电磁场与电磁波-第3章要点ppt课件.ppt

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1、电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章第三章静电场的边值问题静电场的边值问题经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用第二章回顾第二章回顾v真空和介质中静电场方程（微分、积分形式）；真空和介质中静电场方程（微分、积分形式）；v已知电荷分布求解电场强度（高斯定律、分布电已知电荷分布求解电场强度（高斯定律、分布电荷叠加原理、电位负梯度）；荷叠加原理、电位负梯度）；v电介质特性（均匀、线性、各向同性等）；电介质特性（均匀、线性、各向同性等）；v边界条件（无条件与有条件）；边界条件（无条件与有条件）；v静电场能量（孤立

2、带电体、分布电荷、能量密度）；静电场能量（孤立带电体、分布电荷、能量密度）；v电场力（电场力（库仑定律、虚位移法库仑定律、虚位移法常电荷系统、常电荷系统、常电位系统）。常电位系统）。经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用第三章第三章 静电场边值问题静电场边值问题主要内容：主要内容：v电位微分方程电位微分方程v镜像法镜像法v分离变量法分离变量法方法的一般性方法的一般性经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用静电场问题

3、的求解静电场问题的求解v静电场问题的求解方法：静电场问题的求解方法：已知电荷分布求电位、电场已知电荷分布求电位、电场 高斯定律、叠加原理高斯定律、叠加原理 已知各导体电位分布或各导体表面的电荷面已知各导体电位分布或各导体表面的电荷面密度求电位、电场密度求电位、电场 电位微分方程电位微分方程经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用电位微分方程电位微分方程v电位微分方程：电位微分方程：因因 两边取散度，得两边取散度，得 对于对于均匀线性各向同性介质均匀线性各向同性介质，有，有 故故 泊松泊松 对于局部对于局部

4、无源区无源区 拉氏拉氏 将物理问题根据固有的规律数学化，即建立数将物理问题根据固有的规律数学化，即建立数学模型。学模型。经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用电位微分方程电位微分方程v电位微分方程电位微分方程在自由空间的特解在自由空间的特解 应用格林函数应用格林函数 ，即可求出泊松方程的通解，即可求出泊松方程的通解为为 式中格林函数式中格林函数 自由空间自由空间S 表面无限远，面积分为零。表面无限远，面积分为零。若若 V 为为无源区无源区体积分为零。体积分为零。推推论论：面面积积分分可可视视为为泊泊松松

5、方方程程在在无无源源区区中中的的解解，或或者拉普拉斯方程以格林函数表示的积分解。者拉普拉斯方程以格林函数表示的积分解。经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用电位微分方程解的惟一性电位微分方程解的惟一性v存在存在客观存在客观存在 稳定稳定数学方法已证明数学方法已证明 惟一惟一反证法（惟一：只有一个，仅仅一个）反证法（惟一：只有一个，仅仅一个）v静电场惟一性定理：静电场惟一性定理：对于对于导体边界（并不仅限于此）导体边界（并不仅限于此）的静电场问题，当边界上的电位，或电位的法向导的静电场问题，当边界上的电位

6、，或电位的法向导数，或导体表面电荷分布给定时，空间的静电场即数，或导体表面电荷分布给定时，空间的静电场即被惟一地确定。被惟一地确定。v电位的法向导数与导体表面电荷密度的关系电位的法向导数与导体表面电荷密度的关系经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用边值问题边值问题v惟一性表明：若某一区域内带电体的几何形惟一性表明：若某一区域内带电体的几何形状、尺寸和位置都已固定，且所有边界给定状、尺寸和位置都已固定，且所有边界给定场值不变，则该区域中的电位分布确定。场值不变，则该区域中的电位分布确定。不问解是如何求得的

7、，只要满足了给定不问解是如何求得的，只要满足了给定边值，则泊松和拉氏方程的解就是独一无二边值，则泊松和拉氏方程的解就是独一无二的。（的。（边值问题边值问题）经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用边值问题的类型边值问题的类型v定解条件：定解条件：初始条件和初始条件和边值条件边值条件 静电场无初始条件，只需根据给定的静电场无初始条件，只需根据给定的边值条件边值条件（边界上的场值边界上的场值），求解空间任一点的），求解空间任一点的电位电位。边值条件边值条件有三种类型有三种类型 第一类第一类给定给定边界上的物理

