专升本(高数—)第二章一元函数微分学演示教学.ppt

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1、专升本专升本(高数高数)第二章一第二章一元函数微分学元函数微分学 第二章第二章 一元函数微分学一元函数微分学(11(11年考了年考了4444分）分）一、一、导数导数二、微分二、微分三、微分中值定理三、微分中值定理四、四、洛必塔法则洛必塔法则五、五、导数的应用导数的应用第一节第一节 导数导数（一）、导数的概念与性质（一）、导数的概念与性质（二）、导数的运算（二）、导数的运算第二章第二章 一元函数微分学一元函数微分学2011年考了年考了24分分一、一、导数的概念导数的概念1.变速直线运动的速度变速直线运动的速度设描述质点运动位置的函数为则 到 的平均速度为而在 时刻的瞬时速度为自由落体运动（一）、

2、导数的概念与性质（一）、导数的概念与性质2.曲线的切线斜率曲线的切线斜率曲线在 M 点处的切线割线 M N 的极限位置 M T(当 时)割线 M N 的斜率切线 MT 的斜率两个问题的共性共性:瞬时速度切线斜率所求量为函数增量与自变量增量之比的极限.类似问题还有:加速度角速度线密度电流强度是速度增量与时间增量之比的极限是转角增量与时间增量之比的极限是质量增量与长度增量之比的极限是电量增量与时间增量之比的极限变化率问题(双侧双侧)导数定义导数定义注意注意“导数为导数为”时不可导，即导数不存在。时不可导，即导数不存在。3.导数的定义导数的定义单侧导数单侧导数（了解）（了解）左导数左导数右导数右导数

3、注意注意 函数在一点可导的函数在一点可导的充分必要条件为充分必要条件为：很明显很明显导函数（了解）导函数（了解）（1）如果如果)(xf在开区间在开区间内可导内可导,且且及及（2）都存在都存在,就说就说在闭区间在闭区间上可导上可导.导函数（了解）导函数（了解）(1)(1)求增量求增量 (2)(2)算比值算比值 (3)(3)求极限求极限4.由定义求导数举例（了解）由定义求导数举例（了解）例求函数求函数解故故同样地同样地，切线：切线：割线的极限割线的极限 割线割线MN绕点绕点M旋转而旋转而趋向极限趋向极限位置位置MT,直线直线MT就称为曲就称为曲线在点线在点M处的处的切线切线.MTNNNN二、二、导

4、数的几何意义导数的几何意义当当所以所以切线方程为切线方程为法线方程为法线方程为所以导数的几何意义为所以导数的几何意义为:每年都考、重点掌握！每年都考、重点掌握！例、例、2011年填空、4分根据导数的几何意义,得切线斜率为 解：可导的函数一定是连续的可导的函数一定是连续的（了解）（了解）证明证明由极限与无穷小的关系由极限与无穷小的关系即即其中其中三、三、函数的可导性与连续性的关系函数的可导性与连续性的关系比如比如解解反之不成立反之不成立.即连续不一定可导（了解）即连续不一定可导（了解）（二）、导数的运算（二）、导数的运算一、基本初等函数的导数公式C为常数（1）和（差）的导数：）和（差）的导数：(

5、uv)=,推广到有限个函数的情形：推广到有限个函数的情形：(u+v+)=.（2）积的导数：）积的导数：(uv)=,特例：特例：(cu)=(c为常数为常数).（3）商的导数：）商的导数：=(v0).二、导数的四则运算法则定理定理即即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数反函数的导数等于直接函数导数的倒数.三、反函数的求导法则（了解）证证于是有于是有例例1 1解解同理可得同理可得定定 理理 设设函函数数 y=f(u)，u=(x)均均可可导导，则复合函数则复合函数 y=f(x)也可导也可导.且且或或或或四、复合函数的求导法则（掌握）根据导数的几何意义,得切线斜率为五、隐函数的导数（掌握）六、由参数方程

6、所确定的函数的导数六、由参数方程所确定的函数的导数例如例如消去参数消去参数问题问题:消参困难或无法消参如何求导消参困难或无法消参如何求导?由复合函数及反函数的求导法则得由复合函数及反函数的求导法则得例：设（t为参数），求利用先取对数再求导的求导方法称为对数求导法。七、对数求导法 二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数，要求高阶导数，需要逐步求一阶，二阶，三阶等导数，注意从中找出规律，以便得到n阶导数的表达式。八、高阶导数（二）、可微与可导的关系（一）、微分的概念 第二节 微分微分（五）、微分的运算法则（六）、复合函数的微分（三）、微分的几何意义（四）、微分的基本公式2011年考了年考了4分分实例实

