随机抽样与抽样分布.ppt

《随机抽样与抽样分布.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《随机抽样与抽样分布.ppt（43页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、第三章第三章 1 从本章起，我从本章起，我们转们转入入课课程的第二部分程的第二部分数理统数理统计学计学。数理。数理统计统计学与概率学与概率论论是两个有密切是两个有密切联联系的姐系的姐妹学科。大体上可以妹学科。大体上可以说说，概率，概率论论是数理是数理统计统计学的基学的基础础，而数理，而数理统计统计学是概率学是概率论论的重要的重要应应用用.数理数理统计统计学是一学是一门门关于数据关于数据资资料的收集、整理、料的收集、整理、分析和推断的科学。但人分析和推断的科学。但人们们常常将常常将统计这统计这一概念一概念误误解解为为大量数据的收集以及大量数据的收集以及对这对这些数据作一些些数据作一些简单简单的的

2、运算运算(如求和、求平均如求和、求平均值值、求百分比等、求百分比等)，或用，或用图图表、表、表格等形式把它表格等形式把它们们表示出来。其表示出来。其实这实这些工作些工作仅仅仅仅是是统计统计学工作的非主要部分，学工作的非主要部分，统计统计学学还还包括怎包括怎样设计样设计试验试验、采集数据以及怎、采集数据以及怎样对获样对获得的数据得的数据进进行分析、行分析、推断等其它推断等其它许许多工作。多工作。2 数理数理统计统计的方法及考的方法及考虑虑的的问题问题不同于一般的不同于一般的资资料条件，它更料条件，它更侧侧重于重于应应用随机用随机现现象本身的象本身的规规律性来律性来考考虑资虑资料的收集、整理和分析

3、，从而找出相料的收集、整理和分析，从而找出相应应的随的随机机变变量的分布律或数字特征。从理量的分布律或数字特征。从理论论上上讲讲，只要，只要对对随机随机现现象象进进行足行足够够多次的多次的观观察，被研究的随机察，被研究的随机现现象象的的规规律性一定能清楚地呈律性一定能清楚地呈现现出来，但出来，但实际实际上所允上所允许许的的观观察永察永远远只能是有限次的，有只能是有限次的，有时时甚至是少量的，甚至是少量的，因此我因此我们们关心的关心的问题问题是怎是怎样样有效地利用有限的有效地利用有限的资资料，料，尽可能作出精确而可靠的尽可能作出精确而可靠的结论结论。根据根据问题问题的不同要求以及的不同要求以及对

4、观对观察察值值所采取的不所采取的不同同处处理方法，就理方法，就产产生了数理生了数理统计统计的各个分支：的各个分支：参数参数估计、假设检验、方差分析、回归分析估计、假设检验、方差分析、回归分析等。本等。本课课程程主要介主要介绍绍前两种方法，至于其它方法，由于教学前两种方法，至于其它方法，由于教学时时数所限，不再数所限，不再讨论讨论。3一、总体与样本一、总体与样本 在在统计统计学中，我学中，我们们将将问题问题所涉及的研究所涉及的研究对对象的全象的全体称体称为为总体总体(或母体或母体),),而把而把组组成成总总体的每个研究体的每个研究对对象称象称为为个体个体。3.1 3.1 随机抽样随机抽样 例如，

5、在研究某批灯泡的平均寿命例如，在研究某批灯泡的平均寿命时时，该该批灯泡批灯泡的全体就的全体就组组成了成了总总体，而其中每只灯泡就是个体。体，而其中每只灯泡就是个体。研究某批灯泡的质量研究某批灯泡的质量总体总体个体个体4 但是在但是在统计统计学里，我学里，我们们关心的不是个体的种种具关心的不是个体的种种具体特征体特征,而而仅仅仅仅是它的某一是它的某一项项(或某几或某几项项)数量指数量指标标X以及以及X寿命寿命。由于个体的抽取是随机的由于个体的抽取是随机的,所以所以总总体体X是一个是一个随机随机变量变量,我我们们要研究的就是要研究的就是X的分布或数字特征的分布或数字特征.以后我以后我们们把把总总体

