测量误差理论及数据处理.ppt

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1、电子测量电子测量电子测量电子测量技术技术技术技术第1页2 2章测量误差理论与数据处理章测量误差理论与数据处理u2.1 2.1 测量误差的测量误差的基本概念基本概念u2.2 2.2 测量误差的估计和处理测量误差的估计和处理 u2.3 2.3 测量误差的测量误差的合成与分配合成与分配u2.4 2.4 测量数据处理测量数据处理 电子测量电子测量电子测量电子测量技术技术技术技术第2页2.1测量误差的基本概念测量误差的基本概念uu测量的目的测量的目的测量的目的测量的目的:获得被测量的获得被测量的真值真值。uu真值真值真值真值:在一定的时间和空间环境条件下，被测量本身所具有的真实数值。在一定的时间和空间环

2、境条件下，被测量本身所具有的真实数值。uu测量误差测量误差测量误差测量误差:出现测量结果与实际值（真值）有差异，这种差异称为测量误出现测量结果与实际值（真值）有差异，这种差异称为测量误差差 uu所有测量结果都带有误差所有测量结果都带有误差所有测量结果都带有误差所有测量结果都带有误差uu测量误差的来源测量误差的来源测量误差的来源测量误差的来源 （1 1 1 1）仪器误差：）仪器误差：）仪器误差：）仪器误差：由于测量仪器及其附件的设计、制造、检定等不完善，以及仪由于测量仪器及其附件的设计、制造、检定等不完善，以及仪器使用过程中老化、磨损、疲劳等因素而使仪器带有的误差。器使用过程中老化、磨损、疲劳等

3、因素而使仪器带有的误差。（2 2 2 2）影影影影响响响响误误误误差差差差：由由于于各各种种环环境境因因素素（温温度度、湿湿度度、振振动动、电电源源电电压压、电电磁磁场场等等）与测量要求的条件不一致而引起的误差。与测量要求的条件不一致而引起的误差。（3 3 3 3）理理理理论论论论误误误误差差差差和和和和方方方方法法法法误误误误差差差差：由由于于测测量量原原理理、近近似似公公式式、测测量量方方法法不不合合理理而而造造成成的误差。的误差。（4 4 4 4）人人人人身身身身误误误误差差差差：由由于于测测量量人人员员感感官官的的分分辨辨能能力力、反反应应速速度度、视视觉觉疲疲劳劳、固固有有习习惯惯、

4、缺缺乏乏责责任任心心等等原原因因，而而在在测测量量中中使使用用操操作作不不当当、现现象象判判断断出出错错或或数数据据读取疏失等而引起的误差。读取疏失等而引起的误差。（5 5 5 5）测测测测量量量量对对对对象象象象变变变变化化化化误误误误差差差差：测测量量过过程程中中由由于于测测量量对对象象变变化化而而使使得得测测量量值值不不准准确确，如引起动态误差等。如引起动态误差等。电子测量电子测量电子测量电子测量技术技术技术技术第3页uu控制测量误差的意义控制测量误差的意义控制测量误差的意义控制测量误差的意义 对很多测量来说，测量工作的价值完全取决于测量的准对很多测量来说，测量工作的价值完全取决于测量的

5、准对很多测量来说，测量工作的价值完全取决于测量的准对很多测量来说，测量工作的价值完全取决于测量的准确程度。确程度。确程度。确程度。uu研究误差理论的目的研究误差理论的目的研究误差理论的目的研究误差理论的目的2.1.1 2.1.1 测量误差的定义测量误差的定义测量误差的定义测量误差的定义测量误差测量结果与被测量真值的差别。2.1.22.1.2测量误差的分类测量误差的分类测量误差的分类测量误差的分类测量误差按表示方法分类有绝对误差、相对误差。1 绝对误差 绝对误差又叫绝对真误差，它可以表示为 x=x x0 (2-1)一、测量误差按表示方法分类一、测量误差按表示方法分类一、测量误差按表示方法分类一、

6、测量误差按表示方法分类 电子测量电子测量电子测量电子测量技术技术技术技术第4页式中uu给出值：给出值：给出值：给出值：在测量中通常就是被测量的测得值。在测量中通常就是被测量的测得值。包括仪器的示值，量具或元件的标称值（又包括仪器的示值，量具或元件的标称值（又叫名义值），近似计算的近似值等等。叫名义值），近似计算的近似值等等。uu真值得给出：真值得给出：真值得给出：真值得给出：可由理论给出或由计量学作出规定；可由理论给出或由计量学作出规定；用用实际值实际值代替。代替。用已修正过的多次测量的算术平均值来代用已修正过的多次测量的算术平均值来代替真值替真值 满足规定准确度要求，用来代替真值使用的量值。

