勒让德多项式及性质电子教案.ppt

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1、第三篇：特殊(tsh)函数第二章 勒让德多项式第一页，共53页。主要(zhyo)内容：勒让德多项式（轴对称问题）及性质连带勒让德函数（转动对称问题）球函数（一般问题）第二页，共53页。在分离在分离(fnl)变量法一章中，我们已经知道拉普拉斯方程变量法一章中，我们已经知道拉普拉斯方程在球坐标系下分离变量后得到在球坐标系下分离变量后得到(d do)欧拉型常微分方程欧拉型常微分方程和球谐函数方程和球谐函数方程(fngchng)第三页，共53页。第四页，共53页。同同样样(tngyng)若若记记 则则上述方程也可写上述方程也可写为为下列下列(xili)形式的形式的阶阶勒勒让让德方程德方程(fngchn

2、g)(fngchng)第五页，共53页。xyzr 第六页，共53页。21 勒让德多项式勒让德方程的求解勒让德多项式勒让德多项式的性质、母函数(hnsh)和递推公式勒让德多项式的应用第七页，共53页。第八页，共53页。第九页，共53页。一、勒让德方程(fngchng)的解：我我们们(w men)知道：在自然知道：在自然边边界条件下，勒界条件下，勒让让德方程的解德方程的解为为 式中式中 上式具有上式具有(jyu)多多项项式的形式，故称式的形式，故称为为阶阶勒让德多项式勒让德多项式勒勒让让德多德多项项式也称式也称为为第一类勒让德函数第一类勒让德函数第十页，共53页。二、二、勒让德多项式勒让德多项式（

3、注意（注意(zh y)到到1、前几个、前几个(j)勒让德多项式勒让德多项式:第十一页，共53页。勒让德多项式的图形可通过计算机仿真勒让德多项式的图形可通过计算机仿真(fn zhn)(如如MATLAB仿真仿真(fn zhn)得到得到 第十二页，共53页。2 2、勒让德多项式的微分、勒让德多项式的微分(wi fn)(wi fn)表示表示 上式通常上式通常(tngchng)又称为勒让德多项式的罗德里格斯又称为勒让德多项式的罗德里格斯（Rodrigues）表示式）表示式3 3、勒让德多项式的积分、勒让德多项式的积分(jfn)(jfn)表示表示根据柯西积分公式的高阶导数，并取正方向积分有根据柯西积分公式

4、的高阶导数，并取正方向积分有容易容易证证明微分表示也可表示明微分表示也可表示为环为环路路积积分形式分形式第十三页，共53页。为为平面平面(pngmin)上上围绕围绕并取正方向并取正方向这这叫作勒叫作勒让让德多德多项项式的施列夫利式的施列夫利积积分分(jfn)表示式表示式点的任一闭合点的任一闭合(b h)回路，回路，还还可以可以进进一步表一步表为为下述下述拉普拉斯积分拉普拉斯积分第十四页，共53页。22 勒让德多项式的性质(xngzh)第十五页，共53页。奇偶性：奇偶性：根据勒根据勒让让德多德多项项式的定式的定义义(dngy)式，作代式，作代换换容易容易(rngy)得到得到即当即当为为偶数偶数(

5、u sh)时时，勒，勒让让德多德多项项式式 为为偶函数，偶函数，为为奇数奇数时时为为奇函数奇函数 式中式中记记号号 而而因此因此，第十六页，共53页。一、勒让德多项式的正交关系两式称为两式称为(chn wi)正交性正交性第十七页，共53页。代入代入的微分的微分(wi fn)式得：式得：模模为为：二、勒让德多项式的模：第十八页，共53页。三、广义(gungy)傅立叶级数 由前面的分析可以(ky)看出，勒让德多项式为为本征函数族，（本征函数族，（可以可以(ky)作为广义傅立叶级数的基。作为广义傅立叶级数的基。若函数若函数定定义义在区在区间间上，或上，或定定义义在区在区间间上，上，则则或或）是正交的