6、和数量指体和数量指标标X等同起来等同起来.类似地，在研究某地区中学生的营养状况时，类似地，在研究某地区中学生的营养状况时，若关心的数量指标是身高和体重，我们用若关心的数量指标是身高和体重，我们用X和和Y分别分别表示身高和体重，那么此总体就可用二维随机变量表示身高和体重，那么此总体就可用二维随机变量(X,Y)或其联合分布函数或其联合分布函数F(x,y)来表示来表示.5 再再举举一个例子。一个例子。设设有一物体，它的重量未知，有一物体，它的重量未知，要通要通过过多次多次测测量去估量去估计计它。那么在它。那么在这这个个问题问题中中总总体是什么呢？体是什么呢？有人可能回答，与研究的有人可能回答，与研究

7、的问题问题有关的有关的对对象就象就这这个物体，故个物体，故这这个物体，或其重量，就构成个物体，或其重量，就构成总总体。体。这这个回答不个回答不对对。实际实际上，每一次上，每一次测测量所得量所得结结果是一个个体，果是一个个体，而而总总体是由体是由“一切可能的一切可能的测测量量值值”组组成。成。这这只是一只是一个想象中存在的集合，因个想象中存在的集合，因为为不可能去不可能去进进行无限次行无限次测测量。它的个体是通量。它的个体是通过试验过试验“制造制造”出来的。出来的。这这种情况在种情况在实际应实际应用中非常之多。用中非常之多。给这给这种种总总体同体同样样可可规规定分布，例如上述例子中定分布，例如上

8、述例子中说说“测测量量结结果果服从正服从正态态分布分布”是容易理解的。是容易理解的。6 一般情况下一般情况下,对总对总体的每一个个体都体的每一个个体都进进行行观观察或察或试试验验是不可能的是不可能的,这这是因是因为经济为经济上、上、时间时间上不允上不允许许(如个体如个体的数量很大的数量很大),),或或观观察察试验试验是是带带破坏性的破坏性的(如灯泡的寿命、如灯泡的寿命、炮炮弹弹的射程的射程).).因此因此,必必须对总须对总体体进进行抽行抽样观样观察察.由于我由于我们们是利用抽是利用抽样样来来对总对总体的分布体的分布进进行推断行推断,所所以抽以抽样样必必须须是随机的是随机的.比如比如,要研究一大

9、批灯泡的寿命要研究一大批灯泡的寿命,抽抽样时样时就希望每个灯泡等可能地被抽到就希望每个灯泡等可能地被抽到,只有只有这样这样才能才能通通过过抽抽样样比比较较客客观观地了解地了解总总体体.72.独立性独立性：X1,X2,Xn是相互独立的随机变量是相互独立的随机变量.由于抽样的目的是为了对总体的分布进行统由于抽样的目的是为了对总体的分布进行统计推断，为了使抽取的样本能很好地反映总体的计推断，为了使抽取的样本能很好地反映总体的信息，必须考虑抽样方法信息，必须考虑抽样方法.最常用的一种抽样方法叫作最常用的一种抽样方法叫作“简单随机抽样简单随机抽样”，它要求抽取的样本满足下面两点，它要求抽取的样本满足下面

10、两点:1.代表性代表性：X1,X2,Xn中每一个与所考察的总体中每一个与所考察的总体有相同的分布有相同的分布.由简单随机抽样得到的样本称为由简单随机抽样得到的样本称为简单随机样本简单随机样本，今后如不加声明，均指今后如不加声明，均指简单简单随机随机样样本。本。二、简单随机抽样二、简单随机抽样 8 事实上我们抽样后得到的资料都是具体的、事实上我们抽样后得到的资料都是具体的、确定的值确定的值.如我们从某班大学生中抽取如我们从某班大学生中抽取10人测量人测量身高，得到身高，得到10个数，它们是样本取到的值而不是个数，它们是样本取到的值而不是样本样本.我们只能观察到随机变量取的值而见不到我们只能观察到

11、随机变量取的值而见不到随机变量随机变量.总体、样本、样本值的关系总体、样本、样本值的关系9 统计是从手中已有的资料统计是从手中已有的资料样本值，去推断样本值，去推断总体的情况总体的情况总体分布总体分布F(x)的性质的性质.总体分布决定了样本取值的概率规律，也就是总体分布决定了样本取值的概率规律，也就是样本取到样本值的规律，因而可以由样本值去推断样本取到样本值的规律，因而可以由样本值去推断总体总体.样本是联系二者的桥梁样本是联系二者的桥梁总体（理论分布）总体（理论分布）？样本样本 样本值样本值103.2 3.2 样本的数字特征样本的数字特征 样样本是本是总总体的代表和反映，但我体的代表和反映，但