8、量边界上的物理量（狄利克雷问题）。（狄利克雷问题）。第二类第二类给定给定边界上物理量的法向导数值边界上物理量的法向导数值（诺依曼（诺依曼问题）。问题）。第三类第三类给定给定一部分边界上的物理量及另一部分边一部分边界上的物理量及另一部分边界上物理量的法向导数值界上物理量的法向导数值（混合边（混合边值值条件）。条件）。经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用镜像法镜像法v实质实质：是以一个或几个是以一个或几个等效电荷等效电荷代替边界的影响，代替边界的影响，将原来具有边界的将原来具有边界的非均匀空间非均匀空间变

9、成无限大的变成无限大的均匀自均匀自由空间由空间，从而简化电位分布的计算。，从而简化电位分布的计算。v依据依据：惟一性定理。等效电荷的引入必须维持原来：惟一性定理。等效电荷的引入必须维持原来的的边值条件边值条件不变不变，从而保证原来区域中静电场没有，从而保证原来区域中静电场没有改变，这是确定等效电荷的大小及其位置的依据。改变，这是确定等效电荷的大小及其位置的依据。这些等效电荷通常处于镜像位置，因此称为镜像电这些等效电荷通常处于镜像位置，因此称为镜像电荷，而这种方法称为荷，而这种方法称为镜像法镜像法。经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费

10、者购买商品的价款或接受服务的费用镜像法镜像法v关键关键：确定镜像电荷的大小及其位置。：确定镜像电荷的大小及其位置。v局限性局限性：仅仅对于某些特殊的边界以及特：仅仅对于某些特殊的边界以及特殊分布的电荷才有可能确定其镜像电荷。殊分布的电荷才有可能确定其镜像电荷。v使用范围使用范围：1 1、界面几何形状较规范；、界面几何形状较规范；2 2、电荷个数有限，且离散分布于有限区、电荷个数有限，且离散分布于有限区域。域。经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用镜像法镜像法v典型模型：典型模型：（1 1）点（线）电荷）

11、点（线）电荷(半半)无限大导体平面无限大导体平面（2 2）点电荷导体球（接地与不接地）点电荷导体球（接地与不接地）（3 3）线电荷无限长导体圆柱）线电荷无限长导体圆柱（4 4）点电荷无限大介质平面）点电荷无限大介质平面经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用镜像法镜像法v 点电荷与无限大的导体平面点电荷与无限大的导体平面 以一个处于镜像位置的点电荷代替边界的影以一个处于镜像位置的点电荷代替边界的影响，使整个空间变成均匀的响，使整个空间变成均匀的介电常数为介电常数为 的空间，的空间，则空间任一点则空间任一点

12、 P 的电位由的电位由 q 及及 q共同共同产生，即产生，即 介质 导体 q r P 介质 q r P hh 介质 考虑到无限大导体平面的电位为零，求得考虑到无限大导体平面的电位为零，求得经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用镜像法镜像法v当点电荷当点电荷q 位于无限大的导体平面附近时，导体表位于无限大的导体平面附近时，导体表面将产生异性的面将产生异性的感应电荷感应电荷上半空间的电场取决上半空间的电场取决于原先的点电荷及导体表面上的感应电荷。于原先的点电荷及导体表面上的感应电荷。v上述镜像法的上述镜像法

13、的实质实质是以一个异性的镜像点电荷代替是以一个异性的镜像点电荷代替导体表面上异性的感应电荷的作用。根据电荷守恒导体表面上异性的感应电荷的作用。根据电荷守恒原理，镜像点电荷的电量应该等于这些感应电荷的原理，镜像点电荷的电量应该等于这些感应电荷的总电量。总电量。v半空间等效：上述等效性仅对于导体平面的上半空半空间等效：上述等效性仅对于导体平面的上半空间成立，因为在上半空间中，间成立，因为在上半空间中，源及源及边值条件边值条件未变。未变。经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用镜像法镜像法v点电荷与半无限大的导

14、体平面点电荷与半无限大的导体平面 仅仅当当这这种种导导体体劈劈的的夹夹角角等等于于 的的整整数数分分之之一一时时，才才可可求求出出其其镜镜像像电电荷荷。为为了了保保证证这这种种劈劈形形边边界界的的电电位位为为零零，必必须须引引入入几几个个镜镜像像电电荷荷。例例如如，夹角为夹角为 的导电劈需引入的导电劈需引入 5 5 个镜像电荷。个镜像电荷。/3qq/3经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用 若导体球接地，导体球若导体球接地，导体球的电位为零。为了等效导的电位为零。为了等效导体球边界的影响，令镜像体球边界