7、在实际测量中，常把用高一等级的计量标准所测得的量值作为实际值uu修正值：与绝对误差修正值：与绝对误差 x x大小相等但符号刚好相反的量，大小相等但符号刚好相反的量，称为修正值，一般用称为修正值，一般用C C表示。表示。C C=-=-x x=x x0 0 x x (2-2)(2-2)式中电子测量电子测量电子测量电子测量技术技术技术技术第5页在某些较准确的仪器中，常常以表格、曲线或公式的形式给在某些较准确的仪器中，常常以表格、曲线或公式的形式给出修正值。出修正值。修正值通常是在校准仪器时给出。修正值通常是在校准仪器时给出。当测量时得到给出值当测量时得到给出值x及修正值C以后，由式(2-2)就可以求

8、出被测量的实际值【例如2-1】某电压表的量程为10V，通过检定而得出其修正值为。如用这只电压表测电路中的电压，其示值为，于是得被测量电压的实际值为解：x0=C+x=（）（）绝对误差及修正值是与给出值具有相同的量纲的量。绝对误差的大小和符号分别表示了给出值偏离真值的程度和方向绝对误差的大小和符号分别表示了给出值偏离真值的程度和方向。2 相对误差 实际测量过程中，常用相对误差来表示仪器测量的准确程度。（1）相对真误差（相对误差）用绝对误差x与被测量的真值的百分比值来表示。用r表示，r=100%(2-3)电子测量电子测量电子测量电子测量技术技术技术技术第6页相对误差是一个只有大小和符号，而没有量纲的

9、量。相对误差是一个只有大小和符号，而没有量纲的量。示值相对误差（又叫标称相对误差）：示值相对误差（又叫标称相对误差）：用绝对误差用绝对误差 x x与被测量与被测量的给出值的给出值 的百分比值来表示；的百分比值来表示；只有在误差较小时用只有在误差较小时用。有时一个仪器的准确程度，可以用误差的绝对形式和相对形式有时一个仪器的准确程度，可以用误差的绝对形式和相对形式有时一个仪器的准确程度，可以用误差的绝对形式和相对形式有时一个仪器的准确程度，可以用误差的绝对形式和相对形式共同表示。共同表示。共同表示。共同表示。分贝误差相对误差的对数表示 在电子学和声学中常用分贝来表示相对误差，叫分贝误差。例如：测量

10、一个有源或无源网络，它的电压或电流传递函数为A0,测得值为A,绝对误差为A，则由A0dB=20lgA0dB及AdB=A0dB+,推导出分贝误差为：相对误差是一个只有大小和符号，而没有量纲的量。相对误差是一个只有大小和符号，而没有量纲的量。示值相对误差（又叫标称相对误差）：示值相对误差（又叫标称相对误差）：用绝对误差用绝对误差 x x与被测量与被测量的给出值的给出值 的百分比值来表示；的百分比值来表示；只有在误差较小时用只有在误差较小时用。有时一个仪器的准确程度，可以用误差的绝对形式和相对形式有时一个仪器的准确程度，可以用误差的绝对形式和相对形式有时一个仪器的准确程度，可以用误差的绝对形式和相对

11、形式有时一个仪器的准确程度，可以用误差的绝对形式和相对形式共同表示。共同表示。共同表示。共同表示。是一个只与相对误差有关的量；并且是有符号的。是一个只与相对误差有关的量；并且是有符号的。（3）满度相对误差 分贝误差相对误差的对数表示 在电子学和声学中常用分贝来表示相对误差，叫分贝误差。例如：测量一个有源或无源网络，它的电压或电流传递函数为A0,测得值为A,绝对误差为A，则由A0dB=20lgA0dB及AdB=A0dB+,推导出分贝误差为：分贝误差相对误差的对数表示 在电子学和声学中常用分贝来表示相对误差，叫分贝误差。例如：测量一个有源或无源网络，它的电压或电流传递函数为A0,测得值为A,绝对误

12、差为A，则由A0dB=20lgA0dB及AdB=A0dB+,推导出分贝误差为：(2-5)为了计算和划分电表准确度等级的方便，在用（2-3）式求相对误差时，改为取电表量程，即满刻度值作为分母，这就引出了满度相对误差（又叫引用相对误差）的概念：电子测量电子测量电子测量电子测量技术技术技术技术第7页用绝对误差x与仪器的满刻度值xm比值来表示的误差称为满度相对误差。用r n表示，(2-6)式中电子仪器正是按r n之值来进行分级的，例如，级的电子仪器，就表明其r n 0.5%，即表示它的引用相对误差所不超过的百分比，并在其面板上标有的符号。如果该仪器同时有几个量程，则所有量程有r n 0.5%。我国生产