7、例:正方形金属薄片受热后面积的改变量正方形金属薄片受热后面积的改变量.（一）、微分的概念 再例如再例如,既容易计算又是较好的近似值既容易计算又是较好的近似值问题问题:一般一般函数函数y=f(x)是否也有是否也有 y=f(x+x)f(x)=A x+o(x)?A是什么是什么?如何求如何求?的微分微分,定义定义:若函数在点 的增量可表示为(A 为不依赖于x 的常数)则称函数而 称为记作即在点可微可微,定理定理:函数证证:“必要性必要性”已知在点 可微,则故在点 的可导,且在点 可微的充要条件充要条件是在点 处可导,且即（二）、可微与可导的关系(可微必可导 可微必可导).要求了解，记住不难。定理定理:

8、函数在点 可微的充要条件充要条件是在点 处可导,且即“充分性充分性”已知即在点 的可导,则注注:时,所以时很小时,有近似公式与是等价无穷小,当故当 例1 求函数yx2在x1和x3处的微分 dy(x2)|x1Dx2Dx 函数yx2在x3处的微分为 dy(x2)|x3Dx6Dx 例2 求函数 yx3当x2 Dx 002时的微分 yf(x)在点x0可微DyADxo(Dx)dy=f(x0)Dx 解 函数yx2在x1处的微分为 解 先求函数在任意点x 的微分 dy(x3)Dx3x2Dx 再求函数当x2 Dx002时的微分 dy|x=2,Dx=0.02=3220.02=0.24=3x2|x=2,Dx=0.

9、02MNT）P 例例:已知曲线已知曲线y=f(x)在在x=1处的切线方程为处的切线方程为2x-y+1=0,求求x=1处的微分处的微分.dy=f(x)x=2 x（三）、微分的几何意义d(xm)m xm1dx d(sin x)cos xdx d(cos x)sin xdx d(tan x)sec2xdx d(cot x)csc2xdx d(sec x)sec x tan xdx d(csc x)csc x cot xdx d(a x)ax ln adx d(e x)exdx(xm)m xm1(sin x)cos x(cos x)sin x(tan x)sec2 x(cot x)csc2x(sec

10、x)sec x tan x(csc x)csc x cot x(a x)ax ln a(e x)ex微分公式:导数公式:（四）、微分的基本公式微分公式:导数公式:设 u(x),v(x)均可微,则(C 为常数)（五）、微分的四则运算分别可微,的微分为微分形式不变微分形式不变则复合函数（六）、复合函数的微分（掌握）若yf(u)uj(x)则dyf(u)du 解 10年选择题，4分。知识点：复合函数求微分（二）、拉格朗日(Lagrange)中值定理（一）、罗尔(Rolle)中值定理第三节 微分中值定理微分中值定理了解即可了解即可例如例如,（一）、罗尔(Rolle)中值定理证明证明:故在故在 a a,b

11、 b 上取得最大值上取得最大值M M 和最小值和最小值 m m 若若 M M=m,m,则则因此因此若若 M m,M m,则则 M M 和和 m m 至少有一个与端点值不等至少有一个与端点值不等,不妨设不妨设 则至少存在一点则至少存在一点使使则由费马定理得则由费马定理得 几何解释几何解释:注意注意:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其其结论可能不成立结论可能不成立.例如例如,又例如又例如,例例1 1证证由介值定理由介值定理即为方程的小于即为方程的小于1的正实根的正实根.矛盾矛盾,（二）、拉格朗日(Lagrange)中值定理推论推论1推论推论2例例2 2证证例例

12、3 3证证由上式得由上式得第四节 洛必塔洛必塔(LHospital)法则法则必考、重点掌握必考、重点掌握2011年考了年考了4分分定义定义例如例如,定理定理定义定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为罗必塔法则求极限来确定未定式的值的方法称为罗必塔法则.例例1 1解解例例2 2解解以下以下12个例题作为赏析、了解即可个例题作为赏析、了解即可例例3 3解解例例4 4解解例例5 5解解注意：罗必塔法则是求未定式的一种有效方法，注意：罗必塔法则是求未定式的一种有效方法，但与其它求极限方法结合使用，效果更好但与其它求极限方法结合