15、的影响，令镜像点电荷点电荷q位于球心与点电位于球心与点电荷荷 q 的连线上。则球面上的连线上。则球面上任一点电位为任一点电位为 镜像法镜像法v点电荷与导体球点电荷与导体球fqo为保证球面上任一点电位为零，必须有为保证球面上任一点电位为零，必须有Padrq经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用 为为了了使使镜镜像像电电荷荷具具有有一一个个确确定定的的值值，必必须须要要求求比比值值 对对于于球球面面上上任任一一点点为为常常数数。可可见见，若若要要求求 三三 角角 形形 OPq 与与 OqP 相相 似似，则则

16、 常数。由此获知镜像电荷应为常数。由此获知镜像电荷应为镜像法镜像法镜像电荷离球心的距离镜像电荷离球心的距离d 应为应为 根据根据 q 及及 q 即可计算球外空间任一点的电场强即可计算球外空间任一点的电场强度，度，镜像电荷镜像电荷 q 可视为代替导体球面上负值感应可视为代替导体球面上负值感应电荷的作用电荷的作用。fqOPadrqPadrq经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用镜像法镜像法 若导体球不接地，若导体球不接地，位于点电荷一侧的导体球位于点电荷一侧的导体球表面上的感应电荷为负值，而另一侧表面上的感

17、表面上的感应电荷为负值，而另一侧表面上的感应电荷为正值。导体球表面上总的感应电荷应为应电荷为正值。导体球表面上总的感应电荷应为零值。零值。必须再引入一个镜像电荷必须再引入一个镜像电荷q“代替导体球面代替导体球面上正值感应电荷的作用上正值感应电荷的作用，故有，故有 此时此时导体导体球具有电位，镜像球具有电位，镜像电荷电荷q“必须必须位于位于球心。球心。经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用镜像法镜像法线电荷与带电的导体圆柱线电荷与带电的导体圆柱 在圆柱轴线与线电荷之间，离轴线的距离在圆柱轴线与线电荷之间，

18、离轴线的距离d 处，平行放置一根镜像电荷处，平行放置一根镜像电荷 。已知无限长。已知无限长线电荷产生的电场强度为线电荷产生的电场强度为 因此，离线电荷因此，离线电荷r 处，以处，以 为参考点的电位为为参考点的电位为 lPafdr-lO经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用镜像法镜像法 若若令令镜镜像像线线电电荷荷 产产生生的的电电位位也也取取相相同同的的 作作为为参参考考点点，则则 及及 在在圆圆柱柱面面上上 P 点点共共同产生的电位为同产生的电位为 已知导体圆柱是一个等位体，因此，为了已知导体圆柱是一

19、个等位体，因此，为了满足这个边界条件，必须要求比值满足这个边界条件，必须要求比值 为常数。为常数。与前同理，可令与前同理，可令 ，由此得，由此得 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用镜像法镜像法v点电荷与无限大的介质平面点电荷与无限大的介质平面E 1 1qr0EEtEnq 2 2qE 1 2qeten 为了求解上半空间的场可用镜像电荷为了求解上半空间的场可用镜像电荷 q 等效边等效边界上束缚电荷的作用，将整个空间变为介电常数界上束缚电荷的作用，将整个空间变为介电常数为为1 的均匀空间。对于下半空间，可

20、用位于原点的均匀空间。对于下半空间，可用位于原点电荷处的电荷处的q 等效原来的点电荷等效原来的点电荷q 与边界上束缚电荷与边界上束缚电荷的共同作用的共同作用，将整个空间变为介电常数为，将整个空间变为介电常数为2 的均的均匀空间。匀空间。=+经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用镜像法镜像法已知各个点电荷产生的电场强度分别为已知各个点电荷产生的电场强度分别为代入上述边界条件，求得镜像电荷如下：代入上述边界条件，求得镜像电荷如下：由边界条件，即电场切向分量保持连续，电位由边界条件，即电场切向分量保持连续，电

21、位移的法向分量应该相等，即移的法向分量应该相等，即 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用回顾回顾v静电场问题的求解方法：静电场问题的求解方法：1 1、高斯定律、叠加原理高斯定律、叠加原理（已知电荷分布求电位、（已知电荷分布求电位、电场）电场）2 2、电位微分方程电位微分方程+边值条件边值条件（边值问题）（边值问题）v电位微分方程：数学模型电位微分方程：数学模型泊松方程泊松方程/拉氏方程拉氏方程是其在均匀线性各向同性介质中的特殊形式。是其在均匀线性各向同性介质中的特殊形式。v方法基础：静电场惟一性定理方