13、的电子仪器精度一般分有七级：、。用绝对误差x与仪器的满刻度值xm比值来表示的误差称为满度相对误差。用r n表示，(2-6)用绝对误差x与仪器的满刻度值xm比值来表示的误差称为满度相对误差。用r n表示，若某仪表的等级是s级，它的满刻度值为 ，被测量的真值为 ，那么测量的绝对误差(2-7)若某仪表的等级是s级，它的满刻度值为 ，被测量的真值为 ，那么测量的绝对误差电子测量电子测量电子测量电子测量技术技术技术技术第8页测量的相对误差(2-8)由式（2-7）、（2-8）可见，我们在用这类仪表测量时，所选仪表的满刻度值不应比实测量大得太多；在一般情况下应使被测量的数值尽可能在仪表满刻度的三分之二以上。

14、由P16例3可见，在测量中我们不能片面追求仪表的级别，而应该根据被测量的大小，兼顾仪表的满刻度值和级别，合理的选择仪表。二、测量误差按性质和特点分类二、测量误差按性质和特点分类二、测量误差按性质和特点分类二、测量误差按性质和特点分类 根据测量误差的根据测量误差的根据测量误差的根据测量误差的性质和特点性质和特点性质和特点性质和特点，测量误差可分为系统误差、随机，测量误差可分为系统误差、随机，测量误差可分为系统误差、随机，测量误差可分为系统误差、随机误差、粗大误差三类。误差、粗大误差三类。误差、粗大误差三类。误差、粗大误差三类。电子测量电子测量电子测量电子测量技术技术技术技术第9页uu（一）（一）

15、（一）（一）.系统误差系统误差系统误差系统误差定义定义定义定义：在同一测量条件下，多次测量同一量时，：在同一测量条件下，多次测量同一量时，：在同一测量条件下，多次测量同一量时，：在同一测量条件下，多次测量同一量时，测量误差的测量误差的测量误差的测量误差的绝对值和符号都保持不变绝对值和符号都保持不变绝对值和符号都保持不变绝对值和符号都保持不变，或，或，或，或在测量条件改变时按一定规律在测量条件改变时按一定规律在测量条件改变时按一定规律在测量条件改变时按一定规律变化变化变化变化的误差，称为系统误差。例如仪器的刻度误差和零位误的误差，称为系统误差。例如仪器的刻度误差和零位误的误差，称为系统误差。例如

16、仪器的刻度误差和零位误的误差，称为系统误差。例如仪器的刻度误差和零位误差，或值随温度变化的误差。差，或值随温度变化的误差。差，或值随温度变化的误差。差，或值随温度变化的误差。系统误差一般可以归结为若干个因素的函数。系统误差一般可以归结为若干个因素的函数。系统误差一般可以归结为若干个因素的函数。系统误差一般可以归结为若干个因素的函数。产生的主要原因是产生的主要原因是产生的主要原因是产生的主要原因是测量设备的缺陷、测量仪器不准、测量仪表的安装、放置测量设备的缺陷、测量仪器不准、测量仪表的安装、放置测量设备的缺陷、测量仪器不准、测量仪表的安装、放置测量设备的缺陷、测量仪器不准、测量仪表的安装、放置或

17、使用方法不正确；或使用方法不正确；或使用方法不正确；或使用方法不正确；环境因素（温度、湿度、电源、周围电磁场等）影响；环境因素（温度、湿度、电源、周围电磁场等）影响；环境因素（温度、湿度、电源、周围电磁场等）影响；环境因素（温度、湿度、电源、周围电磁场等）影响；测量时使用的方法不完善，所依据的理论不严密或测量时使用的方法不完善，所依据的理论不严密或测量时使用的方法不完善，所依据的理论不严密或测量时使用的方法不完善，所依据的理论不严密或测量原测量原测量原测量原理中使用近似计算公式（常称为理论误差或方法误差）；理中使用近似计算公式（常称为理论误差或方法误差）；理中使用近似计算公式（常称为理论误差或

18、方法误差）；理中使用近似计算公式（常称为理论误差或方法误差）；测量人员不良的读数习惯等。测量人员不良的读数习惯等。测量人员不良的读数习惯等。测量人员不良的读数习惯等。电子测量电子测量电子测量电子测量技术技术技术技术第10页 定义、根源和特点定义、根源和特点定义、根源和特点定义、根源和特点定义定义定义定义:在同一测量条件下（指在测量环境、测量人在同一测量条件下（指在测量环境、测量人 员、测量技术和测量仪器都相同的条件下），多次重员、测量技术和测量仪器都相同的条件下），多次重 复测量同一量值时，每次测量误差的绝对值和符号都复测量同一量值时，每次测量误差的绝对值和符号都 以不可预知的方式变化的误差以

19、不可预知的方式变化的误差，称为随机误差或偶然，称为随机误差或偶然 误差，简称随差。误差，简称随差。随机误差主要由那些对随机误差主要由那些对测量值影响较微小，又互不相测量值影响较微小，又互不相 关的多种因素共同造成的。关的多种因素共同造成的。这些因素主要是噪声干扰、电磁场微变、零件的摩擦这些因素主要是噪声干扰、电磁场微变、零件的摩擦 和配合间隙、热起伏、空气扰动、大地微震、测量人和配合间隙、热起伏、空气扰动、大地微震、测量人 员感官的各种无规律的微小变化等。员感官的各种无规律的微小变化等。（二）（二）（二）（二）.随机误差随机误差随机误差随机误差电子测量电子测量电子测量电子测量技术技术技术技术第

