《插值法与数值微分》PPT课件.ppt

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1、第二章第二章 插值法与数值微分插值法与数值微分2.1 2.1 线性插值和抛物插值线性插值和抛物插值2.2 2.2 拉格朗日插值多项式拉格朗日插值多项式2.3 2.3 插值多项式的误差插值多项式的误差2.4 2.4 分段插值法分段插值法2.5 2.5 三次样条插值三次样条插值2.6 2.6 数值微分数值微分附附 牛顿型多项式插值牛顿型多项式插值引引 言言 实际中，f(x)多样，复杂，通常只能观测到一些离散数据；或者f(x)过于复杂而难以运算。这时我们要用近似函数g(x)来逼近f(x)。这个过程就是曲线拟合。插值法在工程及建筑设计中应用十分广泛。例如，已知一天24小时的逐时室外气温、综合温度、冷热

2、负荷等值，需要知道其他任意时刻的值，即可应用插值计算求得；又如，我国工业企业采取通风和空气调节设计规范中，仅给出了有限个地区相应有限个方位的夏季太阳辐射热总强度值，以及透过窗玻璃的太阳总辐射强度值，至于其它任意方位（0-350）的中间值，也要用插值法求得。因此，插值法的研究很有必要。常用曲线拟合方法：常用曲线拟合方法：常用曲线拟合方法：常用曲线拟合方法：插值法、最小二乘法插值法、最小二乘法 自然地，希望g(x)通过所有的离散点x0 x1x2x3x4xg(x)f(x)本章学习插值法本章学习插值法基本概念：基本概念：1.设已知 在n+1个点 上的函数值分别为 ，求一个不超过n次的多项式 ，使 插值

3、条件 称为插值多项式 称为插值节点,称为插值区间。3.插值多项式的存在唯一性：插值多项式的存在唯一性：定理：定理：2.几何意义：几何意义：n次代数曲线代替2.1 2.1 线性插值和抛物插值线性插值和抛物插值一、线性插值：一、线性插值：已知函数 在结点 上的函数值 ，要求一个一次多项式 使之满足 ，其几何意义就是通过A，B两点作一条直线近似代替曲线 。图图2 23 3 线性插值几何意义线性插值几何意义优点：优点：计算简单，以直线代替曲线。缺点：缺点：精度低，误差大。改进：改进：多用一些点。由解析几何，我们立即可以得到的 表达式 这样的 一般是 的一次多项式，即一次函数。这种插值称为线性插值（或一

4、次插值）。0 0 15 15 20 20 45 45 60607575 0.250.250.250.250.70.70.70.72.82.82.82.86.56.56.56.52020202060606060例例例例已知某多叶调节风阀。当叶片数为已知某多叶调节风阀。当叶片数为n=3n=3时，叶片与时，叶片与气流方向呈各种角度气流方向呈各种角度 时。某局部阻力系数时。某局部阻力系数 值如下表值如下表表示：表示：求当求当 等于等于3030时，多叶调节风阀的局部阻力系数时，多叶调节风阀的局部阻力系数 的的线形插值。线形插值。并将其代入线性插值公式，有二、抛物插值（三点插值）二、抛物插值（三点插值）二

5、、抛物插值（三点插值）二、抛物插值（三点插值）已知已知 ,求二次多项式求二次多项式 ,满足插值满足插值条件条件 。x xy y几何意义：通过三点A、B、C的抛物线代替曲线这样的 是 的二次函数，其形式为：其中 为待定常数。若将A，B，C三点分别代入上式会得到一个有唯一解的三元一次方程，从而 即可确定，但求起来比较麻烦。简便算法：简便算法：简便算法：简便算法：抛物插值公式抛物插值公式：（二次插值公式）：（二次插值公式）稍加整理即得抛物插值公式。例例 2.2 分别计算下列各题：1）利用100和121求平方根115；2）利用100，121和144求平方根115。解:用线形插值求解问题1）与所求平方根

