方向导数与梯度黑塞矩阵与泰勒公式ppt课件.ppt

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1、经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用第十章第十章 多元函数的导数及其应用多元函数的导数及其应用 10.1 10.1 多元函数的极限与连续多元函数的极限与连续多元函数的极限与连续多元函数的极限与连续 10.2 10.2 偏导数与全微分偏导数与全微分偏导数与全微分偏导数与全微分 10.3 10.3 多元复合函数与隐函数的偏导数多元复合函数与隐函数的偏导数多元复合函数与隐函数的偏导数多元复合函数与隐函数的偏导数 10.4 10.4 方向导数、梯度及泰勒公式方向导数、梯度及泰勒公式方向导数、梯度及泰勒公式方向

2、导数、梯度及泰勒公式 10.5 10.5 多元函数的极值与条件极值多元函数的极值与条件极值多元函数的极值与条件极值多元函数的极值与条件极值经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用10.4 方向导数与梯度及泰勒公式方向导数与梯度及泰勒公式 10.4.1 方向导数与梯度方向导数与梯度内容小结与作业内容小结与作业10.4.2 方向导数与梯度的性质及应用方向导数与梯度的性质及应用10.4.3 黑塞矩阵与泰勒公式黑塞矩阵与泰勒公式Dept.Math.&Sys.Sci.Dept.Math.&Sys.Sci.应用数学教

3、研室应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学A2A2班教学课件班教学课件班教学课件班教学课件经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用10.4.1 方向导数与梯度方向导数与梯度1.1.方向导数的概念方向导数的概念偏导数反映的是多元函数沿坐标轴方向的变化率.对于二元函数 有在几何上，它们分别表示平面曲线 及在点 处的切线的斜率.Dept.Math.&Sys.Sci.Dept.Math.&Sys.Sci.应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室

4、应用数学教研室高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学A2A2班教学课件班教学课件班教学课件班教学课件经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用(x0,y0)处沿某指定方向的变化率.下面我们来考虑二元函数 在点 定义定义 若函数在点 处沿方向 u(方向角为存在下列极限:记作 则称为函数在点 P 处沿方向 u 的方向导数方向导数.Dept.Math.&Sys.Sci.Dept.Math.&Sys.Sci.应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室高等数学分级教学高等数学分

5、级教学高等数学分级教学高等数学分级教学A2A2班教学课件班教学课件班教学课件班教学课件经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用方向导数的几何意义方向导数的几何意义表示曲线C 在 点处的切线的斜率.特别特别:当 u 与 x 轴同向 当 u 与 x 轴反向Dept.Math.&Sys.Sci.Dept.Math.&Sys.Sci.应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学A2A2班教学课件班教学课件班教学课件班教学课件经营者提供商品

6、或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用那么函数在该点沿任意方向向量 u 的方向导数都存在，设函数 在点 处可微，定理定理10.4.1且有其中 为向量 u 的方向余弦.因函数 在点 处可微，则 证明证明2.方向导数的计算方向导数的计算Dept.Math.&Sys.Sci.Dept.Math.&Sys.Sci.应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学A2A2班教学课件班教学课件班教学课件班教学课件经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消

7、费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用这就证明了方向导数存在，且一般地，当函数 可微时，有且 所以当自变量从点 沿u 方向移动时，Dept.Math.&Sys.Sci.Dept.Math.&Sys.Sci.应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学A2A2班教学课件班教学课件班教学课件班教学课件经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用三元函数 在点 沿方向 u(方向角为 )的方向导数

8、定义为 定理定理10.4.1的逆命题不成立的逆命题不成立.f(x,y)在原点沿任意方向的方向导数存在在原点沿任意方向的方向导数存在,但不可微但不可微.Dept.Math.&Sys.Sci.Dept.Math.&Sys.Sci.应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学A2A2班教学课件班教学课件班教学课件班教学课件经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用方向导数的性质方向导数的性质Dept.Math.&Sys.Sci.Dept.