22、法基础：静电场惟一性定理v边值问题的求解方法边值问题的求解方法经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用回顾回顾v边值问题求解方法之一边值问题求解方法之一镜像法镜像法v镜像法镜像法依据：依据：惟一性定理惟一性定理v镜像法：引入镜像电荷替代边界影响，镜像法：引入镜像电荷替代边界影响，将边将边值问题（非均匀空间）转化为已知分布电荷值问题（非均匀空间）转化为已知分布电荷求解均匀空间的场。求解均匀空间的场。v镜像法镜像法适用范围适用范围：规范边界和特殊分布电荷：规范边界和特殊分布电荷经营者提供商品或者服务有欺诈行为

23、的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用回顾回顾v镜像法镜像法典型模型：典型模型：（1 1）点）点/线电荷线电荷(半半)无限大导体平面无限大导体平面（2 2）点电荷导体球）点电荷导体球（3 3）线电荷无限长导体圆柱）线电荷无限长导体圆柱（4 4）点电荷无限大介质平面）点电荷无限大介质平面经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用本讲内容本讲内容v例题例题进行镜像法典型问题分析进行镜像法典型问题分析v分离变量法分离变量法v例题例题直角坐标系下的分离变量

24、求解过程直角坐标系下的分离变量求解过程经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用qba 例例 半径为半径为 a 的不接地导的不接地导体球中含有半径为体球中含有半径为 b 的的球球形空腔。导体外放置一电形空腔。导体外放置一电荷量荷量为为 q 的点电荷，空腔的点电荷，空腔中距离腔心中距离腔心 d1 处放置一电处放置一电荷量为荷量为 q的点电荷，的点电荷，q、q与球心共线，如图所示。与球心共线，如图所示。求腔中及求腔中及导体球外任一点导体球外任一点场强。场强。qba q d1d2 解解 1、腔中场强。先考虑无、腔

25、中场强。先考虑无 q点电荷时的情形。点电荷时的情形。镜像法镜像法导体球内部场强为零（静电屏蔽）导体球内部场强为零（静电屏蔽）腔中场强为零腔中场强为零经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用腔外引入镜像电荷腔外引入镜像电荷q代替代替边界的影响，边界的影响，为为保证球面上任一点电保证球面上任一点电位相等，必须有位相等，必须有OO d1d2 有有 q点电荷时，由导体内部场强为零可知，腔点电荷时，由导体内部场强为零可知，腔中电场由中电场由q和内壁上与和内壁上与q异号的感应电荷共同产生，异号的感应电荷共同产生，与与

26、q同号的感应电荷移至导体球外表面。同号的感应电荷移至导体球外表面。镜像法镜像法Db qqPrr 腔内场强由两个电荷共同产生：腔内场强由两个电荷共同产生：经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用 2、球外场强。、球外场强。qba q d1d2 点电荷与导体球组成的点电荷与导体球组成的边值问题。边值问题。引入镜像电荷引入镜像电荷q及使导及使导体外表面任一点电位相体外表面任一点电位相等；等；q0为导体球提供一定为导体球提供一定的电位。的电位。d3q0 qPfrOr镜像法镜像法 由电荷守恒：由电荷守恒：球外场强由

27、三个电荷共同产生：球外场强由三个电荷共同产生：经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用镜像法小结镜像法小结v依据依据：惟一性定理：惟一性定理不问解是如何求得的，只要不问解是如何求得的，只要满足了给定边值，则泊松和拉氏方程的解惟一的。满足了给定边值，则泊松和拉氏方程的解惟一的。v步骤步骤：1 1、分析边界情况；、分析边界情况；2 2、确定镜像电荷的大小和位置；、确定镜像电荷的大小和位置；3 3、去掉边界，按原电荷和镜像电荷求解原区域场。、去掉边界，按原电荷和镜像电荷求解原区域场。v局限性局限性：规范边界：规

28、范边界经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用分离变量法分离变量法v直接求解直接求解：分离变量法是将原先的三维偏微：分离变量法是将原先的三维偏微分方程通过变量分离简化为三个独立的常微分方程通过变量分离简化为三个独立的常微分方程，从而使求解过程比较简便。分方程，从而使求解过程比较简便。v根据给定的边界条件选择适当的根据给定的边界条件选择适当的坐标系坐标系非常非常重要。对于平面边界、圆柱边界及圆球边界重要。对于平面边界、圆柱边界及圆球边界分别选用直角坐标系、圆柱坐标系及球坐标分别选用直角坐标系、圆柱坐标系及球

29、坐标系较为方便。系较为方便。经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用直角坐标系中的分离变量法直角坐标系中的分离变量法v无源区中电位满足的拉普拉斯方程在直角坐无源区中电位满足的拉普拉斯方程在直角坐标系中的展开式为标系中的展开式为 令令 代入上式，两边再除以代入上式，两边再除以 X(x)Y(y)Z(z)，得，得经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用直角坐标系中的分离变量法直角坐标系中的分离变量法v令各项的分离常数分别为

