矩阵及其运算上课讲义.ppt

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1、矩阵及其运算一、学习矩阵的目的一、学习矩阵的目的矩阵是高等代数学中的常见工具，也常见于统计分析等矩阵是高等代数学中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。应用数学学科中。计算机科学计算机科学中，三维动画制作也需中，三维动画制作也需要用到矩阵。要用到矩阵。矩阵的运算是矩阵的运算是数值分析数值分析领域的重要问题。领域的重要问题。将矩阵分解为简单矩阵的组合可以在理论和实际应用将矩阵分解为简单矩阵的组合可以在理论和实际应用上简化矩阵的运算。对一些应用广泛而形式特殊的矩上简化矩阵的运算。对一些应用广泛而形式特殊的矩阵，例如阵，例如稀疏矩阵稀疏矩阵和准和准对角矩阵对角矩阵，有特定的快速运算，有特定的

2、快速运算算法。算法。2 2 矩阵及其应用矩阵及其应用二、矩阵的定义二、矩阵的定义1 1、矩阵的定义、矩阵的定义 由由mnmn个数排成的个数排成的m m行行n n列的矩阵表示为：列的矩阵表示为：矩阵一般都是用大写黑体字母矩阵一般都是用大写黑体字母A,B,A,B,等表示，为指明矩阵的等表示，为指明矩阵的行列信息，通常带下标，如：行列信息，通常带下标，如：A Amnmn 或或aaijij mnmn 2.1 2.1 矩阵的概念矩阵的概念2.1 2.1 矩阵的概念矩阵的概念【例如例如】某厂家向四个商店发送四种产品的数量可用矩阵表示。某厂家向四个商店发送四种产品的数量可用矩阵表示。其中其中a aijij表

3、示向第表示向第i i个商店发送第个商店发送第j j种产品的数量。这四种产种产品的数量。这四种产品的单价和重量设用矩阵品的单价和重量设用矩阵(b(bijij)4242表示表示。其中其中b bi1i1表示第表示第i i种商品的单价，种商品的单价，b bi2i2表示第表示第i i种商品的重量。种商品的重量。2.1 2.1 矩阵的概念矩阵的概念【例如例如】四个城市间的直接单向可达航线如图四个城市间的直接单向可达航线如图2.12.1所示。若城所示。若城市之间的单向航线定义为：市之间的单向航线定义为：【练习练习】设小明家第一季度水、电、物业和煤气费用如下表设小明家第一季度水、电、物业和煤气费用如下表所示。

4、请把该表格用矩阵等价的表示；如果用矩阵表示第所示。请把该表格用矩阵等价的表示；如果用矩阵表示第一季度每个月费用总额如何表示？如果用矩阵表示第一季一季度每个月费用总额如何表示？如果用矩阵表示第一季度水费、电费、物业费和煤气费总额如何表示？度水费、电费、物业费和煤气费总额如何表示？2.1 2.1 矩阵的概念矩阵的概念水费水费电费电费物业费物业费煤气费煤气费一月20元150元200元10元二月22元100元200元15元三月25元80元200元10元三、特殊矩阵三、特殊矩阵1 1、方阵、方阵2 2、零矩阵（、零矩阵（0 0）3 3、行矩阵、行矩阵4 4、列矩阵、列矩阵5 5、对角方阵（对角阵）、对角

5、方阵（对角阵）6 6、单位矩阵（、单位矩阵（I I）:主对角线元素全为主对角线元素全为1 1的对角阵。的对角阵。7 7、矩阵相等、矩阵相等8 8、对称矩阵：、对称矩阵：a aijij=a=ajiji元素以主对角线为对称轴对应相等。元素以主对角线为对称轴对应相等。9 9、负矩阵（、负矩阵（-A-A）2.1 2.1 矩阵的概念矩阵的概念【例如例如】设有矩阵相等如下，求设有矩阵相等如下，求x,y,zx,y,z。2.1 2.1 矩阵的概念矩阵的概念【例如例如】设矩阵设矩阵A A如下，求其负矩阵如下，求其负矩阵-A-A。一、矩阵的加法一、矩阵的加法1 1、定义、定义 设设A=aA=aijij mnmn,