12、我们们在抽取在抽取样样本本后，并不直接利用后，并不直接利用样样本本进进行推断，而需要行推断，而需要对样对样本本进进行一番行一番“加工加工”和和“提提炼炼”，把，把样样本中所包含的关于我本中所包含的关于我们们所关心的事物的信息集中起来，所关心的事物的信息集中起来，这这便是便是针对针对不同不同的的问题问题构造构造样样本的某个函数，称之本的某个函数，称之为为统计量统计量。下面列出一些常用的下面列出一些常用的统计统计量。量。一、统计量一、统计量11样本均值样本均值样本方差样本方差推导：推导：它反映了总体它反映了总体均值的信息均值的信息它反映了总体它反映了总体方差的信息方差的信息二、二、样本数字特征样本

13、数字特征12定理定理1 1 证证所以所以有有13而而14 统计量的分布统计量的分布,称为称为抽样分布抽样分布.如何在总体的分如何在总体的分布已知时布已知时,求出统计量的分布函数求出统计量的分布函数,这对于数理统计这对于数理统计学中的所谓小样问题（即在样本容量较小的情况下学中的所谓小样问题（即在样本容量较小的情况下所讨论的各种统计问题）的研究很有用处所讨论的各种统计问题）的研究很有用处.3.3 3.3 抽样分布抽样分布15 由于正由于正态态分布具有可加性，即相互独立的正分布具有可加性，即相互独立的正态变态变量的量的线线性性组组合仍合仍为为正正态变态变量，而前已量，而前已证证明明 定理定理1 1

14、证证 所以所以标准化标准化一、一、样本均数样本均数分布分布16分布分布二、二、定义定义记为记为其密度函数为其密度函数为17来定义来定义.其中伽玛函数其中伽玛函数 通过积分通过积分18(1)(1)可加性：可加性：可推广到多个可推广到多个变变量；量；(2(2)应用中心极限定理可得，应用中心极限定理可得，则当则当n充分大时，有充分大时，有若若19设设 相互独立相互独立,都服从正态分布都服从正态分布则则(3(3)证证且相互独立，且相互独立，所以所以20定理定理 证略证略.比较：比较：21t(n)的密度函数为：的密度函数为：记为记为Tt(n).三三、t t 分布分布定义定义独立独立,则则称随机称随机变变

15、量量 服从服从自由度为自由度为n的的t t分布，分布，22偶函数偶函数,关于关于x=0对称对称.当当n n 较大时较大时,t t 分布接近于标准正态分布分布接近于标准正态分布.23定理定理 证证 由定理由定理1,1,由定理由定理2,2,24由由 t 分布的定分布的定义义,25定理定理 其中其中称为称为联合样本方差联合样本方差。26证证 由定理由定理1,1,由正由正态态分布的可加性分布的可加性,可得可得 标标准化准化,即得即得 27则有则有28且且U与与V相互独立相互独立,则则 29定义定义独立独立,则则称随机称随机变变量量 F(n1,n2)的概率密度为的概率密度为四四、F F 分布分布服从服从

16、自由度为自由度为 的的 F 分布，分布，记为记为3031定理定理 32由由F分布的定分布的定义义，证明：证明：331 1、标准正态分布、标准正态分布的分位点：的分位点：查表，查表，三、分位点三、分位点342 2、分布的分位点分布的分位点:35例如，例如，363 3、t t 分布的分位点：分布的分位点：查表，查表，当当n充分大充分大时时，374 4、F 分布的分位点：分布的分位点：38例如，例如，例如，例如，39小结小结样本均值样本均值样本方差样本方差设总体的期望和方差分别为设总体的期望和方差分别为则有则有40统计三大分布：统计三大分布：(1)(1)(2)(2)(3)(3)41抽样分布定理：抽样分布定理：(1)(1)(2)(2)(3)(3)42(4)(4)(5)(5)43