9、Math.&Sys.Sci.应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学A2A2班教学课件班教学课件班教学课件班教学课件经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用例例1.求函数 在点 沿方向的方向导数.解：解：又 的方向余弦为故Dept.Math.&Sys.Sci.Dept.Math.&Sys.Sci.应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学A2A2班教

10、学课件班教学课件班教学课件班教学课件经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用例例2.设是曲面在点 P(1,1,1)处指向外侧的法向量,解解:方向余弦为而同理得方向的方向导数.在点P 处沿求函数故Dept.Math.&Sys.Sci.Dept.Math.&Sys.Sci.应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学A2A2班教学课件班教学课件班教学课件班教学课件经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的

11、损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用3.梯度向量的定义梯度向量的定义因为新向量新向量GDept.Math.&Sys.Sci.Dept.Math.&Sys.Sci.应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学A2A2班教学课件班教学课件班教学课件班教学课件经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用同样可定义二元函数在点处的梯度 说明说明:函数的方向导数为梯度在该方向上的投影.称为函数 f(P)在点 P 处的梯度(

12、gradient),向量记作 grad f 或 f,即nabla Dept.Math.&Sys.Sci.Dept.Math.&Sys.Sci.应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学A2A2班教学课件班教学课件班教学课件班教学课件经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用例例3.求函数 在点 处的梯度以及函数在该点处沿方向 的方向导数.解：解：故又故Dept.Math.&Sys.Sci.Dept.Math.&Sys.Sci.应用

13、数学教研室应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学A2A2班教学课件班教学课件班教学课件班教学课件经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用如果采用向量的记号，我们容易给出一般 n 元函数的方向导数与梯度的定义.设 f(x)是 n 元函数(通常我们只考虑二元函数和三元u 是 n 元向量,u0 是 u 对应的单位向量,函数的情况)，则 f(x)在点 x 处沿 u 的方向导数和梯度分别定义为Dept.Math.&Sys.Sci.Dept.Math

14、.&Sys.Sci.应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学A2A2班教学课件班教学课件班教学课件班教学课件经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用10.4.2 方向导数与梯度的性质及应用方向导数与梯度的性质及应用1.函数的最速上升方向与最速下降方向函数的最速上升方向与最速下降方向定义定义10.4.1设 f(x)是 上的连续函数，d 是 n 维非零向量，如果存在，使得对于一切，恒有则称 d 为函数 f 在 x0 处的上升方向上

15、升方向;恒有如果对于则称 d 为函数 f 在 x0 处的下降方向下降方向.Dept.Math.&Sys.Sci.Dept.Math.&Sys.Sci.应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学A2A2班教学课件班教学课件班教学课件班教学课件经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用定理定理10.4.2设 f(x)在点 x0 处可微,u 是一个 n 维非零向量，如果个上升方向；的一个下降方向则u 是f(x)在点 x0 处的一如果则

16、u 是f(x)在点 x0 处定理说明定理说明:方向导数的符号决定函数的升降方向导数的符号决定函数的升降.Dept.Math.&Sys.Sci.Dept.Math.&Sys.Sci.应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学A2A2班教学课件班教学课件班教学课件班教学课件经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用结论结论1梯度方向是函数值上升最快的方向(最速上升方向),负梯度方向是而函数值下降最快的方向(最速下降方向)沿梯度方向,方

17、向导数达到最大值问题：问题：函数值沿什么方向上升最快函数值沿什么方向上升最快?沿什么方向下降最快？沿什么方向下降最快？Dept.Math.&Sys.Sci.Dept.Math.&Sys.Sci.应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学A2A2班教学课件班教学课件班教学课件班教学课件经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用若函数 在点 处取最大值，则函数 沿任何方向都不可能上升，于是由定理定理10.4.2知特别地另一方面因此即函

18、数在最大值点 处的梯度为零向量；同理可得函数在最小值点处的梯度向量也为零向量.结论结论2函数在最大值点或最小值点处的梯度为零向量 Dept.Math.&Sys.Sci.Dept.Math.&Sys.Sci.应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学A2A2班教学课件班教学课件班教学课件班教学课件经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用设 在 处取最大（小）值，则即类似地，若三元函数 在 处取最大（小）值，则Dept.Math.&