6、B=a,B=aijij mnmn,以以A A与与B B对应元素之和为元素构成对应元素之和为元素构成的的mn mn 矩阵，称为矩阵矩阵，称为矩阵A A与与B B的和，记作的和，记作A+BA+B，公式如下：，公式如下：2.2 2.2 矩阵的运算矩阵的运算【练习练习】A+(-A)=?A+(-A)=?【例如例如】【考虑】矩阵的减法2 2、矩阵加法运算性质、矩阵加法运算性质设矩阵设矩阵ABCABC都是都是mnmn同类型矩阵，则：同类型矩阵，则：(1)(1)A+B=B+AA+B=B+A(2)(2)A+(B+C)=(A+B)+CA+(B+C)=(A+B)+C(3)(3)A+O=AA+O=A(4)(4)A+(

7、-A)=0A+(-A)=0【练习练习】验证结合律。验证结合律。2.2 2.2 矩阵的运算矩阵的运算二、矩阵的数乘二、矩阵的数乘1 1、定义、定义 设设A=aA=aijij mnmn ，k k为数，数为数，数k k与矩阵与矩阵A A的乘积定义为：的乘积定义为：kA=ka kA=kaijij mnmn ，或者记为，或者记为AkAk。【例如例如】设设k=5k=5矩阵矩阵A A如下所示，则如下所示，则5A=5A=？2.2 2.2 矩阵的运算矩阵的运算2 2、矩阵数乘的运算性质、矩阵数乘的运算性质 (1)(1)1A=A1A=A(2)(2)(ku)A=k(uA)(ku)A=k(uA)(3)(3)(k+u)

8、A=kA+Ua(k+u)A=kA+Ua(4)(4)k(A+B)=ka+kBk(A+B)=ka+kB三、矩阵的线性运算三、矩阵的线性运算矩阵的加法和数乘称为矩阵的线性运算。矩阵的加法和数乘称为矩阵的线性运算。四、矩阵的乘法四、矩阵的乘法1 1、定义、定义 设设A=aA=ailil mkmk ,B=b,B=bljlj knkn ,设其乘法矩阵设其乘法矩阵ABAB用用C=cC=cijij mnmn 表示如下：表示如下：2.2 2.2 矩阵的运算矩阵的运算【例如例如】设已知矩阵设已知矩阵A A和和B B如下，求矩阵如下，求矩阵ABAB和和BA.BA.2.2 2.2 矩阵的运算矩阵的运算【思考思考】BA

9、=?IA=?AI=?BA=?IA=?AI=?【练习练习】已知矩阵已知矩阵A A、B B如下所示，求如下所示，求AB=AB=？BA=?BA=?【练习练习】设某厂家向设某厂家向3 3个商店分别销售了个商店分别销售了4 4种产品，如矩阵种产品，如矩阵(a(aijij)3434所示，每种商品的价钱和重量如矩阵所示，每种商品的价钱和重量如矩阵(b(bijij)4242所示。试所示。试用矩阵运算求某厂家对每个商店销售商品的总价钱和总重量。用矩阵运算求某厂家对每个商店销售商品的总价钱和总重量。2.2 2.2 矩阵的运算矩阵的运算2 2、矩阵乘法运算性质、矩阵乘法运算性质(1)(1)不满足交换律不满足交换律(

10、2)(2)左分配律左分配律A(B+C)=AB+ACA(B+C)=AB+AC右分配律右分配律 (B+C)A=BA+CA(B+C)A=BA+CA(3)(3)结合律结合律A(BC)=(AB)CA(BC)=(AB)C(4)(4)数与矩阵的结合律数与矩阵的结合律(kA)B=A(Kb)=k(AB)(kA)B=A(Kb)=k(AB)【练习练习】验证矩阵乘法的结合律验证矩阵乘法的结合律2.2 2.2 矩阵的运算矩阵的运算五、矩阵转置五、矩阵转置1 1、定义把矩阵、定义把矩阵A=aA=aijij mnmn的行列互换得到一个新的的行列互换得到一个新的矩阵，称为矩阵矩阵，称为矩阵A A的转置，记作的转置，记作A A

