《全微分及应用》PPT课件.ppt

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1、全微分全微分函数f(x y)对x的偏微分函数f(x y)对y的偏增量函数f(x y)对y的偏微分v全增量 zf(xx yy)f(x y)v偏增量与偏微分 f(xx y)f(x y)fx(x y)x f(x yy)f(x y)fy(x y)y 函数f(x y)对x的偏增量 根据一元函数微分学中增量与微分的关系 有 f(xx y)f(x y)f(x yy)f(x y)fx(x y)x fy(x y)yv全微分的定义其中A、B不依赖于x、y而仅与x、y有关 则称函数zf(x y)在点(x y)可微 而AxBy称为函数zf(x y)在点(x y)的全微分 记作dz即 dzAxBy 如果函数在区域D内各

2、点处都可微 那么称这函数在D内可微分 如果函数zf(x y)在点(x y)的全增量 zf(xx yy)f(x y)可表示为v可微与连续 偏导数存在不一定连续 但可微必连续 这是因为 如果zf(x y)在点(x y)可微 则 zf(xx yy)f(x y)AxByo(r)因此函数zf(x y)在点(x y)处连续 于是从而v可微的必要条件v应注意的问题如果函数如果函数z z f f(x x y y)在点在点(x x y y)可微可微 则函数在则函数在该点的偏导数该点的偏导数 必定存在，且函数必定存在，且函数z z f f(x x y y)在点在点(x x y y)的全微分为的全微分为 偏导数存在

3、是可微的必要条件 但不是充分条件 v例题:见课本例1v可微的充分条件以上结论可推广到三元及三元以上函数 则函数在该点可微 v叠加原理 按着习惯 x、y分别记作dx、dy 并分别称为自变量的微分 这样函数zf(x y)的全微分可写作 二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加原理 叠加原理也适用于二元以上的函数 例如uf(x y z)的全微分为多元函数连续、可导、可微的关系函数可微函数连续偏导数连续函数可导v例题例题:见课本例见课本例2-42-4练习练习:习题习题8-3A8-3A1(1);2;3;4(1)1(1);2;3;4(1)当当函函数数z f(x y)在在点点(

4、x y)的的两两个个偏偏导导数数fx(x y)fy(x y)连续连续 并且并且|x|y|都较小时都较小时 有近似等式有近似等式 z dz fx(x y)x fy(x y)y 即即 f(xx yy)f(x y)fx(x y)x fy(x y)y.我们可以利用上述近似等式对二元函数作近似计算我们可以利用上述近似等式对二元函数作近似计算.*全微分在近似计算中的应用 f(xx yy)f(x y)fx(x y)xfy(x y)y zdzfx(x y)xfy(x y)y v例题例题:见课本例见课本例5-65-6多元函数全微分的概念；多元函数全微分的求法；多元函数连续、可导、可微的关系（注意：与一元函数有很大区别）小结小结作业作业:习题习题8-3A/1(2)(5);4(2)