19、Sys.Sci.Dept.Math.&Sys.Sci.应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学A2A2班教学课件班教学课件班教学课件班教学课件经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用例例4.设一座山的高度由函数 给出,如果登山者在山坡的点 处，此时登山者往何方向攀登时坡度最陡？解：解：坡度最陡的方向为高度函数变化最快的方向，即求使高度函数在点 处的方向导数最大的方向 .因为梯度与 的夹角,所以最大即沿梯度方向函数上升最快.又因

20、所以在点 处沿向量 方向攀登时坡度最陡.Dept.Math.&Sys.Sci.Dept.Math.&Sys.Sci.应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学A2A2班教学课件班教学课件班教学课件班教学课件经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用例例5求函数在点(2,1)处函数值下降最快的方向定理定理10.4.3设 f(x)是 上的连续函数，d 是 n 维非零向量，如果则d 是f(x)在点 x0 处的一个上升方向；如果则d 是f

21、(x)在点 x0 处的一个下降方向.d 与f(x0)成锐角d 与f(x0)成钝角解：解：所以函数在点 处的最速下降方向为Dept.Math.&Sys.Sci.Dept.Math.&Sys.Sci.应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学A2A2班教学课件班教学课件班教学课件班教学课件经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用2.梯度向量是二元函数等值线或三元函数等值面的法梯度向量是二元函数等值线或三元函数等值面的法线方向向量线方

22、向向量 设 f(x)是 n 元可微函数,等值面Dept.Math.&Sys.Sci.Dept.Math.&Sys.Sci.应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学A2A2班教学课件班教学课件班教学课件班教学课件经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用对于对于 n=2 的情形的情形:是函数 f(x,y)过点(x0,y0)的等值线在该点处,它与等值线的切线垂直.在点(x0,y0)处的一个法线方向向量.等值线n=2结论结论:与等值面

23、在点x0 处的切平面垂直，所以是等值面S在点x0 处的一个法线方向向量.Dept.Math.&Sys.Sci.Dept.Math.&Sys.Sci.应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学A2A2班教学课件班教学课件班教学课件班教学课件经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用对于对于 n=3 的情形的情形:是函数 f(x,y,z)的等值面在点(x0,y0,z0)处的一个法线方向向量.在该点处,它与等值线的切平面垂直.等值面等值

24、面Dept.Math.&Sys.Sci.Dept.Math.&Sys.Sci.应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学A2A2班教学课件班教学课件班教学课件班教学课件经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用10.4.3 黑赛矩阵与泰勒公式黑赛矩阵与泰勒公式1.黑赛矩阵黑赛矩阵 设 n 元函数 f(x)在点 x 处对于自变量的各分量的二阶连续，偏导数二二阶阶导导数数或或黑黑塞塞矩矩阵阵Dept.Math.&Sys.Sci.Dep

25、t.Math.&Sys.Sci.应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学A2A2班教学课件班教学课件班教学课件班教学课件经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用例例6.解：解：计算函数 的梯度与黑塞矩阵,并求 以及因，则又则所以Dept.Math.&Sys.Sci.Dept.Math.&Sys.Sci.应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学A2A

26、2班教学课件班教学课件班教学课件班教学课件经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用例例7.解：解：设 皆为 n 维行向量，b 为常数，求 n 维线性函数 在任意点 x 处的梯度和黑塞矩阵.设，于是因所以Dept.Math.&Sys.Sci.Dept.Math.&Sys.Sci.应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学A2A2班教学课件班教学课件班教学课件班教学课件经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿

27、其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用当 时，二维线性函数写成向量形式是于是Dept.Math.&Sys.Sci.Dept.Math.&Sys.Sci.应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学A2A2班教学课件班教学课件班教学课件班教学课件经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用例例8.解：解：设 Q 为 n 阶对称矩阵，皆为n 维行向量，c 为常数，求 n 维二次函数 在任意点 处的梯度和黑塞矩阵

28、.设则于是Dept.Math.&Sys.Sci.Dept.Math.&Sys.Sci.应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学A2A2班教学课件班教学课件班教学课件班教学课件经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用又因所以Dept.Math.&Sys.Sci.Dept.Math.&Sys.Sci.应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学A2A2班教