20、11页一次测量的随机误差没有规律、不可预定、不能控制一次测量的随机误差没有规律、不可预定、不能控制 也不能用实验的方法加以消除。也不能用实验的方法加以消除。但是，对于大量的测量，从统计的观点来看，随机误但是，对于大量的测量，从统计的观点来看，随机误 差表现了它的规律性，即差表现了它的规律性，即随机误差在多次测量的总体随机误差在多次测量的总体 上服从统计规律。上服从统计规律。可通过可通过数理统计的方法数理统计的方法来处理来处理,即求算术平均值，通过即求算术平均值，通过 多次测量取平均值的办法来削弱随机误差对测量结果多次测量取平均值的办法来削弱随机误差对测量结果 的影响。的影响。随机误差变化的特点

21、是：随机误差变化的特点是：有界性；有界性；对称性；对称性；抵抵 偿性。偿性。很多测量结果的随机误差的分布形式接近于很多测量结果的随机误差的分布形式接近于正态分正态分 布布，也有部分测量结果的随机误差属于，也有部分测量结果的随机误差属于均匀分布均匀分布或其或其 他分布。他分布。电子测量电子测量电子测量电子测量技术技术技术技术第12页在测量中，随机误差是不可避免的。在测量中，随机误差是不可避免的。在进行测量之前，我们不能预言测量值肯定为多少，在进行测量之前，我们不能预言测量值肯定为多少，只能对它的变化范围进行估计，因而只能对它的变化范围进行估计，因而测量值是一个随机测量值是一个随机变量变量。多次测

22、量，多次测量，测量值和随机误差服从概率统计规律测量值和随机误差服从概率统计规律。可用可用数理统计的方法数理统计的方法，处理测量数据，从而减少随机，处理测量数据，从而减少随机 误差对测量结果的影响。误差对测量结果的影响。测量值的取值可以是连续的，也可以是离散的。测量值的取值可以是连续的，也可以是离散的。测量值为离散值时的数学期望和方差 测量值为离散值时的数学期望 测量数据的数学期望和方差测量数据的数学期望和方差测量数据的数学期望和方差测量数据的数学期望和方差电子测量电子测量电子测量电子测量技术技术技术技术第13页uu若若测量值测量值X X可能的取值数可能的取值数mm为有限个或无穷可数个离散为有限

23、个或无穷可数个离散值时：值时：当测量次数当测量次数nn时，可以用某取值发生的频率时，可以用某取值发生的频率n ni in n代替事件发生的概率代替事件发生的概率P Pi i(i=1(i=1m),m),这时，测量值这时，测量值X X的数的数学期望为：学期望为：式中电子测量电子测量电子测量电子测量技术技术技术技术第14页若每个测量值只得到一次，或者每次测量结果单独统计，若每个测量值只得到一次，或者每次测量结果单独统计，认为认为n n次测量得到次测量得到n n个测量值，而不考虑这些结果中有无个测量值，而不考虑这些结果中有无相同的情况时：相同的情况时：当测量次数当测量次数nn时，可以用测量值出现的频率

24、时，可以用测量值出现的频率1 1n n代代替事件发生的概率替事件发生的概率P Pi i(i=1(i=1m),m),这时，则得到测量值这时，则得到测量值X X的的数学期望为：数学期望为：测量值测量值的数学期望就是的数学期望就是当测量次数当测量次数nn时，它的各次时，它的各次测量值的算术平均值测量值的算术平均值测量值测量值的数学期望只反映的数学期望只反映测量值平均的情况测量值平均的情况 测量值测量值的数学期望就是的数学期望就是当测量次数当测量次数nn时，它的各次时，它的各次测量值的算术平均值测量值的算术平均值测量值测量值的数学期望只反映的数学期望只反映测量值平均的情况测量值平均的情况电子测量电子测

25、量电子测量电子测量技术技术技术技术第15页 测量值为离散值时的方差若测量值若测量值X X可能的取值数可能的取值数mm为有限个或无穷可数个离散值时：为有限个或无穷可数个离散值时：当测量次数当测量次数nn时，可以用事件发生的频率时，可以用事件发生的频率n ni in n代替第代替第i i种取种取值的概率值的概率P Pi i(i=1(i=1m),m),这时，测量值这时，测量值X X的方差为：的方差为：若每个测量值只得到一次，或者每次测量结果单独统计，认为若每个测量值只得到一次，或者每次测量结果单独统计，认为n n次次测量得到测量得到n n个测量值，而不考虑这些结果中有无相同的情况时：个测量值，而不考