6、的实际值比较，得到了具有三位有效数字的结果10.71428。用抛物插值求解问题2）与平方根实际值比较，具有四位有效数字，显然比线形插值的结果好。一般地说，抛物插值比线形插值近似程度要好些。2.2 2.2 拉格朗日插值多项式拉格朗日插值多项式对数据进行插值的方法有好几种，如拉格拉格朗日插值法朗日插值法、牛顿插值法牛顿插值法、hermite插值法，我们主要介绍的是拉格朗日插值法。一、拉格朗日插值公式：一、拉格朗日插值公式：1.1.问题提出问题提出：这节就具有一般形式的代数插值问题这节就具有一般形式的代数插值问题（即已知函数（即已知函数 在在n+1n+1个点上的函数值个点上的函数值 ,求一个求一个n

7、 n次多项式次多项式 ，并满足条件，并满足条件 ）来讨论如何构造其插值多项式）来讨论如何构造其插值多项式 。2.2.插值基函数：插值基函数：我们只会求有我们只会求有2 2个个3 3个节点的插值多个节点的插值多项式，有更多的节点的插值多项式是怎样的呢，如项式，有更多的节点的插值多项式是怎样的呢，如何求得呢，今天我们就来研究给出何求得呢，今天我们就来研究给出n+1n+1个节点的插个节点的插值多项式的形式。我们先观察线性插值多项式和抛值多项式的形式。我们先观察线性插值多项式和抛物插值多项式。得出结论：物插值多项式。得出结论：3.3.拉格朗日插值公式：拉格朗日插值公式：这就是所要求的插值多项式，称为拉

8、格朗日（拉格朗日（Lagrange）插值多项式插值多项式。当n=1时，就得出线形插值多项式线形插值多项式，n=2时，就得出抛物插值多项式抛物插值多项式。4.4.算法设计与流程图：算法设计与流程图：（1 1）流程图：）流程图：（2 2）算法功能：）算法功能：用Lagrange插值公式，对给定的n组 数据进行插值计算。（3 3）算法简介：）算法简介：（4 4 4 4）程序：）程序：）程序：）程序：/*rtn=lagrange(x0,y0,n,x&y);*/*rtn=lagrange(x0,y0,n,x&y);*/*x0-Float array,store X1,X2,.Xn */*x0-Float

9、 array,store X1,X2,.Xn */*f0-Float array,store Y1,Y2,.Yn */*f0-Float array,store Y1,Y2,.Yn */*x-Float value */*x-Float value */*&y-Point of a float value,return with fx*/*&y-Point of a float value,return with fx*/int lagrange(x0,y0,n,x,y)int lagrange(x0,y0,n,x,y)float x0,y0,x;float x0,y0,x;int n;int

10、 n;float*y;float*y;int i,j;int i,j;float p;float p;*y=0;*y=0;if(n1)if(n1)for(i=0;in;i+)for(i=0;in;i+)p=1;p=1;for(j=0;jn;j+)for(j=0;jn;j+)if(i!=j)if(i!=j)p=p*(x-x0j)/(x0i-x0j);p=p*(x-x0j)/(x0i-x0j);*y=*y+p*y0i;*y=*y+p*y0i;return(0);return(0);else return(-1);else return(-1);main()main()float x04=0.46,

11、0.47,0.48,0.49;float x04=0.46,0.47,0.48,0.49;float y04=0.484655,0.493745,0.502750,0.511668;float y04=0.484655,0.493745,0.502750,0.511668;float x,y;float x,y;int n,rtn;int n,rtn;n=4;n=4;x=0.472;x=0.472;rtn=lagrange(x0,y0,n,x,&y);rtn=lagrange(x0,y0,n,x,&y);if(rtn=0)if(rtn=0)printf(Y(0.472)=%fn,y);prin