29、学课件班教学课件班教学课件班教学课件经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用写出二维二次函数的梯度和黑塞矩阵.Dept.Math.&Sys.Sci.Dept.Math.&Sys.Sci.应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学A2A2班教学课件班教学课件班教学课件班教学课件经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用2.泰勒公式泰勒公式若函数

30、 在点 的某一邻域内具有一阶连续偏导数,且 是这邻域内的一点,则有近似公式：如果要使这个函数有更高的精度,先须讨论二元函数的泰勒公式.一元函数的泰勒公式:Dept.Math.&Sys.Sci.Dept.Math.&Sys.Sci.应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学A2A2班教学课件班教学课件班教学课件班教学课件经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用记号(设下面涉及的偏导数连续):一般地,表示表示Dept.Math.&S

31、ys.Sci.Dept.Math.&Sys.Sci.应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学A2A2班教学课件班教学课件班教学课件班教学课件经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用定理定理10.4.4的某一邻域内有直到 n+1 阶连续偏导数,为此邻域内任 一点,则有其中 称为f 在点(x0,y0)的 n 阶泰勒公式阶泰勒公式,称为其拉格拉格朗日型余项朗日型余项.Dept.Math.&Sys.Sci.Dept.Math.&Sys

32、.Sci.应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学A2A2班教学课件班教学课件班教学课件班教学课件经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用证证:令则 利用多元复合函数求导法则可得:Dept.Math.&Sys.Sci.Dept.Math.&Sys.Sci.应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学A2A2班教学课件班教学课件班教学课件班教学课件经营者

33、提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用一般地,由 的麦克劳林公式,得 将前述导数公式代入即得二元函数泰勒公式.Dept.Math.&Sys.Sci.Dept.Math.&Sys.Sci.应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学A2A2班教学课件班教学课件班教学课件班教学课件经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用说明说明:(1)余项估计式.因

34、 f 的各 n+1 阶偏导数连续,在某闭邻域其绝对值必有上界 M,则有Dept.Math.&Sys.Sci.Dept.Math.&Sys.Sci.应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学A2A2班教学课件班教学课件班教学课件班教学课件经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用(2)当 n=0 时,得二元函数的拉格朗日中值公式:(3)若函数在区域D 上的两个一阶偏导数恒为零,由中值公式可知在该区域上 Dept.Math.&Sys.

35、Sci.Dept.Math.&Sys.Sci.应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学A2A2班教学课件班教学课件班教学课件班教学课件经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用例例9.求函数解解:的三阶泰勒公式.因此,Dept.Math.&Sys.Sci.Dept.Math.&Sys.Sci.应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学A2A2班教学课件

36、班教学课件班教学课件班教学课件经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用其中Dept.Math.&Sys.Sci.Dept.Math.&Sys.Sci.应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学A2A2班教学课件班教学课件班教学课件班教学课件经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用解：解：例例10 设 f(x,y,z)有连续的偏导数,且 f(

37、0,0,0)=1,时,证明在球体内,当由泰勒公式其中介于 0 与 x,0 与 y,0 与 z 之间.故有Dept.Math.&Sys.Sci.Dept.Math.&Sys.Sci.应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学A2A2班教学课件班教学课件班教学课件班教学课件经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用1.方向导数的概念2.梯度向量的定义内容小结与作业内容小结与作业Dept.Math.&Sys.Sci.Dept.Math.

38、&Sys.Sci.应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学A2A2班教学课件班教学课件班教学课件班教学课件经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用3.方向导数与梯度向量的关系4黑赛矩阵 Dept.Math.&Sys.Sci.Dept.Math.&Sys.Sci.应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学A2A2班教学课件班教学课件班教学课件班教学课件

39、经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用5.泰勒公式 作业作业P156-1581,3,4,5,7,8,9,11,15 其中Dept.Math.&Sys.Sci.Dept.Math.&Sys.Sci.应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学A2A2班教学课件班教学课件班教学课件班教学课件经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用备用题备用题 函数在点处的梯度解解:则注意 x,y,z 具有轮换对称性(92考研考研)