐标系，因为为平面机构则首先建立与各构件固联的坐标系，因为为平面机构则三个转动副轴线垂直纸面，构件三个转动副轴线垂直纸面，构件2和构件和构件1组成移动副，组成移动副，z1平行平行导路。导路。由此可以看出由此可以看出又由：又由：H中的元素是：中的元素是：的函数，当给定的函数，当给定4就可求出就可求出s1，2和和3设：已知设：已知（352）求：求：s1，2，3等位置函数等位置函数解：代入上述（解：代入上述（351）的结果如下：）的结果如下：对角线为对角线为1，其余均为零，其余均为零 由由、行行代入代入得：得：代入代入得：得：，在，在系为系为因此对矩阵，实质上若构

26、件上有一点为因此对矩阵，实质上若构件上有一点为 P在在系中坐标为系中坐标为 即只要知道由即只要知道由系位移到系位移到系的位移矩阵得到了系的位移矩阵得到了系系到到系的坐标变换，因此式（系的坐标变换，因此式（339）知）知T21即：即：上例：上例：T21与与H21的区别则在的区别则在H-D矩阵在取坐标系过程中作矩阵在取坐标系过程中作了特定约定处理，计算更为简单，而了特定约定处理，计算更为简单，而T21则为一般式。则为一般式。34 微分旋转矩阵和位移矩阵微分旋转矩阵和位移矩阵 1、矢量积的矩阵表示、矢量积的矩阵表示（353）叉积：叉积：（354）一、微分旋转矩阵一、微分旋转矩阵是是的反对称矩阵表示法

27、。的反对称矩阵表示法。上的单位矢量也可用反对称矩阵表示：上的单位矢量也可用反对称矩阵表示：利用反对称可将旋转矩阵利用反对称可将旋转矩阵表示为：表示为：其中：其中：对于旋转轴对于旋转轴（355）（356）2、角速度矩阵、角速度矩阵W的旋转可用矩阵方程式描述，即的旋转可用矩阵方程式描述，即：R是以几种可能形式之一所表示的旋转矩阵。是以几种可能形式之一所表示的旋转矩阵。位置的变化率可对上式微分：位置的变化率可对上式微分：又由又由:所以：所以：W称为角速度矩阵。称为角速度矩阵。一个矢量一个矢量（357）（358）对于平面：对于平面：式中：式中：是单位旋转轴是单位旋转轴z的反对称表示。的反对称表示。太烦

28、，太烦，的单位矢量为的单位矢量为，则微分导得：，则微分导得：空间角速度矩阵也可用（空间角速度矩阵也可用（358）得出，但）得出，但所以利用矢量的微分及矢量叉积的矩阵表示导出。所以利用矢量的微分及矢量叉积的矩阵表示导出。若一个矢量若一个矢量对于定长矢量对于定长矢量也可对（也可对（356）式进行微分得到）式进行微分得到,即即:（359）（360）3、角加速度矩阵、角加速度矩阵E 再微分再微分:又因又因:则则:所以所以:写成矩阵形式写成矩阵形式:E称为角加速矩阵。称为角加速矩阵。也可由（也可由（356）微分而得，即：）微分而得，即：（361）平面角加速度：平面角加速度：的特别情况，得：的特别情况，得

29、：可展开成空间角加速度形式为：可展开成空间角加速度形式为：（362）（363）二、微分位移矩阵二、微分位移矩阵 微分形成。微分形成。定长：定长：由此得：由此得：v速度矩阵速度矩阵1、速度矩阵、速度矩阵 位移矩阵一阶微分称为速度矩阵，速度矩阵可从对固位移矩阵一阶微分称为速度矩阵，速度矩阵可从对固定在刚体上的二点（参考点定在刚体上的二点（参考点P及研究点及研究点Q）所决定的）所决定的由对由对（364）2、加速度矩阵、加速度矩阵A加速度矩阵。加速度矩阵。同样可导出二阶加速度矩阵，又称同样可导出二阶加速度矩阵，又称“跃动跃动”矩阵矩阵J：J跃动矩阵跃动矩阵（365）（366）（367）可见：描述刚体上任意点的速度、加速度及二次加速度的运动可见：描述刚体上任意点的速度、加速度及二次加速度的运动矩阵可以很容易地以旋转矩阵来形成，可推出一般的关系式：矩阵可以很容易地以旋转矩阵来形成，可推出一般的关系式：（n）表示微分阶数，式）表示微分阶数，式369在机构运动分析和综在机构运动分析和综合中经常要用。合中经常要用。（368）（369）