Matlab与教程学习教程.pptx

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1、内容提要内容提要引言Lagrange插值分段低次插值Hermite插值三次样条插值插值方法比较MATLAB的插值函数小结第1页/共36页 在某个区间内，寻求 f(x)的近似表达式。为了获得函数在非节点处的函数值，就需要我们设法构造一个尽可能简单的函数（如多项式函数）来近似代替函数f(x)，即：如果 y(x)得到，就可以利用它，近似计算该区间内的非测量点的函数值。插值：研究用简单函数为各种离散数据建立连续数学模型的方法。第2页/共36页 定义 已知函数y=f(x)在a,b有定义，且已知它在n+1个 互异 节点 a x0 x1xnb 上的函数值 y0=f(x0)，y1=f(x1),yn=f(xn)

2、，若存在一个次数不超过n次的多项式 Pn(x)=a0+a1x+a2x2+anxn 满足条件:Pn(xk)=yk (k=0,1,n)则称Pn(x)为f(x)的n次插值多项式。点 x0,x1,xn称 插 值 节 点，f(x)为 被 插 值 函 数。a,b称插值区间，点x称插值点。插值点在插值区间内的叫内插，否则叫外插。第3页/共36页第4页/共36页给定插值节点 x0,x1，y0=f(x0)，y1=f(x1).求线性插值多项式L1(x)=a0+a1x，使满足:L1(x0)=y0,L1(x1)=y1.2、Lagrange插值2.1 线性插值与抛物插值1.1.线性插值：n n=1=1情形y=L1(x)

3、的几何意义就是过点(x0,y0)，(x1,y1)的直线。L1(x)的表达式：点斜式（NEWTON）:两点式:第5页/共36页由两点式可以看出，L1(x)是由两个线性函数的线性组合得到，其系数分别为y y0 0，y y1 1。即显然，l0(x)及l1(x)也是线性插值多项式，在节点x0,x1上满足条件：l0(x0)=1,l0(x1)=0.l1(x0)=0,l1(x1)=1.称l0(x)及l1(x)为线性插值基函数。(j,k=0,1)即第6页/共36页l0(x0)=1,l0(x1)=0,l0(x2)=0.l1(x0)=0,l1(x1)=1,l1(x2)=0.l2(x0)=0,l2(x1)=0,l2

4、(x2)=1.2.抛物插值：n=2情形假定插值节点为x0,x1,x2，求二次插值多项式 L2(x)，使 L2(xj)=yj (j=0,1,2)y=L2(x)的几何意义就是过(x0,y0)，(x1,y1)，(x2,y2)三点的抛物线。采用基函数方法，设L2(x)=l0(x)y0+l1(x)y1+l2(x)y2此时基函数l0(x),l1(x),l2(x)是二次函数，且在节点上满足：第7页/共36页 满足上式的插值基函数很容易求出。如求l0(x),因x1,x2 为其零点，故可表为故即(j,k=0,1,2)其中A为待定系数，由l0(x0)=1,得第8页/共36页 显然 L(x)=l0(x)y0+l1(

5、x)y1+l2(x)y2 满足条件 L2(xj)=yj (j=0,1,2)同理将l0(x),l1(x),l2(x)代入得第9页/共36页取x0=4,y0=2，x1=9,y1=3，x2=16,y2=4.取x0=4,x1=9,x2=16例已知求解（1）线性插值：取x0=4,x1=9（2）抛物插值：第10页/共36页n次插值就是利用n+1个插值节点构造n次插值多项式xix0 x1 x2 xi .xn yiy0 y1 y2 yi .yn 根据插值函数条件，可以得到：2.2 Lagrange插值多项式第11页/共36页设有n+1个互异节点x0 x1xn，且yi=f(xi)(i=0,1,2,n)构造Ln(

