知识回顾-概率论与数理统计.ppt

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1、数理统计基础数理统计基础u求和运算及相关性质求和运算及相关性质u随机变量及其数值特征随机变量及其数值特征u从总体到样本从总体到样本u几个重要的抽样分布几个重要的抽样分布内容提要内容提要数学期望数学期望定义定义1离散型随机变量离散型随机变量数学期望的定义数学期望的定义假定有一个离散型随机变量假定有一个离散型随机变量X有有n个不同的可能取值个不同的可能取值x1,x2,xn，而，而p1,p2,pn是是X取这些值相应的概率，取这些值相应的概率，则这个随机变量则这个随机变量X的数学期望定义如下：的数学期望定义如下：数学期望描述的是随机变量（总体）的一般水平。数学期望描述的是随机变量（总体）的一般水平。定

2、义定义2连续型随机变量连续型随机变量数学期望的定义数学期望的定义期望的性质期望的性质（1）如果）如果a、b为常数，则为常数，则 E(aX+b)=aE(X)+b（2）如果）如果X、Y为两个随机变量，则为两个随机变量，则 E(X+Y)=E(X)+E(Y)（3）如果）如果g(x)和和f(x)分别为分别为X的两个函数，则的两个函数，则 Eg(X)+f(X)=Eg(X)+Ef(X)（4）如果）如果X、Y是两个独立的随机变量，则是两个独立的随机变量，则 E(X.Y)=E(X).E(Y)方差反映随机变量的离散程度。方差反映随机变量的离散程度。对于随机变量对于随机变量X，若，若EX-EX2存在，则称存在，则称

3、EX-EX2为随机变量为随机变量X的的方差方差，记为，记为D(X)或或Var(X)，即，即D(X)=EX-EX2称为随机变量称为随机变量X的的均方差或标准差均方差或标准差。方差方差由方差的定义可知，由方差的定义可知，D(X)0。当当X为为离散型随机变量离散型随机变量时，且分布律为时，且分布律为 P(X=xk)=pk，则，则当当X为为连续型随机变量连续型随机变量时，且密度函数为时，且密度函数为f(x)，则，则在实际计算中，通常使用如下公式在实际计算中，通常使用如下公式即方差是即方差是“随机变量平方的期望减去随机变量期望的随机变量平方的期望减去随机变量期望的平方平方”。方差的性质方差的性质（a、b

4、、c为常数；为常数；x、y为随机变量）为随机变量）（1）Var(c)=0（2）Var(c+x)=Var(x)（3）Var(cx)=c2Var(x)（4）Var(x-y)=Var(x)+Var(y)-2cov(x,y)Var(x+y)=Var(x)+Var(y)+2cov(x,y)若若x，y独立，则：独立，则：Var(x+y)=Var(x)+Var(y)（5）Var(a+bx)=b2Var(x)（6）a,b为常数，为常数，x,y为两个相互独立的随机变量，为两个相互独立的随机变量，则则Var(ax+by)=a2Var(x)+b2Var(y)（7）Var(x)=E(x2)-(E(x)2证明:=D(x

5、)+D(y)+2cov(x,y)证明：D(x+y)=D(x)+D(y)+2cov(x,y)协方差协方差 A.协方差定义协方差定义随机变量随机变量X和和Y，若，若X的期望的期望E(X)和和Y的期望的期望E(Y)存在存在,则称则称COV(X,Y)=EX E(X)Y E(Y).为为X与与Y的的协方差协方差,易见易见COV(X,Y)=E(XY）-E(X)E(Y).B.相关系数相关系数 A.定义定义 若随机变量若随机变量 X，Y的方差和协方的方差和协方差均存在差均存在,且且DX0,DY0，则，则称为称为X与与Y的的相关系数相关系数.B.相关系数的性质相关系数的性质(1)|XY|1；(2)|XY|=1存在

6、存在常数常数a,b使使PY=aX+b=1；(3)X与与Y不相关不相关 XY=0;（一）统计量（一）统计量（样本均值、样本方差、标准差）（样本均值、样本方差、标准差）（二）抽样分布（二）抽样分布 （正态分布、（正态分布、t分布、分布、F分布）分布）（三）几个重要的抽样分布定理（三）几个重要的抽样分布定理几个重要的抽样分布几个重要的抽样分布由由样样本本值值去去推推断断总总体体情情况况，需需要要对对样样本本值值进进行行“加加工工”，这这就就要要构构造造一一些些样样本本的的函函数数，它它把把样样本本中中所所含含的的（某某一一方方面面）的的信息集中起来信息集中起来.这种不含任何未知参数的这种不含任何未知

