D61多元数量值函数积分的概念与性质.ppt

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1、第六章一元函数积分学一元函数积分学多元函数积分学多元函数积分学重积分重积分曲线积分曲线积分曲面积分曲面积分多元函数积分学及其应用 目录 上页 下页 返回 结束 三、积分存在的条件和性质三、积分存在的条件和性质 第一节一、引例一、引例 二、多元数量值函数积分的概念二、多元数量值函数积分的概念 多元数量值函数积分的概念与性质 第六章 目录 上页 下页 返回 结束 1.平面薄片的质量平面薄片的质量 有一个平面薄片有一个平面薄片,在在 xOy 平面上占有区域平面上占有区域 D,计算该薄片的质量计算该薄片的质量 M.度为度为设设D 的面积为的面积为 ,则则若若非常数非常数,则可用则可用其面密其面密“分分

2、,匀匀,合合,精精”解决解决.1)“分分”用用任意任意曲线网分曲线网分D 为为 n 个小区域个小区域相应把薄片也分为小块相应把薄片也分为小块.一、引例一、引例目录 上页 下页 返回 结束 2)“匀匀”中中任取任取一点一点3)“合合”4)“精精”则第则第 k 小块的质量小块的质量目录 上页 下页 返回 结束 解法解法:类似定积分解决问题的思想类似定积分解决问题的思想:2.曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积 给定曲顶柱体给定曲顶柱体:底：底：xOy 面上的闭区域面上的闭区域 D顶顶:连续曲面连续曲面侧面：侧面：以以 D 的边界为准线的边界为准线,母线平行于母线平行于 z 轴的柱面轴的柱面求其体积求其体积

3、.“分分,匀匀,合合,精精”目录 上页 下页 返回 结束 1)“分分”用用任意任意曲线网分曲线网分D为为 n 个区域个区域以它们为底把曲顶柱体分为以它们为底把曲顶柱体分为 n 个个2)“匀匀”在每个在每个3)“3)“合合”则则中中任取任取一点一点小曲顶柱体小曲顶柱体目录 上页 下页 返回 结束 4)“4)“精精”令令目录 上页 下页 返回 结束 两个问题的两个问题的共性共性：(1)解决问题的步骤相同解决问题的步骤相同(2)所求量的结构式相同所求量的结构式相同“分分,匀匀,合合,精精”曲顶柱体体积曲顶柱体体积:平面薄片的质量平面薄片的质量:目录 上页 下页 返回 结束 例如例如:物体为空间物质块

4、。物体为空间物质块。一般说来，设有一质量非均匀分布在某一几何形体一般说来，设有一质量非均匀分布在某一几何形体上的物体，（这里几何形体可以是上的物体，（这里几何形体可以是直线段、平面或直线段、平面或连续，都可以按照以上四个步骤来计算其质量。连续，都可以按照以上四个步骤来计算其质量。空间区域，一片曲面或一段曲线空间区域，一片曲面或一段曲线），密度函数），密度函数目录 上页 下页 返回 结束 二、多元数量值函数积分的概念二、多元数量值函数积分的概念定义定义:抽抽象象其其共共性性如果不论如果不论 怎样划分，点怎样划分，点 怎样选取，极限怎样选取，极限都存在，则称都存在，则称f 在在 上可积，且上可积，

5、且称此极限值为称此极限值为目录 上页 下页 返回 结束 积分域被积函数被积式或积分微元即：注意：注意：当积分域类型不同时，积分的具体表达式和名称也不相同目录 上页 下页 返回 结束(1)当 为区间a,b时，M为x，积分为定积分定积分 (2)当 为平面域()时，M为(x,y)，积分为二重积分二重积分 d称为面积微元面积微元，在直角坐标系下常写作引例1中平面薄板的质量:引例2中曲顶柱体体积:目录 上页 下页 返回 结束(3)当 为空间域(V)时，M为(x,y,z)，积分为三重积分三重积分称为体积元素体积元素,在直角坐标系下常写作(4)当 为一条曲线弧段(C)时，积分为对弧长的曲线积分对弧长的曲线积

6、分也称为第一型线积分第一型线积分,其中(C)称为积分路径积分路径(5)当 为一片曲面(S)时，积分为对面积的曲面积分对面积的曲面积分也称为第一型面积分第一型面积分目录 上页 下页 返回 结束 三、积分存在的条件和性质三、积分存在的条件和性质定理定理1：上可积。函数f 在上可积的必要条件是f 在 上有界。定理定理2：若 是紧的且可度量，则f 在、积分存在的条件、积分存在的条件目录 上页 下页 返回 结束 复习复习:定积分的性质定积分的性质(设所列定积分都存在)(k 为常数)、积分的性质、积分的性质目录 上页 下页 返回 结束 6.若在 a,b 上则推论推论1.若在 a,b 上则推论推论2.7.设

7、则8.积分中值定理积分中值定理则至少存在一点使目录 上页 下页 返回 结束 积分的性质积分的性质设 是紧的、可度量且被积函数可积1.线性性质线性性质(2)(1)2.对积分域的可加性对积分域的可加性目录 上页 下页 返回 结束 3.积分不等式积分不等式目录 上页 下页 返回 结束 4.中值定理中值定理为一有界连通闭集，则至少存在一点目录 上页 下页 返回 结束 例例1.比较下列积分的大小:其中解解:积分域 D 的边界为圆周它在与 x 轴的交点(1,0)处与直线从而而域 D 位于直线的上方,故在 D 上目录 上页 下页 返回 结束 例例2.估计下列积分之值解解:D 的面积为由于积分性质5即:1.96 I 2D目录 上页 下页 返回 结束 被积函数相同,且非负,思考与练习思考与练习解解:由它们的积分域范围可知1.比较下列积分值的大小关系:目录 上页 下页 返回 结束 2.设D 是第二象限的一个有界闭域,且 0 y 1,则的大小顺序为()提示:因 0 y 1,故故在D上有目录 上页 下页 返回 结束 备用题备用题1.估计 的值,其中 D 为解解:被积函数D 的面积的最大值的最小值目录 上页 下页 返回 结束 2.判断的正负.解：解：当时，故又当时，于是