12、tf(Y(0.472)=%fn,y);else printf(N must be larger than 1.n);else printf(N must be larger than 1.n);1 1 1 1 参数说明：参数说明：参数说明：参数说明：输入参数：输入参数：X0 X0 y0 y0（5 5）程序使用说明）程序使用说明：n整型量，给定插值节点的个数。X实型量，插值点。输出参数：y 实型指针，接受调用程序传送的一个实型量的地址，在程序结束时，该实型量返回计算结果。注：注：该实型量中原有内容将被破坏。2 调用说明：调用说明：格式：格式：rtn=lagrange(x0,y0,n,x,&y)r

13、tn=lagrange(x0,y0,n,x,&y)。rtnrtn是一整型量。是一整型量。本子函数是一个整型函数，因此返回主函数一个整代本子函数是一个整型函数，因此返回主函数一个整代码于变量码于变量rtnrtn中。代码的意义如下：中。代码的意义如下：0 0程序正常结束，在程序正常结束，在y y中有计算结果。中有计算结果。-1-1程序异常返回，在程序异常返回，在y y中没有结果。异常的原因是中没有结果。异常的原因是n n不大于不大于1 1，使运算无法继续进行。，使运算无法继续进行。（6 6）MathematicaMathematica程序：程序：插值多项式函数的一般形式：Interpolating

14、Polynomialdata,var构造以data为插值点数据，以var为变量名的插值多项式.2.3 2.3 插值多项式的误差插值多项式的误差1.1.1.1.插值余项：插值余项：插值余项：插值余项：2.2.误差估计：误差估计：定理：定理：证明：证明：当 为节点时，两边皆为0，显然成立。下设 不为节点。作辅助函数即即 问题得证。问题得证。这个定理所讲的余项用起来有一定的困难，因为实际计算时，只是给出 的一张数据表，并未给出具体的解析式子，故 并不知道，所以 也就无法得到。3.3.3.3.事后估计：事后估计：事后估计：事后估计：利用余项公式知利用余项公式知稍加整理得稍加整理得这种用计算的结果来估计

15、误差的办法，通常称为事后估计，在计算中是常用的，这种估计误差的方法，将贯穿我们计算方法这门课程的始终。4.4.拉格朗日插值多项式的优缺点：拉格朗日插值多项式的优缺点：优点：优点：优点：优点：拉格朗日插值多项式结构对称，使用方便拉格朗日插值多项式结构对称，使用方便 缺点：缺点：缺点：缺点：a.a.不具备递推性，当需要增加节点时需要重新计算；不具备递推性，当需要增加节点时需要重新计算；b.b.龙格（龙格（龙格（龙格（RungeRungeRungeRunge）现象）现象）现象）现象:高次拉格朗日插值多项式稳定高次拉格朗日插值多项式稳定性差，对于计算过程的舍入误差十分敏感，当插值性差，对于计算过程的舍

16、入误差十分敏感，当插值节点增多时，不能保证非节点处的插值精度得到改节点增多时，不能保证非节点处的插值精度得到改善，有时反而误差更大。龙格善，有时反而误差更大。龙格就给出了一个例子：就给出了一个例子：设被插值函数设被插值函数取等矩节点 ，作拉格朗日插值多项式 。当 时，函数 及插值多项式 的图形如下所示。由图可见，在区间，0.2上 比较接近 ,但在区间-1，1两端则误差很大。当 增大时，部分区间上插值多项式截断误差偏大的现象更重。这种现象称龙格现象龙格现象。-11xy0图图2 24 4 龙格现象为避免龙格现象和不稳定，通常限定 ，不采用高次插值多项式。解决方法：分段插值2.4 2.4 分段插值法