26、虑这些结果中有无相同的情况时：当测量次数当测量次数nn时，可以用测量值出现的频率时，可以用测量值出现的频率1 1n n代替概率代替概率P Pi i(i=1(i=1m),m),这时，则得到测量值这时，则得到测量值X X的方差：的方差：若测量值若测量值X X可能的取值数可能的取值数mm为有限个或无穷可数个离散值时：为有限个或无穷可数个离散值时：当测量次数当测量次数nn时，可以用事件发生的频率时，可以用事件发生的频率n ni in n代替第代替第i i种取种取值的概率值的概率P Pi i(i=1(i=1m),m),这时，测量值这时，测量值X X的方差为：的方差为：若每个测量值只得到一次，或者每次测量

27、结果单独统计，认为若每个测量值只得到一次，或者每次测量结果单独统计，认为n n次次测量得到测量得到n n个测量值，而不考虑这些结果中有无相同的情况时：个测量值，而不考虑这些结果中有无相同的情况时：当测量次数当测量次数nn时，可以用测量值出现的频率时，可以用测量值出现的频率1 1n n代替概率代替概率P Pi i(i=1(i=1m),m),这时，则得到测量值这时，则得到测量值X X的方差：的方差：电子测量电子测量电子测量电子测量技术技术技术技术第16页 测量值测量值的方差是用来描述测量值的离散程度或者说随机误差对测量值的方差是用来描述测量值的离散程度或者说随机误差对测量值的影响的。的影响的。在式

28、（在式（2-112-11）中，不采用）中，不采用xxi i-M(X)-M(X)来进行平均，而取它的平方来平均。来进行平均，而取它的平方来平均。标准偏差：标准偏差：标准偏差：标准偏差：方差的算术平方根方差的算术平方根方差的算术平方根方差的算术平方根 标准偏差同样用来描述测量值的离散程度，标准偏差同样用来描述测量值的离散程度，标准偏差同样用来描述测量值的离散程度，标准偏差同样用来描述测量值的离散程度，越小，测量值越集中。越小，测量值越集中。越小，测量值越集中。越小，测量值越集中。测量值测量值的方差是用来描述的方差是用来描述测量值的离散程度测量值的离散程度测量值的离散程度测量值的离散程度或者说随机误

29、差对测量值或者说随机误差对测量值的影响的。的影响的。在式（在式（2-112-11）中，不采用）中，不采用xxi i-M(X)-M(X)来进行平均，而取它的平方来平均。来进行平均，而取它的平方来平均。标准偏差：标准偏差：标准偏差：标准偏差：方差的算术平方根方差的算术平方根方差的算术平方根方差的算术平方根 标准偏差同样用来描述标准偏差同样用来描述标准偏差同样用来描述标准偏差同样用来描述测量值的离散程度测量值的离散程度测量值的离散程度测量值的离散程度，越小，测量值越集中。越小，测量值越集中。越小，测量值越集中。越小，测量值越集中。测量值为连续值时的数学期望和方差设测量值X落在区间内的概率为之比的极限

30、存在当趋于零时，若就把它称为测量值X在x点的概率密度，记为电子测量电子测量电子测量电子测量技术技术技术技术第17页则测量值X的数学期望为：则测量值X的方差为：（2-13）（2-14）（三）（三）（三）（三）.粗大误差粗大误差粗大误差粗大误差uu定义：定义：定义：定义：超出规定条件下预期的误差。也就是说在一定的测量条件下，超出规定条件下预期的误差。也就是说在一定的测量条件下，超出规定条件下预期的误差。也就是说在一定的测量条件下，超出规定条件下预期的误差。也就是说在一定的测量条件下，测量结果明显地偏离了真值。测量结果明显地偏离了真值。测量结果明显地偏离了真值。测量结果明显地偏离了真值。uu产生粗差

31、的原因有：产生粗差的原因有：产生粗差的原因有：产生粗差的原因有：测量操作疏忽和失误测量操作疏忽和失误测量操作疏忽和失误测量操作疏忽和失误 如测错、读错、记错以及实验条件未达如测错、读错、记错以及实验条件未达如测错、读错、记错以及实验条件未达如测错、读错、记错以及实验条件未达 到预定的要求而匆忙实验等。到预定的要求而匆忙实验等。到预定的要求而匆忙实验等。到预定的要求而匆忙实验等。测量方法不当或错误测量方法不当或错误测量方法不当或错误测量方法不当或错误 测量环境条件的突然变化测量环境条件的突然变化测量环境条件的突然变化测量环境条件的突然变化 如电源电压突然增高或降低，雷电如电源电压突然增高或降低，

