《数学物理方程》第3章行波法与积分变换法.ppt

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1、一一 无限长弦的自由振动无限长弦的自由振动Cauchy问题问题有限弦，波运动到端点会产生反射波有限弦，波运动到端点会产生反射波当反射波未融合时，振动可以作为初值问题当反射波未融合时，振动可以作为初值问题1 一维波动方程的一维波动方程的DAlembert公式公式行波法行波法用于用于波动方程的初值问题波动方程的初值问题第第3章章 行波法与积分变换法行波法与积分变换法二二 物理意义物理意义1 左行波和右行波左行波和右行波2 依赖区间依赖区间 影响域和决定域影响域和决定域行波法也称行波法也称 特征线法特征线法三三 双曲型方程初值问题的特征线法双曲型方程初值问题的特征线法记作记作例例2解解例例1 1解解

2、五五 非齐非齐DE转化为齐次转化为齐次DE-齐次化原理齐次化原理由迭加由迭加 原理原理四四 一维热方程的一维热方程的“DAlembert”公公式式一一 三维齐次波动方程的三维齐次波动方程的Poisson公式公式1.三维三维poisson公式公式2 三维波动方程的三维波动方程的Poisson公式公式2.三维三维poisson公式的推导公式的推导(略略)例例1解解3.计算计算柱坐标柱坐标积分中积分中x y z是常数是常数二二 二维波动方程初值问题的解二维波动方程初值问题的解降维法降维法dDM(x,y,z)扰动区扰动区无无后后效效三维波动问题三维波动问题 一点处初始扰动以一点处初始扰动以球面波球面波

3、向所有方向传播向所有方向传播三三 物理意义物理意义二维空间中的波动现象不同于三维空间二维空间中的波动现象不同于三维空间有后效有后效二维波动问题二维波动问题 一点一点(直线直线)处初始扰动以处初始扰动以柱面波柱面波向所有方向传播向所有方向传播作业作业1.行波法只用于解行波法只用于解齐次波动齐次波动方程的方程的初值初值问题问题2.利用公式利用公式,由问题的由问题的IC可立即求得解可立即求得解行波法小结行波法小结1 Fourier 变换变换(1)定义定义一一 积分变换积分变换 用可逆的积分运算用可逆的积分运算,把一函数转变成另一函数把一函数转变成另一函数选择不同的积分域和积分核选择不同的积分域和积分

4、核,就得到不同的积分变换就得到不同的积分变换3 积分变换法积分变换法(2)性质性质线性性质线性性质位移性质位移性质微分性质微分性质积分性质积分性质卷积定理卷积定理乘法乘法定理定理例例1(1)定义定义2 Laplace变换变换例例2作业作业 例例3(2)性质性质线性性质线性性质位移性质位移性质延迟性质延迟性质微分性质微分性质积分性质积分性质卷积定理卷积定理 F卷积定理卷积定理证明证明乘法定理乘法定理证明证明换序换序 L卷积定理卷积定理证明证明换序换序例例4例例5例例6解解例例7积分变换积分变换 基本思想基本思想:常微分常微分(积分积分)方程方程 代数方程代数方程例例8解解二二 二元偏微分方程定解问题二元偏微分方程定解问题 交换运算交换运算 次序次序 总假设总假设例例11解解积分变换积分变换 基本思想基本思想:二元偏微方程二元偏微方程 常微方程常微方程 二阶常系数线性二阶常系数线性非齐次常微分方程非齐次常微分方程例例12解解见例见例8初值问题初值问题例例13解解解解例例14解解例例15例例16解解解解例例171.积分变换法可用来求解积分变换法可用来求解初值初值问题、问题、混合混合问问 题题(t0)和和无界区域上的边值无界区域上的边值问题问题小结小结作业作业 p83 ex3-2(L),6(F),8(F)