《效用理论与保险》PPT课件.ppt

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1、第第1 1章章 效用理论与保险效用理论与保险例：我们有这样的二种选择：A：0.1%的机会得到10000元钱，99.9%的机会什么也得不到。B：100%的机会得到10元。选择A？或B？喜好风险例：我们有这样的二种选择：A：0.1%的失去得到10000元钱，99.9%的机会不损失。B：100%的机会夫去10元。选择A？或B？厌恶风险例：我们有这样的二种选择：A：0.1%的失去得到10000元钱，99.9%的机会不损失。B：100%的机会夫去20元。选择A？或B？1.2 期望效用模型期望效用模型 假设一个个体面临损失额为假设一个个体面临损失额为B，发生概率，发生概率0.01 的风险，他可以将损失进行

2、投保，并愿意为这份的风险，他可以将损失进行投保，并愿意为这份保单支付保费保单支付保费P，B 和和P之间有何种关系？之间有何种关系？如果如果B 非常小，那么非常小，那么PB；如果如果B略微大一点，如略微大一点，如500，那么，那么P就可能比就可能比5 稍大一些；稍大一些；如果如果B 非常大，那么非常大，那么P B大很多。大很多。因为这么大的损失一但发生可以导致破产。因为这么大的损失一但发生可以导致破产。结论：可以付出比期望值高的费用为风险结论：可以付出比期望值高的费用为风险投保。投保。为比较为比较X 和和Y，效用函数与其线性变换是等价的，效用函数与其线性变换是等价的，即无论选择哪个效用函数会得出

3、相同的决策。即无论选择哪个效用函数会得出相同的决策。当且仅当当且仅当与与是等价的。是等价的。效用函数的确定效用函数是存在的。但很难给出一个明确的解析式。可以向决策都提出大量的问题，通过他对这些问题的回答来决定该决策都的效用函数。如“为了避免以概率q损失1个单位货币，你愿意支付多少保费这P？”当当b=1 时，他选择时，他选择A；当当b=4 时，他选择时，他选择B；当当b=2 时，两者等价时，两者等价这既不是凸函数也不是凹函数。这既不是凸函数也不是凹函数。有重大的决策时，决策者往往在风险厌恶者。有重大的决策时，决策者往往在风险厌恶者。被保险人是风险厌恶者。被保险人是风险厌恶者。风险厌恶者的效用函数

4、的特点：风险厌恶者的效用函数的特点：定理1.2.3(Jensen 不等式）如果是一个凸函数，Y 是一个随机变量，则其中等号成立当且仅当在Y 的支撑集支撑集上是线性的或Var(Y)=0，由此不等式可以得到，对于一个凹的效用函数，有被保险人方面：被保险人方面：保险人方面：保险人方面：买卖成功！买卖成功！实际风险是中性的，即对于任意的风险X，有期望保费EX就够了。由大数定律可知：在后面式子的两边同时取期望，得到在后面式子的两边同时取期望，得到因此，风险因此，风险X 的最大保费近似为的最大保费近似为于是风险于是风险X 的最大保费近似为的最大保费近似为注意到注意到 用替换时，并没有改变用替换时，并没有改

5、变从（从（1.18)，我们可以看到风险厌恶系数真正反映，我们可以看到风险厌恶系数真正反映了风险厌恶的程度：对风险厌恶程度越高，准备支了风险厌恶的程度：对风险厌恶程度越高，准备支付的保费也越大付的保费也越大.效用函数族-例例1.3.1（指数保费）（指数保费）假设一保险人使用参假设一保险人使用参数为数为 的指数效用函数，对于风险的指数效用函数，对于风险X，最小，最小保费保费 应为多少？应为多少？Pa把 代入均衡方程（）得其中 是X 的矩母函数假设损失假设损失X 服从服从 分布，其中分布，其中 表示参数为表示参数为 的指数分布令的指数分布令 0.01，则，则EX=100 如果被保险人的效用函数是参数

6、为如果被保险人的效用函数是参数为 的指数效用函数，的指数效用函数，因此被保险人愿意在纯保费因此被保险人愿意在纯保费 之上之上附加相当数量的额外保费附加相当数量的额外保费138.6100由例中近似式(1.18)得显然，近似表达式(1.22)随 递增，如果X 是方差有限的非负随机变量，则(1.20)所决定的保费也是递增的，具体证明如下。令由Jensen 不等式知取 则 且对任意 有由方程(1.10)发生损失X 之后的期望效用为以及支付保费P之后的效用为近似的最大保费：（不可保的风险）某决策者使用风险厌恶系数为 的指数效用函数，他想对分布为 的风险进行投保，其中 表示参数为a,b的伽玛分布确定 并证

7、明 ，何时 此时说明了什么？因为 ,我们有 .因而 所以，计算出的保费大于纯保费如果 ，则 ，这表明决策者愿意支付任何有限的保费按照效用理论，如果风险厌恶系数为 .那么承保该风险的保险人对于任何有限的保费P，都会遭受损失，因为 对于这些保险人来说，这种风险是不可保的1.4 停止损失再保险的最优性 再保险合同通常只承保保险人的一部分风险停止损失(再）保险承保损失超出指定免赔额的超额部分它的定义如下：如果发生的损失为X(我们假设 ).则理赔支付为对于停止损失保险合同，其纯保费 称为停止损失保费，记为在离散情形，为阶梯函数，其在x 处的跳为 ；在连续情形，有导函数 两种情形下的停止损失保费都可由下式

8、给出 为什么？定理定理1.4.l（停止损失再保险的最优性）用（停止损失再保险的最优性）用 记当损失为记当损失为 时，某再保险合同约定的理时，某再保险合同约定的理赔支付假设赔支付假设 对于任意对于任意 成立成立,则则证明 因为 ，所以只需证明上式成立的一个充分条件是上式成立的一个充分条件是 以概率以概率1 成立成立当当 时，时，显然成立；显然成立；当当 时时,我们有我们有 ，有，有停止损失保费不仅使自留风险的方差达到最小，而且还使被保险人的期望效用达到最大。例1.4.2（比例再保险的最优性）假设保险人收取保费 ,正寻求最有利的再保险 满足 ，且自留风险的方差给定如下：我们必须使再保险公司的期望利润达到最小 问题B 容易解决一些