32、雷电如电源电压突然增高或降低，雷电如电源电压突然增高或降低，雷电 干扰、机械冲击等引起测量仪器示值的剧烈变化等。干扰、机械冲击等引起测量仪器示值的剧烈变化等。干扰、机械冲击等引起测量仪器示值的剧烈变化等。干扰、机械冲击等引起测量仪器示值的剧烈变化等。uu含有粗差的测量值称为坏值或异常值；含有粗差的测量值称为坏值或异常值；粗大误差明显地歪曲了测量结粗大误差明显地歪曲了测量结粗大误差明显地歪曲了测量结粗大误差明显地歪曲了测量结 果，果，果，果，在数据处理时，应剔除掉在数据处理时，应剔除掉。电子测量电子测量电子测量电子测量技术技术技术技术第18页（四）测量误差对测量结果的影响及测量的正确度、精密度和

33、准确度系差和随差的表达式系差和随差的表达式系差和随差的表达式系差和随差的表达式对于一个测量误差，在剔除粗大误差后，只剩下系统误差和随机对于一个测量误差，在剔除粗大误差后，只剩下系统误差和随机 误差，而一般说来，误差，而一般说来，在任何一次测量中，系统误差和随机误差都在任何一次测量中，系统误差和随机误差都在任何一次测量中，系统误差和随机误差都在任何一次测量中，系统误差和随机误差都是同时存在的。是同时存在的。是同时存在的。是同时存在的。那么各次测得值的绝对误差就等于系统误差和随机误差的代数那么各次测得值的绝对误差就等于系统误差和随机误差的代数 和。即在确定条件下，对被测量和。即在确定条件下，对被测

34、量x x的第的第i i次测量的误差可表示为次测量的误差可表示为式中系统误差在测量条件相同时是不变的，当测量次数n时，若对n次测量的绝对误差取平均值，则电子测量电子测量电子测量电子测量技术技术技术技术第19页的平均值等于零，由此可得：由于随机误差的抵偿性，当n时(2-15a)(2-15b)式式(2-15a)(2-15a)说明说明说明说明，对于同时存在系统误差和随机误差的测量数据，对于同时存在系统误差和随机误差的测量数据，只要测量次数足够多（理论上只要测量次数足够多（理论上nn），各次测量绝对误差的算术平），各次测量绝对误差的算术平均值就等于测量的系统误差。取平均值后，随机误差的影响可以消均值就等

35、于测量的系统误差。取平均值后，随机误差的影响可以消除。除。式式(2-15b)(2-15b)说明说明说明说明系统误差使测量值的数学期望偏离被测量的真值；系统误差使测量值的数学期望偏离被测量的真值；当当 不存在系统误差时，测量值的数学期望就等于被测量的真值，即不存在系统误差时，测量值的数学期望就等于被测量的真值，即(2-16)系差的表达式系差的表达式系差的表达式系差的表达式电子测量电子测量电子测量电子测量技术技术技术技术第20页 随差的表达式随差的表达式随差的表达式随差的表达式由于第i次测量的随机误差由于第i次测量的随机误差将及式（2-15b）代入上式，可得及式（2-15b）代入上式，可得将及式（

36、2-15b）代入上式，可得(2-17a)式式(2-17a)(2-17a)说明说明说明说明，某次测量的随机误差等于这次测量的测量值与测，某次测量的随机误差等于这次测量的测量值与测量值的数学期望之差。量值的数学期望之差。当不存在或修正了系统误差以后，由式（当不存在或修正了系统误差以后，由式（2-162-16）可将上式变为）可将上式变为(2-17b)测量误差对测量数据的影响测量误差对测量数据的影响测量误差对测量数据的影响测量误差对测量数据的影响电子测量电子测量电子测量电子测量技术技术技术技术第21页（a）（b）（b）（c）（c）电子测量电子测量电子测量电子测量技术技术技术技术第22页3.3.3.3.

37、测量的正确度、精密度和准确度测量的正确度、精密度和准确度测量的正确度、精密度和准确度测量的正确度、精密度和准确度uu正确度：正确度：正确度：正确度：表示测量结果中系统误差大小的程度表示测量结果中系统误差大小的程度表示测量结果中系统误差大小的程度表示测量结果中系统误差大小的程度。系统。系统。系统。系统误差越小，则正确度越高，就有可能使测量结果越误差越小，则正确度越高，就有可能使测量结果越误差越小，则正确度越高，就有可能使测量结果越误差越小，则正确度越高，就有可能使测量结果越正确，即测量值的数学期望与真值符合的程度越高。所正确，即测量值的数学期望与真值符合的程度越高。所正确，即测量值的数学期望与真