6、、完备的。是正交的、完备的。第十九页，共53页。其中其中(qzhng)系数：系数：或或第二十页，共53页。例例题题一：以勒一：以勒让让德多德多项项式式为为基本基本(jbn)函数族，将函数函数族，将函数在区在区间间(q jin)(q jin)（-1-1，+1+1）上）上进进行广行广义义傅立叶展开。傅立叶展开。第二十一页，共53页。另一解法另一解法(ji f)：推广推广(tugung)：第二十二页，共53页。例例题题2 2、以勒、以勒让让德多德多项项式式为为基本基本(jbn)(jbn)函数族，将函数函数族，将函数在区在区间间（-1-1，+1+1）上）上进进行行(jnxng)(jnxng)广广义义傅

7、立叶展开。傅立叶展开。4 第二十三页，共53页。四、解方程：要选取四、解方程：要选取(xunq)对称轴为球坐标的极轴，对称轴为球坐标的极轴，例例题题(lt)3(lt)3、在球、在球的内部的内部(nib),(nib),求解求解u=0,u=0,使得使得满满足足边边界条件界条件解：解：m=0m=0 通解通解为为：有限有限值值 通解通解为为 第二十四页，共53页。第二十五页，共53页。例例题题(lt)4(lt)4：半径：半径为为的半球，其球面的半球，其球面(qimin)(qimin)上温度上温度为为，底面，底面绝热绝热，试试求求这这个个(zh ge)(zh ge)半球里的半球里的稳稳定温度分布。定温度

8、分布。选选取球心取球心为为极点，极点，Z Z轴为轴为极极轴轴，Z Z轴为对轴为对称称轴轴，无关。无关。ZXYO第二十六页，共53页。对定解问题解析延拓到整个对定解问题解析延拓到整个(zhngg)球形区域球形区域 x=0 x=0上满足第二类边界条件，是关于上满足第二类边界条件，是关于(guny)Z(guny)Z轴对称的。所以边界条件应进行偶延拓。轴对称的。所以边界条件应进行偶延拓。或或第二十七页，共53页。通解通解(tngji)(tngji)为为：对对于于(duy)球的内部：球的内部：代入代入边边界条件得：界条件得：展开展开(zhn ki)(zhn ki)为为广广义义傅立叶傅立叶级级数。数。第二

9、十八页，共53页。可以可以(ky)(ky)导导出：出：比比较较(bjio)(bjio)系数得：系数得：第二十九页，共53页。例例题题5 5、在匀、在匀强强电场电场中，放入一均匀介中，放入一均匀介质质(jizh)(jizh)球（原来不球（原来不带电带电），），场场强强为为，球的半径，球的半径(bnjng)为为，介，介电电常数常数(ji din chn sh)为为，试试求解介求解介质质球内外的球内外的场场强强。解：解：选选取球心取球心为为极点，极点，极点，平行于极点，平行于即：即：Z Z轴为对轴为对称称轴轴，由于介由于介质质球的极化，球面上球的极化，球面上产产生了束生了束缚电缚电荷。荷。的直线为的

10、直线为Z Z轴。轴。无关。无关。场场强强在球面上不在球面上不连续连续。在球面上无意在球面上无意义义。所以，球内外所以，球内外电势电势要通要通过衔过衔接条件接条件连连接。接。第三十页，共53页。1 1、设设球内球内电势电势(dinsh)(dinsh)为为：，满满足足(mnz)(mnz)：2 2、设设球外球外电势电势(dinsh)(dinsh)为为：，满满足：足：第三十一页，共53页。比比较较(bjio)系数得：系数得：第三十二页，共53页。3 3、衔衔接条件：接条件：电势电势(dinsh)(dinsh)在球面上在球面上连续连续。电电位移矢量位移矢量(shling)(shling)的法向分量在球面

11、(qimin)上连续 4 4、解方程：代入衔接条件：、解方程：代入衔接条件：第三十三页，共53页。比比较较(bjio)(bjio)系数得：系数得：第三十四页，共53页。解出：解出：其中其中(qzhng)(qzhng)与零与零电势电势(dinsh)(dinsh)的的选选取有关。取有关。第三十五页，共53页。5 5、求、求场场强强：球内球内场场强强：可以看出，球内可以看出，球内场场强强沿原方向沿原方向(fngxing)(fngxing)也是匀也是匀强强电场电场。只是。只是场场强强削弱了。削弱了。一般一般(ybn)(ybn)情况情况 球内极化(j hu)强度：为为常数，所以，球的极化是均匀的。常数，