7、参数的样本的函数样本的函数称为称为统计量统计量.它是完全由样本决定的量它是完全由样本决定的量.（一）统计量（一）统计量几个常见统计量几个常见统计量样本均值：样本均值：样本方差：样本方差：它反映了总体均值它反映了总体均值的信息的信息它反映了总体方差它反映了总体方差的信息的信息样本标准差：样本标准差：S统计量既然是依赖于样本的，而统计量既然是依赖于样本的，而后者又是随机变量，故统计量也是随后者又是随机变量，故统计量也是随机变量，因而就有一定的分布，这个机变量，因而就有一定的分布，这个分布叫做分布叫做统计量的统计量的“抽样分布抽样分布”.（二）抽样分布（二）抽样分布几种重要分布几种重要分布n正态分布

8、（含标准正态分布）正态分布（含标准正态分布）n n t分布分布n F分布分布 （1）正态分布的）正态分布的定义：定义：（2）正态分布的数学）正态分布的数学期望和方差：期望和方差：（3）标准正态分布：）标准正态分布：1.正态分布正态分布定理：定理：正态分布标准化正态分布标准化定理：定理：如果如果XN（0，1），则），则X2 X2（1），），即服从具有即服从具有1个自由度的分布。个自由度的分布。分位数问题分位数问题记为记为分布分布2、定定义义:设设相相互互独独立立,都都服服从从标标准准正态分布正态分布N(0,1),则称随机变量：则称随机变量：所服从的分布为自由度为所服从的分布为自由度为 n的的 分

9、布分布.分布是由正态分布派生出来的一种分布分布是由正态分布派生出来的一种分布.由由分布的定义，不难得到：分布的定义，不难得到：1.设设相互独立相互独立,都服从正态分布都服从正态分布则则2.设设且且X1,X2相互独立，相互独立，则则这个性质叫这个性质叫分布的可加性分布的可加性.X2分布的和仍然服从分布的和仍然服从X2分布。分布。2 2分布的分位数分布的分位数对于对于(0,1)(0,1)给定给定,称满足条件称满足条件:的点的点n n2 2()为为n n2 2分布的上分布的上 分位数。分位数。所服从的分布为自由度为所服从的分布为自由度为n的的t 分布分布.定定义义:设设XN(0,1),Y,且且X与与

10、Y相相互独立，则称变量互独立，则称变量3、t 分布分布记为记为T .当当n充分大时，其图形类似于标准正态分充分大时，其图形类似于标准正态分布密度函数的图形布密度函数的图形.T Tt tn n,对于对于(0,1)(0,1)给定给定,称满足条件称满足条件:t t分布的分位数分布的分位数的点t tn n()为为t t分布的上分布的上 分位数。分位数。4、F分布分布定义定义:设设X与与Y相互独相互独立，则称统计量立，则称统计量服从自由度为服从自由度为n1及及n2的的F分布，分布，n1称为第称为第一自由度，一自由度，n2称为第二自由度，记作称为第二自由度，记作F.由定义可见，由定义可见，FF Fm,nm

11、,n,对于对于(0,1)(0,1)给定给定,称满足条件称满足条件:F F分布的分位数分布的分位数 的点的点F Fm,nm,n()为为F F分布的上分布的上 分位数。分位数。定理定理1(样本均值的分布样本均值的分布)：定理定理2(样本方差的分布样本方差的分布)：定理定理3（三）几个重要的抽样分布定理（三）几个重要的抽样分布定理定理定理1(样本均值的分布样本均值的分布)设设X1,X2,Xn是取自正态总体是取自正态总体的样本，则有的样本，则有n取不同值时样本均值取不同值时样本均值的分布的分布定理定理2(样本方差的分布样本方差的分布)设设X1,X2,Xn是取自正态总体是取自正态总体的样本的样本,分别为

12、样本均值和样本方差分别为样本均值和样本方差,则有则有定理定理3设设X1,X2,Xn是取自正态总体是取自正态总体的样本的样本,分别为样本均值和样本方差分别为样本均值和样本方差,则有则有小结一、概念：一、概念：随机变量，总体，样本随机变量，总体，样本二、二、统计量及其分布统计量及其分布1.几个常见统计量几个常见统计量2.统计四大分布统计四大分布样本均值样本均值,样本方差样本方差分布分布,t 分布分布,F分布分布正态分布，正态分布，3.抽样分布定理抽样分布定理设设X1,X2,Xn是取自正态总体是取自正态总体的样本的样本,则则注意把握各种分布之间的联系注意把握各种分布之间的联系1.一般正态分布与标准正态分布的关系一般正态分布与标准正态分布的关系 如果如果XN（，2），则（），则（X-）/N（0，1）2.标准正态分布与标准正态分布与X2分布之间的关系分布之间的关系 如果如果XN（0，1），则），则X2 X2（1），即服从具有），即服从具有1个自由度的分布。个自由度的分布。3.标准正态分布与标准正态分布与t分布之间的关系分布之间的关系4.标准正态分布（分布）与标准正态分布（分布）与F分布之间的关系分布之间的关系5.关于正态分布的和关于正态分布的和6.关于关于X2分布分布