38、值符合的程度越高。所正确，即测量值的数学期望与真值符合的程度越高。所以就可以用系统误差以就可以用系统误差以就可以用系统误差以就可以用系统误差来作为衡量测量是否正确的来作为衡量测量是否正确的来作为衡量测量是否正确的来作为衡量测量是否正确的尺度。尺度。尺度。尺度。uu精密度：精密度：精密度：精密度：表示测量结果中随机误差大小的程度，也可以表示测量结果中随机误差大小的程度，也可以表示测量结果中随机误差大小的程度，也可以表示测量结果中随机误差大小的程度，也可以简称为精度简称为精度简称为精度简称为精度。精密度越高，表示随机误差越小。随机。精密度越高，表示随机误差越小。随机。精密度越高，表示随机误差越小。

39、随机。精密度越高，表示随机误差越小。随机误差的大小可以用测量值的标准偏差误差的大小可以用测量值的标准偏差误差的大小可以用测量值的标准偏差误差的大小可以用测量值的标准偏差来衡量。来衡量。来衡量。来衡量。越越越越小小小小，测测测测量量量量值值值值越越越越集集集集中中中中；反反反反之之之之，越越越越大大大大，测测测测量量量量值值值值越越越越分分分分散散散散，测量的精度越低。测量的精度越低。测量的精度越低。测量的精度越低。相同的测量叫等精密度测量。随相同的测量叫等精密度测量。随相同的测量叫等精密度测量。随相同的测量叫等精密度测量。随机因素使测量值呈现分散而不确定，但总是分布在平均机因素使测量值呈现分散

40、而不确定，但总是分布在平均机因素使测量值呈现分散而不确定，但总是分布在平均机因素使测量值呈现分散而不确定，但总是分布在平均值附近。值附近。值附近。值附近。如图如图如图如图2-42-4所示所示所示所示电子测量电子测量电子测量电子测量技术技术技术技术第23页uu准确度：准确度：准确度：准确度：用来反映用来反映用来反映用来反映测量结果中测量结果中测量结果中测量结果中系统误差和随机误差的系统误差和随机误差的系统误差和随机误差的系统误差和随机误差的 综合影响。综合影响。综合影响。综合影响。表示表示表示表示测量结果与真值的一致程度。测量结果与真值的一致程度。测量结果与真值的一致程度。测量结果与真值的一致程

41、度。准确度准确度准确度准确度 越高，表示正确度和精密度都高，意味着系统误差和越高，表示正确度和精密度都高，意味着系统误差和越高，表示正确度和精密度都高，意味着系统误差和越高，表示正确度和精密度都高，意味着系统误差和 随机误差都小。在一定的测量条件下，总是力求测量随机误差都小。在一定的测量条件下，总是力求测量随机误差都小。在一定的测量条件下，总是力求测量随机误差都小。在一定的测量条件下，总是力求测量 结果尽量接近真值，即力求准确度高。结果尽量接近真值，即力求准确度高。结果尽量接近真值，即力求准确度高。结果尽量接近真值，即力求准确度高。图2-4 随机误差不同的两组测量数据：（a）随机误差较小 （b

42、）随机误差较大（a）（b）电子测量电子测量电子测量电子测量技术技术技术技术第24页测量结果的正确度、精密度和准确度的涵义可用图测量结果的正确度、精密度和准确度的涵义可用图2-5说明：说明：图2-5（c）（a）（b）电子测量电子测量电子测量电子测量技术技术技术技术第25页4.4.系差、随差和粗大误差之间在一定条件下是可以相互转化系差、随差和粗大误差之间在一定条件下是可以相互转化系差、随差和粗大误差之间在一定条件下是可以相互转化系差、随差和粗大误差之间在一定条件下是可以相互转化uu在对三种误差进行判别时，也会发现它们之间没有不可在对三种误差进行判别时，也会发现它们之间没有不可在对三种误差进行判别时

43、，也会发现它们之间没有不可在对三种误差进行判别时，也会发现它们之间没有不可逾越的鸿沟，即三种测量误差的划分也不是绝对严格的，逾越的鸿沟，即三种测量误差的划分也不是绝对严格的，逾越的鸿沟，即三种测量误差的划分也不是绝对严格的，逾越的鸿沟，即三种测量误差的划分也不是绝对严格的，而是具有一定的相对性；而是具有一定的相对性；而是具有一定的相对性；而是具有一定的相对性；uu但是，这种相对的划分还是必要的，根据这种划分人们对但是，这种相对的划分还是必要的，根据这种划分人们对但是，这种相对的划分还是必要的，根据这种划分人们对但是，这种相对的划分还是必要的，根据这种划分人们对三种误差的处理方法是不同的：三种误

44、差的处理方法是不同的：三种误差的处理方法是不同的：三种误差的处理方法是不同的：对于含有粗大误差的测对于含有粗大误差的测对于含有粗大误差的测对于含有粗大误差的测量值予以剔除；量值予以剔除；量值予以剔除；量值予以剔除；对于随机误差的影响用统计平均的方法对于随机误差的影响用统计平均的方法对于随机误差的影响用统计平均的方法对于随机误差的影响用统计平均的方法来消除或减弱；来消除或减弱；来消除或减弱；来消除或减弱；对系统误差则主要靠在测量过程中采用对系统误差则主要靠在测量过程中采用对系统误差则主要靠在测量过程中采用对系统误差则主要靠在测量过程中采用一定的技术措施来削弱或对测量值进行必要的修正来减弱一定的技