6、x)，使 Ln(xj)=yj (j=0,1,2,n)2.2 Lagrange插值多项式定义若n次多项式lj(x)(j=0,1,n)在n+1个节点x0 x1xn上满足条件(j,k=0,1,n)则称这n+1个n次多项式l0(x),l1(x),ln(x)为节点x0,x1,xn上的n次插值基函数。第12页/共36页由n=1,2时的讨论可得(k=0,1,2,n)或记为故满足插值条件的多项式为:称Lagrange插值多项式。第13页/共36页定理:设 f(x)在a,b上具有n阶连续导数,且 f(n+1)(x)存在,节点a x0 x1xnb，Ln(x)是满足条件Ln(xj)=yj (j=0,1,2,n)的

7、插值多项式，则对任何x a,b，插值余项2.3 插值余项与误差估计定义:若在a,b上用Ln(x)近似f(x)，则其截断误差Rn(x)f(x)-Ln(x)称插值多项式的余项。第14页/共36页输入xi,yi,n,xy=0k=0,1,nP=1j=0,1,nk=j?P=P*(x-xj)(xk-xj)y=y+P*yk输出x,y否是2.4 算法实现可用二重循环来完成y值的计算，先通过内循环，即先固定k，令j从0到ki，累乘求得lk,然后再通过外循环，即令k从0到n，累加得出插值结果。第15页/共36页2.5 MATLAB的实现1.多项式的向量表示法 matlab中多项式是用系数构成的向量表示，该向量的分

8、量自左向右，依次表示多项式高次幂到低次幂的系数，缺少的幂次项系数必须用零填补。（1）p=4 5 0 2 0 1，(2)特殊多项式的创建格式 pl=poly(p)第16页/共36页（3）多项式的乘积格式 p3=conv(p1,p2)（4）多项式求值格式 polyval(p,x0)(5)多项式符号表示格式 poly2sym(p)第17页/共36页例：给出f(x)=lnx的数值表，用lagrange插值计算ln0.54的近似值。x0.40.50.60.70.8lnx-0.916291-0.693147-0.510826-0.356675-0.223144第18页/共36页3、分段低次插值高次插值的病

9、态性质：对于一个确定的区间，如果插值节点之间的距离较小，自然插值节点就增多，如果用一个多项式插值，自然次数就会升高，也就是说要用高次多项式插值。但是否次数越高，插值多项式的逼近效果越好呢？20世纪初，Runge就给出了一个等距节点插值多项式不收敛的例子。Runge反例:(-5x5)第19页/共36页取xk=-5+k 计算:f(xk)(k=0,1,10)构造L10(x).取:tk=-5+0.05k (k=0,1,200),计算:L10(tk)下图给出当n=10时，y=L10(x)及f(x)=1/(1+x2)在-5,5上的图形。第20页/共36页分段线性Lagrange插值3.1 分段线性插值的构

10、造设插值节点为xi，函数值为yi，i=0,1,2,nhi=xi+1-xi，i=0,1,2,n-1，任取两个相邻的节点xk，xk+1，形成一个插值区间xk，xk+1,构造Lagrange线性插值k=0,1,2,n-1第21页/共36页显然称由上式构成的插值多项式L1(x)为分段线性Lagrange插值多项式。i=0,1,2,n第22页/共36页由前述余项定理可知，n次Lagrange插值多项式的余项为：3.2 分段线性插值的误差估计则分段线性插值L1(x)的余项为第23页/共36页3.3 分段插值的Lagrange第24页/共36页4、埃尔米特插值（Hermite）Newton插值和Lagran

11、ge插值虽然构造比较简单，但都存在插值曲线在节点处有尖点，不光滑，插值多项式在节点处不可导等缺点。已知节点处函数值及对应节点导数值，求使其函数值及导数值均相等的插值多项式。埃尔米特插值的基本思想为：设a x0 x1xnb上，(j=0,1,2,n)求H(x)，使(j=0,1,2,n)第25页/共36页共有2n+2个条件，可唯一确定一次数 2n+1的多项式H2n+1(x)H(x)。形式：一般来说，Hermite插值多项式的次数如果太高会影响收敛性和稳定性，因此2n+1不宜太大，仍用分段插值。故仅考虑n=1的情况，即三次Hermite插值。第26页/共36页5、三次样条插值样条：是 指飞机或轮船等的