30、令各项的分离常数分别为 ，分别求得，分别求得 分离常数可以是实数或虚数。三个分离常数满足分离常数可以是实数或虚数。三个分离常数满足下列方程下列方程或者或者 式中式中A,B,C,D为待定常数。为待定常数。其通解形式其通解形式经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用直角坐标系中的分离变量法直角坐标系中的分离变量法v含变量含变量 x 或或 y 的常微分方程的解具有完全相同的的常微分方程的解具有完全相同的形式。这些解的形式。这些解的线性组合线性组合仍然是方程的解，解中各仍然是方程的解，解中各待定常数取决于给定的边

31、界条件。待定常数取决于给定的边界条件。例例 两个相互平行的半无两个相互平行的半无限大接地导体平面，间距限大接地导体平面，间距为为 d ，其有限端被电位，其有限端被电位为为 0 的导电平面封闭，的导电平面封闭，且与无限大接地导体平面且与无限大接地导体平面绝缘，试求三个导体平面绝缘，试求三个导体平面形成的槽中电位分布。形成的槽中电位分布。Odxy=0=0=0经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用直角坐标系中的分离变量法直角坐标系中的分离变量法解解 选取直角坐标系。由于导电平面沿选取直角坐标系。由于导电平面沿

32、 z 轴无限延轴无限延伸，槽中电位分布函数一定与伸，槽中电位分布函数一定与 z 无关，因此，这是无关，因此，这是一个二维场的问题。电位所满足的拉普拉斯方程变一个二维场的问题。电位所满足的拉普拉斯方程变为为 Odxy=0=0=0令令槽中电位满足的边值条件为槽中电位满足的边值条件为经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用直角坐标系中的分离变量法直角坐标系中的分离变量法选取选取 Y(y)的解为的解为 当y=0 时，电位时，电位 =0，因此，因此B=0。为满足边界条。为满足边界条件件 ，分离常数，分离常数 ky

33、应为应为 故故已知已知 ，求得，求得可见，分离可见，分离常数常数 kx 为虚数，故为虚数，故 X(x)的解应为的解应为Odxy=0=0 0经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用直角坐标系中的分离变量法直角坐标系中的分离变量法则则式中式中 C=AD。因因 x 时，时，电位电位 =0，故故 C=0，即，即Odxy=0=0 0由边值条件，当由边值条件，当 x=0 时，电位时，电位 =0，得，得 此此式式不不能能满满足足给给定定的的边边界界条条件件。因因此此，必必须须取取其其不同不同 n 值时的线性组合作为电位

34、方程的解，即值时的线性组合作为电位方程的解，即经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用直角坐标系中的分离变量法直角坐标系中的分离变量法为满足为满足 x=0，=0 ，有，有上式右端为傅里叶级数。利用傅里叶级数的正交性，上式右端为傅里叶级数。利用傅里叶级数的正交性，可以求出系数可以求出系数 Cn 为为最后求得槽中电位分布函数为最后求得槽中电位分布函数为 0dxy=0=0=0电场线等位面经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的

35、费用圆柱坐标系中的分离变量法圆柱坐标系中的分离变量法电位微分方程在圆柱坐标系中的展开式为电位微分方程在圆柱坐标系中的展开式为电位微分方程的通解通常取为下列线性组合电位微分方程的通解通常取为下列线性组合经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用球坐标系中的分离变量法球坐标系中的分离变量法v电位微分方程在球坐标系中的展开式为电位微分方程在球坐标系中的展开式为v电位微分方程的通解通常取为下列线性组合电位微分方程的通解通常取为下列线性组合经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，

36、增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用分离变量法小结分离变量法小结解题步骤：解题步骤：v分析问题类型：边界形状特点分析问题类型：边界形状特点v建立坐标系建立坐标系v写出方程写出方程v分离变量分离变量v根据边值条件求解根据边值条件求解经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用边值问题的求解方法边值问题的求解方法v直接求解法：直接积分法、格林函数法、直接求解法：直接积分法、格林函数法、分分离变量法离变量法等等v间接求解法（特殊边界）：间接求解法（特殊边界）：镜像法镜像法、保角变、保角变换法等换法等v数值计算法（复杂边界）：有限差分法、有数值计算法（复杂边界）：有限差分法、有限元法、矩量法等限元法、矩量法等边值问题方法的一般性。边值问题方法的一般性。经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用第三章作业第三章作业v37v314v319v327下周五交下周五交经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用下一讲下一讲v恒定电流场恒定电流场