ch51不定积分的概念和性质.ppt

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1、第五章第五章 不定积分不定积分 不定积分的概念和性质 基本积分表 基本积分法 有理函数及三角函数有理式的积分（约（约8学时）学时）10/29/2022问题:求导运算是否有逆运算?它的逆运算是什么？讨论其逆运算的意义何在？2、已知曲线，求它的切线的斜率。如果我们讨论的是反问题，已知物体运动的瞬时速度，即速度函数，求物体的运动规律，即路程函数；已知曲线在每一点的切线的斜率，求此曲线。我们知道导数概念是一个非常重要的概念。它不仅仅是一种形式运算，在实际应用中是很有用的。例如:1、已知物体的运动规律，即路程函数，求物体的瞬时速度;我们把求导的逆运算称为不定积分。10/29/2022微分学积分学-两个相

2、反的问题10/29/2022一、原函数（反导数）的定义定义定义1 1 设 定义在区间I上,若存在函数 ,有5.1 5.1 不定积分的概念和性质不定积分的概念和性质则称 是已知函数 在该区间I上的一个原函数（反导数）。例例 设设(x)=cos x,则则F(x)=sinx,sinx1,sinx+C.1.原函数存在的条件?2.原函数的个数?3.不同的原函数之间的关系?问题问题:10/29/2022定理定理1 1 若函数(x)在区间I上连续,则(x)在区间I上的原函数一定存在.(证明略)定理定理2 2 设F(x)是函数(x)在区间I上的一个原函数,则对任何常数C,F(x)+C也是函数(x)的原函数。证

3、证 因证证由拉格朗日中值定理得推论知由拉格朗日中值定理得推论知定理定理3 3 设设F(x)和和G(x)都是函数都是函数(x)的原函数的原函数,则则 F(x)G(x)C(常数常数)10/29/2022注注:当当C为任意常数时为任意常数时,F(x)是是(x)的一个原函数的一个原函数,则表达则表达式式 F(x)+C 可表示可表示(x)的任意一个原函数的任意一个原函数,即：即：(x)的全的全体原函数所组成的集合，体原函数所组成的集合，就是就是函数族函数族:10/29/2022结论结论:若F(x)是函数(x)的一个原函数,则其中 称为积分号,(x)称为被积函数,x称为积分变量,(x)d x 称为被积表达

4、式。“”“”亦由莱布尼兹所创，它是德语中亦由莱布尼兹所创，它是德语中“总和总和”Summe”Summe的第一个字母的第一个字母s s的伸长。的伸长。定义定义2 2 函数函数(x x)的全体原函数称为的全体原函数称为(x x)的不定积分的不定积分。二、不定积分的定义二、不定积分的定义C为任意常数,并称C为积分常数。记为记为10/29/2022例例1 1 求下列不定积分10/29/2022例例2 已知已知 的一个原函数是的一个原函数是 ,求常数求常数k.k.（1 1）求不定积分就是被积函数的一个原函数求不定积分就是被积函数的一个原函数.（2 2）不定积分是全体原函数的一般表达式不定积分是全体原函数

5、的一般表达式.最后结果中不最后结果中不要忘记积分常数要忘记积分常数C.C.（3 3）求不定积分的方法称为求不定积分的方法称为积分法积分法.说明：10/29/2022例例3 F(x)是是f(x)的一个原函数，满足的一个原函数，满足证证 由由 知知(a,b为常数且为常数且a0).10/29/2022 y=F(x)函数函数(x)的一个原函数的一个原函数,称称 y=F(x)的图形的图形是是(x)的一条的一条积分曲线积分曲线;而而 是是(x x)的原函数一般表达式的原函数一般表达式,所以它对应的图所以它对应的图形是一族积分曲线称它为形是一族积分曲线称它为积分曲线族积分曲线族,其特点是其特点是:(1)积分

6、曲线族中任意一条曲线可积分曲线族中任意一条曲线可由其中某一条由其中某一条(如如y=F(x)沿沿y轴平行轴平行移动移动|c|个单位而得到个单位而得到.(如图如图)当当c0时时,向上移动向上移动;当当c0时时,向下移动向下移动.oxyxy=F(x)|c|三、不定积分的几何意义三、不定积分的几何意义10/29/2022oxyxy=F(x)(2)即横坐标相同点处即横坐标相同点处,每条积分曲线上每条积分曲线上相应点的切线斜率相等相应点的切线斜率相等,都为都为(x).从而相应点的切线相互平行从而相应点的切线相互平行.注注:当需要从积分曲线族中求出当需要从积分曲线族中求出过点过点 的一条积分曲线时的一条积分

7、曲线时,则只须把则只须把 代入代入y=F(x)+C中解出中解出C即可即可.10/29/2022例例4 已知一条曲线在任意一点的切线斜率等于该点横坐标已知一条曲线在任意一点的切线斜率等于该点横坐标的倒数的倒数,且过点且过点 求此曲线方程求此曲线方程。解解 设所求曲线为设所求曲线为 y=(x),则则故所求曲线为故所求曲线为 y=ln|x|+210/29/2022性质性质1 1 四、不定积分的性质四、不定积分的性质证明：注注:微分运算与积分运算是互逆的微分运算与积分运算是互逆的.证明：乘积关系乘积关系10/29/2022即 性质性质3 3的推广的推广 性质性质2 2 性质性质3 3 证证 是是(x)g(x)的原函数的原函数.10/29/2022例例5 已知 ,求函数(x).解10/29/2022