12、所以，球的极化是均匀的。球外球外场场强强：为为匀匀强强电场电场。第三十六页，共53页。五、母函数五、母函数(hnsh)1 1、定、定义义：设设在在单单位球北极位球北极(bij)(bij)放置正放置正电电荷荷，求球内外，求球内外(niwi)任意点任意点解：解：取球心取球心为为极点，极点，Z Z轴为轴为极极轴轴。球内外任一点的球内外任一点的电势电势关于关于Z Z轴对轴对称。称。球内外球内外电势满电势满足：足：（无源（无源场场）无关。无关。的电势。的电势。xyz通解通解为为：第三十七页，共53页。球内球内电势电势(dinsh)(dinsh)：第三十八页，共53页。取球内任一点取球内任一点(y din

13、)(y din)：则M点的电势(dinsh)为：，它到电荷，它到电荷(dinh)(dinh)的距离为的距离为d d，第三十九页，共53页。其中其中(qzhng)：叫叫的母函数的母函数(hnsh)(hnsh)。第四十页，共53页。球外球外电势电势(dinsh)(dinsh)：第四十一页，共53页。对对于于(duy)(duy)任一点：任一点：第四十二页，共53页。母函数母函数(hnsh)(hnsh)：对对于于(duy)(duy)半径半径为为R R的球，母函数的球，母函数为为：第四十三页，共53页。2 2、应应用用(yngyng)(yngyng)在点正在点正电电荷荷放置接地的放置接地的导导体球，球的

14、半径体球，球的半径为为a a，球心球心(qixn)(qixn)与与电电荷相距荷相距为为，求解，求解(qi ji)(qi ji)静静电场电场。的电场中，的电场中，解：取球心解：取球心O O为为极点，极极点，极轴轴通通过过点点电电荷，荷，电势满电势满足：足：（无源（无源场场）无关。通解无关。通解为为：第四十四页，共53页。无无导导体球体球时时：任一点：任一点(y din)(y din)电势为电势为：由于由于导导体的存在，体的存在，导导体球上体球上产产生静生静电电感感应应(jngdin gnyng)(jngdin gnyng)电电荷，荷，它引起的它引起的电势变电势变化化为为第四十五页，共53页。对对

15、于于(duy)(duy)定解定解问题问题：第四十六页，共53页。代入代入边边界界(binji)(binji)：引入母函数引入母函数(hnsh)(hnsh)：时时第四十七页，共53页。比比较较(bjio)(bjio)系数得：系数得：其中其中(qzhng)：第四十八页，共53页。按照母函数按照母函数(hnsh)(hnsh)的定的定义义：物理物理(wl)(wl)意意义义：相当于某个相当于某个(mu)(mu)点点电电荷荷 电场电场中的静中的静电势电势。位置在极。位置在极轴轴上，距球心的距离上，距球心的距离为为。因。因为为所以所以 即，点即，点电电荷在球内。荷在球内。第四十九页，共53页。结论结论(ji

16、ln)：导体球外的静电场，好像似存在一个点电荷，：导体球外的静电场，好像似存在一个点电荷，叫原来那个点电荷的电像。叫原来那个点电荷的电像。利用利用(lyng)(lyng)母函数母函数求：求：球内：球内：两两边边(lingbin)(lingbin)求求导导得：得：第五十页，共53页。同理可得：同理可得：六、利用母函数六、利用母函数(hnsh)推出勒让德多项式的递推公式。推出勒让德多项式的递推公式。由母函数(hnsh)的定义：两两边边(lingbin)(lingbin)对对r r求求导导：第五十一页，共53页。两两边边(lingbin)(lingbin)乘以：乘以：得：得：由母函数由母函数(hnsh)(hnsh)的定的定义义：两两边边(lingbi(lingbin)n)取取项项的系数得：的系数得：第五十二页，共53页。小小结结(xioji)(xioji)：归纳归纳母函数的定母函数的定义义及及应应用用第五十三页，共53页。