三角形的心说课讲解.ppt

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1、三角形的心三角形的心商人想設一座加油站，距離附近的學校、遊樂園、醫院都一樣近，請問聰明的商人，應該將加油站設在哪裡呢?學校遊樂園醫院解答:設在外心處加油站2022/11/172022/11/172 2外心1.外心的定義:ABCABCABC(綠)，(藍)，(紅)，三邊中垂線交點即為外心。o三角形三邊中垂線的交點稱為外心，常用字母O表示。(綠)，2022/11/172022/11/173 32.外心的位置ABCABCABCABCABCABC銳角三角形 (在內部)鈍角三角形(在外部)直角三角形(在斜邊中點)(1)依三角形角度類型的區別而有不同的位置。ABCABCABCABC2022/11/17202

2、2/11/174 4 銳角銳角 ABEABE的外心的外心(圓圓O O)在三角形在三角形的的內部內部。直角直角 ABDABD的外心的外心(圓圓O O)在三角形的在三角形的斜邊中點斜邊中點。鈍角鈍角 ABCABC的外心的外心(圓圓O O)在三角形在三角形的的外部外部。(2)呈現在同一個圓中2022/11/172022/11/175 5(1)外心到三頂點等距離。(2)若以外心為圓心，外心到三頂點的距離為半徑，可以畫出一個外接圓。(3)稱此點為外心，是因此點可畫出三角形的外接圓。(4)任意三角形皆可找到其外心與外接圓，且為唯一。(5)三角形ABC稱為圓O的圓內接三角形。3.三角形的外心與外接圓 如圖(

3、1)線段OA=線段OB=線段OC(2)圓O為ABC的外接圓(3)O點為銳角ABC的外心；ABC為圓O的圓內接三角形ABCO O O2022/11/172022/11/176 6中垂線性質:(1)中垂線上任一點到此線段的兩端點等距離。(2)若有一點到某線段兩端點的距離相等，則此 點會在該線段的中垂線上。(可用中垂線性質證明)4.外心重要性質:外心到三頂點等距離。P為中垂線上任一點2022/11/172022/11/177 75.三角形的外接圓與外心角度 ABCOABCOD(1)若A為銳角，BOC 2A(2)若A為鈍角，BOC 360 2AO2022/11/172022/11/178 8(1)三角

4、形三邊中垂線的交點稱為外心(O)。(2)外心到三頂點等距。(以外心為圓心，可畫出該三角形的外接圓)(3)直角三角形的外心在斜邊中點上，直角三角形的外接圓半徑R=1/2斜邊長(4)直角三角形中，若有一銳角是30，則它所 對的邊是斜邊之半。6.外心常考重點:2022/11/172022/11/179 9按我(用GGB找外心)7.動手摺紙找外心 步驟1:摺出線段AB的中垂線。作法:將B點翻摺至A點，壓平後再展開，產生摺痕如圖示。2022/11/172022/11/171010步驟2:摺出線段BC的中垂線。作法:將B點翻摺至C點，壓平後再展開，產生摺痕如圖示。2022/11/172022/11/171

5、111步驟3:摺出線段CA的中垂線。作法:將C點翻摺至A點，壓平後再展開，產生摺痕如圖示。三條中垂線的交點即外心O2022/11/172022/11/171212步驟4:比較OA，OB，OC三線段長度是否真的相同。2022/11/172022/11/171313三角形三個內角角平分線的交點稱為三角形的內心，常用字母I表示。ABCABCABC1.內心的定義:內心三內角平分線交點 即為內心。I2022/11/172022/11/1714142.內心的位置:任意三角形的內心 均在三角形的內部。ABCABC銳角三角形 內心ABCB 直角三角形 內心ABCABCABC 鈍角三角形 內心2022/11/1

6、72022/11/171515(1)內心到三邊等距離。(2)若以內心為圓心，內心到三邊的距離為半徑，可以畫出一個內切圓。(3)稱為內心，是因此點可畫出三角形的內切圓。(4)任意一個三角形，均可找到其內心及內切圓，且為 唯一。3.三角形的內心與內切圓:2022/11/172022/11/171616(可用角平分線性質證明)4.內心重要性質:內心到三邊等距離。角平分線性質:(1)角平分線上的任一點到此角的兩邊等距離。(2)若有一點到某角的兩邊等距離，則此點會在 該角的角平分線上。2022/11/172022/11/1717176.內心常考重點:(1)三角形三內角平分線的交點稱為內心(I)。(2)內

7、心到三角形的三邊等距。(3)ABC面積1/2 ABC周長 內切圓半徑 即A=1/2r(設為ABC周長，r為內切圓半徑)(4)直角三角形的內切圓半徑r=1/2(兩股和斜邊)。(5)2022/11/172022/11/171818按我(用GGB找內心)7.動手摺紙找內心步驟 1:摺出角A的角平分線。(將AC邊摺疊到與AB邊重合)步驟 2:摺出角B的角平分線。(將BC邊摺疊到與BA邊重合)最後攤開如圖示2022/11/172022/11/171919步驟3:摺出角C的角平分線。(將CB邊摺疊到與CA邊重合)攤開，並將三條角平分線的交點命名為I點2022/11/172022/11/172020步驟4:

8、從I點做出與三邊垂直的虛線，比較這三條虛線是否真的等長。2022/11/172022/11/172121小灰鼠買了一塊乳酪，想分享給弟弟(小藍鼠)，妹妹(小黃鼠)一起吃，牠該如何切割這塊乳酪，使得大家所分配到的大小都一樣呢?解答:沿著三中線切割成6塊，每人拿2塊。2022/11/172022/11/172222重心三角形三條中線的交點稱為重心，常用字母G表示。1.重心的定義:2.重心的位置:任何三角形的重心均在三角形的內部。銳角三角形ABCABCBC 直角三角形ABCABCABC 鈍角三角形ABCABCABC2022/11/172022/11/172323(1)無法由重心畫出圓，與外心可畫出外

9、接圓，內心可畫出內切圓不同。(2)稱為重心，是因為該點為此三角形的質量 中心，若用手指頂在重心位置，三角形會保持 平衡，不會傾斜。(3)重心到頂點的距離為重心到對邊中點的兩倍。3.重心重要特性:2022/11/172022/11/172424按我(用GGB找重心)步驟1:摺出BC邊的中線 (頂點A與BC邊中點的連線)。4.動手摺紙找重心2022/11/172022/11/172525步驟2:摺出AC邊的中線。(頂點B與AC邊中點的連線)三中線交點即為重心G步驟3:摺出AB邊的中線 (頂點C與AB邊中點的連線)2022/11/172022/11/172626ABCGDEF 三中線將原 分割成6塊

10、等面積 GAF面積GAE面積 GBF面積GBD面積 GCD面積GCE面積。重心與三頂點的連線，將原分割成3塊等面積 GAB面積GBC面積GAC面積ABCG重心的三塊積重心的六塊積2022/11/172022/11/1727275.重心常考重點:(1)三角形三中線的交點稱為重心(G)。(2)重心到一頂點的距離，等於重心到其對邊 中點之距離的兩倍。(3)重心與三頂點的連線，把原三角形的面積三 等分。(4)三中線會將原三角形的面積六等分。2022/11/172022/11/172828直角三角形的外心在斜邊的中點，且特殊三角形的三心特殊三角形的三心2022/11/172022/11/172929等腰三角形的外心、內心、重心都在同一條 直線（底邊的中垂線）上。2022/11/172022/11/173030正三角形的外心、內心、重心是同一點，且其外接圓半徑是內切圓半徑的2倍。2022/11/172022/11/173131结束结束