11、T T。2.2 2.2 矩阵的运算矩阵的运算例如例如【考虑】若矩阵是对称的，则AT与A的关系？【练习练习】对角矩阵和对角矩阵和I I的转置矩阵与原矩阵什么关系？的转置矩阵与原矩阵什么关系？2 2、矩阵转置的运算性质、矩阵转置的运算性质(1)(1)(A(AT T)T T=A=A(2)(kA)(2)(kA)T T=kA=kAT T(3)(A+B)(3)(A+B)T T=A=AT T+B+BT T(4)(AB)(4)(AB)T T=B=BT TA AT T【练习练习】验证验证(AB)(AB)T T=B=BT TA AT T2.2 2.2 矩阵的运算矩阵的运算【练习练习】求求A+2B,AB-BA.A+

12、2B,AB-BA.【练习练习】求求A AT TB,BAB,BAT T.2.2 2.2 矩阵的运算矩阵的运算一、逆矩阵一、逆矩阵1 1、定义、定义 设设A A是一个是一个n n阶方阵，如果存在一个阶方阵，如果存在一个n n阶方阵阶方阵B B，使得，使得AB=BA=IAB=BA=In n,则称则称B B是是A A的一个逆矩阵，并称的一个逆矩阵，并称A A是一个可逆矩阵。是一个可逆矩阵。2 2、逆矩阵性质、逆矩阵性质逆矩阵是唯一的。并记作逆矩阵是唯一的。并记作A A-1-1。(1)(A(1)(A-1-1)-1-1=A=A(2)(2)如果矩阵如果矩阵A A可逆，常数可逆，常数k0,k0,则矩阵则矩阵k

13、AkA可逆，且可逆，且(kA)(kA)-1-1=(1/k)A=(1/k)A-1-1(3)(3)如果如果A A、B B都是都是n n阶可逆矩阵，则阶可逆矩阵，则ABAB是一个是一个n n阶可逆阶可逆矩阵，且矩阵，且(AB)(AB)-1-1=B=B-1-1A A-1-12.3 2.3 逆矩阵逆矩阵矩阵分析在计算机中的应用非常多，是一种方便的计算工具，可以以简矩阵分析在计算机中的应用非常多，是一种方便的计算工具，可以以简单的形式表达复杂的公式，比如：数字图像处理、计算机图形学、计单的形式表达复杂的公式，比如：数字图像处理、计算机图形学、计算机几何学、人工智能、网络通信、以及一般的算法设计和分析等。算

14、机几何学、人工智能、网络通信、以及一般的算法设计和分析等。矩阵分析与应用将矩阵的分析分为梯度分析、奇异值分析、特征分析、矩阵分析与应用将矩阵的分析分为梯度分析、奇异值分析、特征分析、子空间分析与投影分析五大部分。子空间分析与投影分析五大部分。一、关系的矩阵表示，图形的矩阵表示一、关系的矩阵表示，图形的矩阵表示关系是纯数学理论，是研究关系数据库的重要方法。关系的矩阵表示，关系是纯数学理论，是研究关系数据库的重要方法。关系的矩阵表示，利用利用warshallwarshall算法构造关系的传递闭包。算法构造关系的传递闭包。邻居矩阵，利用邻居矩阵求可达矩阵，利用可达矩阵判断操作系统的进邻居矩阵，利用邻居矩阵求可达矩阵，利用可达矩阵判断操作系统的进程和资源之间占有的死锁问题，程序调用之间的递归的深度等问题。程和资源之间占有的死锁问题，程序调用之间的递归的深度等问题。距离矩阵，利用距离矩阵求图的中心点中位点等。距离矩阵，利用距离矩阵求图的中心点中位点等。二、矩阵在计算机编程中的应用二、矩阵在计算机编程中的应用三、矩阵在计算机三维图形变换中的应用三、矩阵在计算机三维图形变换中的应用2.4 2.4 矩阵在计算机中的应用矩阵在计算机中的应用此课件下载可自行编辑修改，仅供参考！此课件下载可自行编辑修改，仅供参考！感谢您的支持，我们努力做得更好！谢谢感谢您的支持，我们努力做得更好！谢谢