17、分段插值法一一 问题提出：问题提出：问题提出：问题提出：1.1.适当提高插值多项式的次数，可以提高计算的精适当提高插值多项式的次数，可以提高计算的精确度，但次数太高又会产生不好的效果。因为次确度，但次数太高又会产生不好的效果。因为次数越高，计算越繁，积累误差就越大；曲线就会数越高，计算越繁，积累误差就越大；曲线就会出现过多的扭摆。当局部插值点有微小变动时，出现过多的扭摆。当局部插值点有微小变动时，就可能引起曲线大幅度的变化，使计算很不稳定。就可能引起曲线大幅度的变化，使计算很不稳定。因此，插值多项式次数越高，其所求得的插值越因此，插值多项式次数越高，其所求得的插值越显得不可靠，从而也大大降低了

18、它的工程应用价显得不可靠，从而也大大降低了它的工程应用价值。这也就是很少采用拉格朗日插值公式的原因。值。这也就是很少采用拉格朗日插值公式的原因。因此，在工程应用中，多采用分段插值法。即将因此，在工程应用中，多采用分段插值法。即将插值区间分为若干个小段，在每一小段上使用低插值区间分为若干个小段，在每一小段上使用低阶插值阶插值如线形插值或抛物插值。如线形插值或抛物插值。设已给出一系列离散结点：设已给出一系列离散结点：应用低阶插值的关键是恰当地挑选插值结点。余项公式说明，选取的结点 离插值点 越近，误差 就越小，因而插值效果也就越好。因此，应当尽量在插值点的邻近选取插值结点。2.分段插值：把整个插值

19、区间分成若干个小区间，在每 个小区间上进行低次插值。以三个节点为例，公式为：2.2.2.2.选取节点：选取节点：选取节点：选取节点：设x xy y称为分段线性插值几何意义：几何意义：用折线代替曲线图图图图2 2 2 25 5 5 5 分段线性插值分段线性插值分段线性插值分段线性插值称为分段抛物插值，其节点的选取方法为：附：附：NewtonNewton型多项式插值型多项式插值且同样承袭性承袭性：为实数而且有：这样：称为k阶差商称为1阶差商定义：差商差商由归纳：此处用到差商的一个性质：（用归纳法易证）对称性：定义关键：找不同的元素相减作分母Newton插值构造1、先构造差商表例子例子2点Newto

20、n型插值2、利用差商表的最外一行，构造插值多项式 一些性质一些性质性质2误差性质3差商性质总结什么是样条什么是样条:是 指飞机或轮船等的制造过程中为描绘出光滑的外形曲线(放样)所用的工具样条本质上是一段一段的三次多项式拼合而成的曲线在拼接处,不仅函数是连续的,且一阶和二阶导数也是连续的1946年,Schoenberg将样条引入数学,即所谓的样条函数一、三次样条插值函数定义1.2.5 三次样条插值三次样条插值-(1)二、三次样条插值多项式-(2)-(3)-(4)少两个条件少两个条件并且我们不能只对插值函数在中间节点的状态进行限制也要对插值多项式在两端点的状态加以要求也就是所谓的边界条件:第一类(

21、一阶)边界条件:第二类(二阶)边界条件第三类(周期)边界条件-(5)-(6)-(7)加上任何一类边界条件(至少两个)后一般使用第一、二类边界条件,即-(8)或常用第二类边界条件-(9)加以整理后可得-(10)-(11)由条件由于以上两式相等,得-(12)(12)式称为基本方程组如果问题要求满足第一类(一阶)边界条件:-(5)-(5)基本方程组(12)化为n-1阶方程组-(13)即将(13)式化为矩阵形式-(14)这是一个三对角方程组如果问题要求满足第二类(二阶自然)边界条件:-(6)由(11)式,可知-(15)-(16)-(17)-(18)与基本方程组(12)联合,并化为矩阵形式,得-(19)(19)式与(14)一样,都是三对角方程组,并且都严格对角占优可以使用追赶法求解,并且解是唯一的对于问题要求满足第三类(周期)边界条件请同学们自己思考现在回到(10)式例1.对于给定的节点及函数值解:由(12)式可得由(19)式得基本方程组将上述结果代入(10)式课后练习：课后练习：