45、术措施来削弱或对测量值进行必要的修正来减弱一定的技术措施来削弱或对测量值进行必要的修正来减弱一定的技术措施来削弱或对测量值进行必要的修正来减弱系统误差的影响系统误差的影响系统误差的影响系统误差的影响误差的其他多种分类电子测量电子测量电子测量电子测量技术技术技术技术第26页2.2 2.2 测量误差的估计和处理测量误差的估计和处理u2.2.1 2.2.1 2.2.1 2.2.1 随机误差的影响及统计处理随机误差的影响及统计处理随机误差的影响及统计处理随机误差的影响及统计处理随随随随机机机机误误误误差差差差是是是是在在在在实实实实际际际际相相相相同同同同条条条条件件件件下下下下多多多多次次次次测测测

46、测量量量量同同同同一一一一量量量量时时时时，误误误误差差差差的的的的绝绝绝绝对对对对值值值值和和和和符符符符号号号号均均均均发发发发生生生生变变变变化化化化，而而而而且且且且这这这这种种种种变变变变化化化化没没没没有有有有确确确确定的规律也不能事先确定的误差。定的规律也不能事先确定的误差。定的规律也不能事先确定的误差。定的规律也不能事先确定的误差。随机误差使测量数据产生分散，即偏离它的数学期望。随机误差使测量数据产生分散，即偏离它的数学期望。随机误差使测量数据产生分散，即偏离它的数学期望。随机误差使测量数据产生分散，即偏离它的数学期望。对对对对某某某某一一一一次次次次测测测测量量量量来来来来说

47、说说说，随随随随机机机机误误误误差差差差使使使使测测测测量量量量数数数数据据据据偏偏偏偏离离离离数数数数学学学学期期期期望望望望的的的的大大大大小小小小和和和和方方方方向向向向是是是是没没没没有有有有规规规规律律律律的的的的，但但但但多多多多次次次次测测测测量量量量就就就就会会会会发发发发现现现现随机误差使随机误差使随机误差使随机误差使测量数据的分布服从一定的概率统计规律。测量数据的分布服从一定的概率统计规律。测量数据的分布服从一定的概率统计规律。测量数据的分布服从一定的概率统计规律。可可可可用用用用数数数数理理理理统统统统计计计计的的的的方方方方法法法法研研研研究究究究随随随随机机机机误误误

48、误差差差差对对对对测测测测量量量量数数数数据据据据的的的的影影影影响响响响，并用并用并用并用统计平均的方法统计平均的方法统计平均的方法统计平均的方法来克服或处理这种误差。来克服或处理这种误差。来克服或处理这种误差。来克服或处理这种误差。电子测量电子测量电子测量电子测量技术技术技术技术第27页u测量中的随机误差通常是多种相互独立的因素造测量中的随机误差通常是多种相互独立的因素造测量中的随机误差通常是多种相互独立的因素造测量中的随机误差通常是多种相互独立的因素造成的许多微小误差的总和。成的许多微小误差的总和。成的许多微小误差的总和。成的许多微小误差的总和。u中心极限定理中心极限定理中心极限定理中心

49、极限定理：假设：假设：假设：假设被研究的随机变量被研究的随机变量被研究的随机变量被研究的随机变量可以表示可以表示可以表示可以表示为为为为大量独立的随机变量的和大量独立的随机变量的和大量独立的随机变量的和大量独立的随机变量的和，其中每一个随机变，其中每一个随机变，其中每一个随机变，其中每一个随机变量对于总和只起量对于总和只起量对于总和只起量对于总和只起微小作用微小作用微小作用微小作用，则可认为这个随机变，则可认为这个随机变，则可认为这个随机变，则可认为这个随机变量服从量服从量服从量服从正态分布正态分布正态分布正态分布。为什么测量数据和随机为什么测量数据和随机误差大多接近正态分布误差大多接近正态分

50、布？(一一一一)中心极限定理在误差分析中的应用中心极限定理在误差分析中的应用中心极限定理在误差分析中的应用中心极限定理在误差分析中的应用测量测量测量测量数据的正态分布数据的正态分布数据的正态分布数据的正态分布电子测量电子测量电子测量电子测量技术技术技术技术第28页uu随机误差的概率密度函数为：随机误差的概率密度函数为：随机误差的概率密度函数为：随机误差的概率密度函数为：uu测量数据测量数据测量数据测量数据X X X X的概率密度函数为：的概率密度函数为：的概率密度函数为：的概率密度函数为：uu随机误差的数学期望和方差为：随机误差的数学期望和方差为：随机误差的数学期望和方差为：随机误差的数学期望