12、制造过程中为描绘出光滑的外形曲线(放样)所用的工具。样条本质上是一段一段的三次多项式拼合而成的曲线，在拼接处，不仅函数是连续的，且一阶和二阶导数也是连续的。1946年，Schoenberg将样条引入数学，即所谓的样条函数。因分段线性插值导数不连续，埃尔米特插值导数连续但需要已知，故引入样条插值概念。第27页/共36页三次样条也是分片三次插值函数。物理上的样条在满足插值限制的前提下，最小化势能。数学上的样条必须满足二次导数连续，且满足插值限制。第28页/共36页5.1 三次样条插值函数的定义给定区间a,b上的一个划分：a=x0 x1xn=b，已知函数f(x)在点xj上的函数值为 f(xj)=yj

13、,(j=0,1,2,n)如果存在分段函数满足下述条件：(1)S(x)在每一个子区间xj-1,xj (j=0,1,2,n)上是三次多项式；(2)S(x)在每一个内接点xj(j=0,1,2,n)具有直到二阶的连续导数；则称S(x)为节点x0,x1,xn 上的三次样条函数。若S(x)在节点x0,x1,xn 上还满足插值条件：(3)S(xj)=yj (j=0,1,2,n)则称S(x)为三次样条插值函数。（即全部通过样点的二阶连续可微的分段三次多项式函数）第29页/共36页5.2 三次样条插值多项式由(1)知，S(x)在每一个小区间xj-1,xj 上是一三次多项式，若记为Sj(x),则可设要确定函数S(

14、x)的表达式，须确定4n个未知系数aj，bj，cj，dj(j=1,2,n)。由(2)知，S(x)，S(x)，S(x)在内节点x1,x2,xn-1上连续，则j j=1,2,=1,2,n n-1-1第30页/共36页可得3n-2个方程，又由条件(3)j=1,2,n得n+1个方程，共可得4n-2个方程。要确定4n个未知数，还差两个方程。通常在端点x0=a,xn=b处各附加一个条件，称边界条件，常见有三种：(1)自然边界条件：(2)固定边界条件：自然样条（最光滑）(3)周期边界条件：共4n个方程，可唯一地确定4n个未知数。第31页/共36页0246810121416182022分片线性插值024685

15、10152025full degree多项式插值0246810121416182022保形状Hermit插值0246810121416182022样条插值6、插值方法比较第32页/共36页 上面的图描述了光滑性和局部单调性（保形状）的一种折衷。分片线性插值：保持单调性的，但光滑性比较差。多项式插值：无限可微，但不保持形状，特别是在端点的地方。spline插值在这两个极端之间。样条光滑，样条的两阶导数连续。不连续的两阶导数隐含着不连续的曲率。人的眼睛可以检测出图形上曲率的不连续。另一方面，样条不一定保形状。第33页/共36页7、MATLAB的插值函数插值函数及其功能函数函数功能描述功能描述Interp1一维插值一维插值Interp2二维插值二维插值Interp3三维插值三维插值Interpft一维快速傅立叶插值一维快速傅立叶插值InterpnN-D维插值维插值Spline 立体样条数据插值立体样条数据插值第34页/共36页格式：yi=inter1(x,y,xi,method)说明：x y 输入插值节点向量xi yi 插值点methodnearest：最近插值，用直角折线连接节点linear：线性插值，参数省略时，默认此项pehip：分段三次Hermite插值，具有一阶导数连续splin：三次样条插值，具有一阶、二阶导数连续第35页/共36页谢谢您的观看！第36页/共36页