天津大学数学基础杜纲第一章矩阵理论电子教案.ppt

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1、第一章 矩阵(j zhn)理论(Matrix Theory)第一节 线性变换及其矩阵(j zhn)表示 一、线性空间与线性变换一、线性空间与线性变换 1 1、线性空间及其基组、线性空间及其基组 空间：赋予了某种数学结构的非空集合，记为空间：赋予了某种数学结构的非空集合，记为X X。其。其 中的中的“数学结构数学结构”可为定义了元素间的运算、可为定义了元素间的运算、距距 离。集合离。集合X Xx|xx|x满足的条件满足的条件。封闭：封闭：X X中任元素经某运算后的结果仍属于中任元素经某运算后的结果仍属于(sh(sh y)Xy)X，则称，则称 X X对该运算封闭。（如：实数集对该运算封闭。（如：实

2、数集R R，任，任x1x1、x2 x2R R，x1+x2x1+x2R R，称，称R R对加法封闭。实际上对加法封闭。实际上R R 对乘法也封闭。）对乘法也封闭。）不封闭的例子如图：不封闭的例子如图：第一页，共88页。线性空间：即赋予了线性运算的非空集合。具体定义线性空间：即赋予了线性运算的非空集合。具体定义(dngy)(dngy)为：为：设设X X是一个非空集合，是一个非空集合，K K是数域（是数域（K K为实数域为实数域R R或复数域或复数域C C），若定义），若定义(dngy)X(dngy)X中二元素之间的加法运算以及数域中二元素之间的加法运算以及数域K K中的数与中的数与X X中元素之间

3、的数乘运算，并满足中元素之间的数乘运算，并满足下列条件：下列条件：加法运算加法运算“+”“+”满足：对任意满足：对任意x x、y yX X，x+yx+yX X，且，且 (1)(1)交换律：交换律：x+y=y+xx+y=y+x；(2)(2)结合律：对任意结合律：对任意z zX X，(x+y)+z=x+(y+z)(x+y)+z=x+(y+z)；(3)(3)有零元：存在有零元：存在0 0X X，使得对一切，使得对一切x xX X，有，有x+0=xx+0=x（0 0称称X X的零元素）；的零元素）；(4)(4)有负元：对任意有负元：对任意 x xX X，存在，存在y yX X，使，使x+y=0 x+y

4、=0（y y称为称为x x的负元素）。的负元素）。第二页，共88页。n n数乘运算“”满足：对任意(rny)K，xX，xX，且n n (1)对任意(rny)的K，(x)=()x；n n (2)1 x=x；n n (3)对任意(rny)的y X，(x+y)=x+y；n n (4)对任意(rny)的K，(+)x x+x。n n 则称X为数域K上的线性空间。当K是实数域R时，X称实线性空间；当K是复数域C时，X称复线性空间。X上的加法运算和数乘运算统称为线性运算。第三页，共88页。第四页，共88页。第五页，共88页。第六页，共88页。第七页，共88页。第八页，共88页。第九页，共88页。第十页，共8

5、8页。第十一页，共88页。二、方阵(fn zhn)的特征值与特征向量第十二页，共88页。第十三页，共88页。第十四页，共88页。第十五页，共88页。第十六页，共88页。第十七页，共88页。三、相似矩阵及其性质(xngzh)第十八页，共88页。第十九页，共88页。第二十页，共88页。第二节第二节 方阵在相似变换方阵在相似变换(binhun)下的下的标准形标准形第二十一页，共88页。第二十二页，共88页。第二十三页，共88页。第二十四页，共88页。第二十五页，共88页。第二十六页，共88页。第二十七页，共88页。第二十八页，共88页。第二十九页，共88页。第三十页，共88页。第三十一页，共88页。

6、第三十二页，共88页。第三十三页，共88页。第三十四页，共88页。第三十五页，共88页。第三十六页，共88页。第三十七页，共88页。第三十八页，共88页。第三十九页，共88页。第四十页，共88页。第四十一页，共88页。第四十二页，共88页。第四十三页，共88页。第三节第三节 方阵方阵(fn zhn)特征值的估特征值的估计计第四十四页，共88页。第四十五页，共88页。第四十六页，共88页。第四十七页，共88页。第四十八页，共88页。第四十九页，共88页。第五十页，共88页。第五十一页，共88页。第五十二页，共88页。第五十三页，共88页。第五十四页，共88页。第五十五页，共88页。第五十六页，共

7、88页。第五十七页，共88页。第五十八页，共88页。第五十九页，共88页。第六十页，共88页。第六十一页，共88页。第四节第四节 矩阵矩阵(j zhn)分析分析第六十二页，共88页。第六十三页，共88页。第六十四页，共88页。第六十五页，共88页。第六十六页，共88页。第六十七页，共88页。第六十八页，共88页。第六十九页，共88页。第七十页，共88页。第七十一页，共88页。第七十二页，共88页。第七十三页，共88页。第七十四页，共88页。第七十五页，共88页。第七十六页，共88页。第七十七页，共88页。第七十八页，共88页。第七十九页，共88页。第八十页，共88页。第八十一页，共88页。第八十二页，共88页。第五节第五节 应用应用(yngyng)举例举例第八十三页，共88页。第八十四页，共88页。第八十五页，共88页。第八十六页，共88页。第八十七页，共88页。第八十八页，共88页。