D87方向导数与梯度.ppt

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1、 第八章第八章山东交通学院高等数学教研室山东交通学院高等数学教研室第七节第七节 方向导数与梯度方向导数与梯度 一、方向导数一、方向导数 二、梯度二、梯度 三、场的概念三、场的概念 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 一、方向导数一、方向导数定义定义:则称其值为函数在点 P 处沿方向 l 的方向导数方向导数.在点 处沿方向 l(方向角为存在下列记作记作 极限:若函数 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 方向导数与偏导数的关系方向导数与偏导数的关系当 l 与 x 轴同向时存在存在.同理,偏导数存在时,若偏导数若偏导数 存在存在,即l 与 y 轴同向时,即为沿坐标轴正方向的方向导

2、数 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 但如果方向导数存在，偏导数却未必存在如函数在点沿任意方向l但该点偏导数不存在！函数在一点沿任意方向方向导数存在，不一定可微！故在点不可微 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 定理定理:沿任意方向沿任意方向 l 的方向导数都存在,证明证明:且在点 P 可微,得则函数在该点其中为l 的方向角.由函数若函数 在点可微,目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 对于三元函数处沿方向l在点为 )的方向导数为（方向角 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 例例1 求函数 在点 P(1,1,1)沿向量的方向导数.解解:向量 l 的方向余

3、弦为 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 例例2 求函数 在点P(2,3)沿曲线朝 x 增大方向的方向导数.解解:它在点 P 的切向量为将已知曲线用参数方程表示为 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 例例3 设是曲面在点 P(1,1,1)处指向外侧的法向量,解解:方向余弦为而同理得方向的方向导数.在点P 处沿求函数 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 二、梯度二、梯度 方向导数公式令向量这说明方向：f 变化率最大的方向模:f 的最大变化率之值方向导数取最大值：f 增长最增长最快的方向快的方向 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 1 定义定义即同样可定义二

4、元函数称为函数 f(P)在点 P 处的梯度记作(gradient),在点处的梯度 向量注注:函数的方向导数为梯度在该方向上的投影:(为方向l 上的单位向量)目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 2 梯度的几何意义梯度的几何意义称为函数 f 的等值线等值线或等高线等高线.则L*上点P 处的法向量为 函数在一点的梯度垂直于该点等值线,指向函数增大的方向.同样,的等值面(等量面).当其各偏导数不同其上点 P 处的法向量为称为时为零时,曲线 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 例例4 设函数解解:在点 P(1,1,1)处的切平面方程.故所求切平面方程为即(2)求函数 f 在点 P(1

5、,1,1)沿增加最快方向的方向导数.(1)求等值面 (2)函数 f 在点P处增加最快的方向为沿此方向的方向导数为(1)点P处切平面的法向量为 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 例例5 证明证明:试证:处向径 r 的模,目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 三、场的概念三、场的概念函数(物理量的分布)数量场数量场(数性函数)场向量场向量场(矢性函数)可微函数梯度场梯度场(势)如:温度场,电势场等如:力场,速度场等(势场)注注:任意一个向量场不一定是梯度场.目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 例例6 已知位于坐标原点的点电荷 q 在任意点试证证明证明:这说明场强:处所

6、产生的电势为垂直于等势面,且指向电势减少的方向.场强利用例5的结果 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 内容小结内容小结1 方向导数方向导数v三元函数 在点沿方向 l(方向角的方向导数为v 二元函数 在点的方向导数为沿方向 l(方向角为 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 2 梯度梯度v 三元函数 在点处的梯度为v 二元函数 在点处的梯度为3 关系关系方向导数存在偏导数存在v v可微梯度在方向 l 上的投影.方向:f 变化率最大的方向模:f 的最大变化率之值v 梯度的特点沿坐标轴正向 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 练习练习 1 函数在点处的梯度解解:(1992 考研考研)目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 指向 B(3,2,2)方向的方向导数是 .在点A(1,0,1)处沿点A2 函数提示提示:其单位向量为(1996考研考研)