13、使用，效果更好.例例6 6解解例例7 7解解关键关键:将其它类型未定式化为罗必塔法则可解决将其它类型未定式化为罗必塔法则可解决的类型的类型 .步骤步骤:例例8 8解解步骤步骤:步骤步骤:例例9 9解解例例1010解解例例1111解解例例1212解解极限不存在极限不存在罗必塔法则失效。罗必塔法则失效。注意：注意：罗必塔法则的使用条件罗必塔法则的使用条件小结：小结：洛必达法则洛必达法则（二）、函数的单调性和极值（一）、求曲线的切线方程和法线方程第五节 导数的应用导数的应用必考、重点掌握例题（解题原理）必考、重点掌握例题（解题原理）2011年考了年考了12分分（三）、函数的最大值和最小值（四）、曲线

14、的凹凸性（一）、求曲线的切线方程和法线方程（一）、求曲线的切线方程和法线方程由拉格朗日中值定理的推论我们已经知道:（二）、函数的单调性和极值观察下面的图形,你能得出什么结论？综上所述,可知:在讨论函数的单调性时，一般先求出函数一阶导数等于零和一阶导数不存在的点,然后按这些点将所讨论的区间分成小区间,在每个小区间内函数只有一种单调性,利用导数符号判断函数是单调增加还是单调减少.提供了判断函数单调性的方法提供了判断函数单调性的方法解 2011年填空、4分极值的定义三、函三、函 数数 的的 极极 值值函数的极值是个局部性的概念.我们已经知道的与函数极值有关的定理和公式:费马定理 可微函数取极值的必要

15、条件函数的单调性判别定理和方法泰勒公式 可利用高阶导数定理判别函数的极值点,主要是判别极值可疑点左、右对于可微函数将归结于判别函数的导数的符号.两侧函数的单调性.(单调增加)(单调减少)(单调减少)(单调增加)定理此时应另找其他方法此时应另找其他方法.什么方法？高阶的泰勒展开式？定理列表讨论单调性,判别极值:例解2010年解答题、8分极小极大自己总结求极值的步骤列表讨论单调性,判别极值:例解2011年解答题、8分极小在工程技术和生产实践中,常常需要考虑在一定条件下,怎样才能使用料最少、费用最省,而效率和效益最高等问题.这些问题反映到数学上就是最优化问题.优化技术应用价值很大（三）、函（三）、函

16、 数数 的的 最大值与最小值最大值与最小值求最值的几个特殊情况求最值的几个特殊情况极大(小)值点,则该点就是函数的最大(小)值点.实际判断原则实际判断原则计算函数值:(端点值)例解 没有什么新的东西我们说一个函数单调增加,你能画出函数所对应的曲线的图形吗?!.（四）、曲线的凹凸性1.曲线拐点的凹凸性它的图形的形式不尽相同.一般说来,对于一个区间上单调的函数的图形都存在一个需要判别弧段位于相应的弦线的“上方”或“下方”的问题.在数学分析中将这种问题称为曲线在数学分析中将这种问题称为曲线(函数函数)的凹凸性问题的凹凸性问题.简单地说,在区间 I 上:曲线弧段位于相应的弦线上方时,称之为凸的;曲线弧

17、段位于相应的弦线下方时,称之为凹的.凸凹成立,则称曲线在区间 I 上是凸的;成立,则称曲线在区间 I 上是凹的.定义定义定义定义能不能根据函数的二阶导数的符号来判别函数所对应的曲线的凸凹性呢？定理在运用该定理时要注意：在运用该定理时要注意：但仅在个别孤立点处等于零但仅在个别孤立点处等于零,则定理仍然成立则定理仍然成立.连续曲线上凸弧与凹弧度分界点,称为曲线的拐点.2.曲线拐点的定义及判别法定理(判别拐点的充分条件)根据拐点的定义立即可证明该定理.定理(判别拐点的充分条件)3.求曲线拐点、凹凸性的一般方法若动点 P 沿着曲线 y=f(x)的某一方向无限远离坐标原点时,动点 P 到一直线 L 的距离趋于零,则称此直线 L 为曲线 y=f(x)的一条渐近线.定义定义定义定义4.渐近线曲线的渐近线水平渐近线垂直渐近线斜渐近线5.曲线y=f(x)的渐近线的求法水平渐近线这里的极限可以是垂直渐近线想想：怎么求 a,b?这里的极限过程可以是以上的极限实际是 斜渐近线结束结束