用向量讨论垂直与平行复习课件ppt.ppt

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1、第八节 用向量讨论垂直与平行1.1.直线的方向向量与平面的法向量的确定直线的方向向量与平面的法向量的确定(1)(1)直线的方向向量：在直线上任取一直线的方向向量：在直线上任取一_向量作为它的向量作为它的方向向量方向向量.(2)(2)平面的法向量可利用方程组求出：设平面的法向量可利用方程组求出：设a,b是平面是平面内两内两不共线向量不共线向量,n为平面为平面的法向量，则求法向量的方程组为的法向量，则求法向量的方程组为 _,_,_._.非零非零na=0=0nb=0=02.2.利用向量的知识判定线线、线面、面面平行的方法利用向量的知识判定线线、线面、面面平行的方法(1)(1)直线与直线平行的判定方法

2、直线与直线平行的判定方法如果不重合的直线如果不重合的直线a a和直线和直线b b的方向向量分别为的方向向量分别为a和和b，则，则abab _._.(2)(2)直线与平面平行的判定方法直线与平面平行的判定方法如果平面如果平面外的直线外的直线a a的方向向量为的方向向量为a，平面，平面的法向量的法向量为为n,则则aa _;_;a=ban=0=0如果平面如果平面外的直线外的直线a a的方向向量为的方向向量为a,e1 1,e2 2是平面是平面的的一组基底一组基底(不共线的向量不共线的向量)，则，则aa_;_;(3)(3)平面与平面平行的判定方法平面与平面平行的判定方法如果不重合的平面如果不重合的平面和

3、平面和平面的法向量分别为的法向量分别为n1 1和和n2 2，则，则 _._.a=1 1e1 1+2 2e2 2n1 1=n2 2判断下面结论是否正确判断下面结论是否正确(请在括号中打请在括号中打“”“”或或“”).”).(1)(1)直线的方向向量是唯一确定的直线的方向向量是唯一确定的.().()(2)(2)平面的单位法向量是唯一确定的平面的单位法向量是唯一确定的.().()(3)(3)若两平面的法向量平行，则两平面平行若两平面的法向量平行，则两平面平行.().()(4)(4)若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行.().()【解析解析】(1)(1)错误

4、错误.与直线平行的任意非零向量都是该直线的与直线平行的任意非零向量都是该直线的方向向量方向向量.(2)(2)错误错误.由于法向量的方向不同，所以平面的单位法向量不由于法向量的方向不同，所以平面的单位法向量不唯一唯一.(3)(3)正确正确.由平面平行的转化定理可知由平面平行的转化定理可知.(4)(4)正确正确.由直线平行的转化定理可知其逆否命题正确，根据由直线平行的转化定理可知其逆否命题正确，根据等价命题可知等价命题可知.答案：答案：(1)(2)(3)(4)(1)(2)(3)(4)1.1.若直线若直线l的方向向量为的方向向量为a=(1,0,2)=(1,0,2)，平面，平面的法向量为的法向量为u=

5、(-2,0,-4),=(-2,0,-4),则则()()(A)(A)l (B)(B)l(C)(C)l (D)(D)l与与斜交斜交【解析解析】选选B.B.a=(1,0,2),=(1,0,2),u=(-2,0,-4),=(-2,0,-4),u=-2=-2a,即即ua,l.2.2.若直线若直线l的方向向量为的方向向量为a，平面，平面的法向量为的法向量为n，能使，能使l的的是是()()(A)(A)a(1,0,0)(1,0,0)，n(2,0,0)2,0,0)(B)(B)a(1,3,5)(1,3,5)，n(1,0,1)(1,0,1)(C)(C)a(0,2,1)(0,2,1)，n(1,01,0，1)1)(D)

6、(D)a(1(1，1,3)1,3)，n(0,3,1)(0,3,1)【解析解析】选选D.D.若若l，则，则an=0.=0.经验证知，经验证知，D D满足条件满足条件.3.3.若直线若直线l1 1,l2 2的方向向量分别为的方向向量分别为a=(2,4,-4),=(2,4,-4),b=(-6,9,6),=(-6,9,6),则直则直线线l1 1,l2 2的位置关系是的位置关系是_【解析解析】由由ab=2(-6)+49+(-4)6=0,=2(-6)+49+(-4)6=0,得得ab，从而，从而l1 1l2 2答案：答案：l1 1l2 24.4.若平面若平面，的法向量分别为的法向量分别为a=(-2,y,8)

7、,=(-2,y,8),b=(-10,-1,-2),=(-10,-1,-2),且且，则，则y=_.y=_.【解析解析】,ab=0,=0,即即20-y-16=0,y=4.20-y-16=0,y=4.答案：答案：4 45.5.若若A(0,2,),B(1,-1,),C(-2,1,)A(0,2,),B(1,-1,),C(-2,1,)是平面是平面内的三内的三点，设平面点，设平面的法向量的法向量n=(x,y,z)=(x,y,z)，则，则xyz=_.xyz=_.【解析解析】由题知由题知 =(1=(1，-3-3，)，=(-2,-1,).=(-2,-1,).由由 得得所以所以xyz=23(-4)xyz=23(-4

8、)答案：答案：23(-4)23(-4)考向考向1 1 利用空间向量证明平行关系利用空间向量证明平行关系【典例典例1 1】在长方体在长方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中，AAAA1 12AB2AB2BC2BC，E E，F F，E E1 1分别是棱分别是棱AAAA1 1，BBBB1 1，A A1 1B B1 1的中点的中点.求证：求证：CECE平面平面C C1 1E E1 1F.F.【思路点拨思路点拨】要证明要证明CECE平面平面C C1 1E E1 1F F，可证明向量，可证明向量 与平面与平面C C1 1E E1 1F F的法向量垂直的法向量垂直.【规

9、范解答规范解答】以以D D为原点，为原点，DADA，DCDC，DDDD1 1所在的直线为所在的直线为x x轴，轴，y y轴，轴，z z轴建立空间直角坐标系，设轴建立空间直角坐标系，设BCBC1 1，则则C(0C(0，1 1，0)0)，E(1E(1，0 0，1)1)，C C1 1(0(0，1 1，2)2)，F(1F(1，1 1，1)1)，E E1 1(1(1，2).2).设平面设平面C C1 1E E1 1F F的一个法向量的一个法向量n=(x,y,z).=(x,y,z).取取n=(1,2,1).=(1,2,1).=(1,-1,1),=(1,-1,1),n =1-2+1=0,=1-2+1=0,n

10、.又又CECE 平面平面C C1 1E E1 1F F，CECE平面平面C C1 1E E1 1F.F.【互动探究互动探究】在本例条件下，判断平面在本例条件下，判断平面C C1 1E E1 1F F与平面与平面CEFCEF的关的关系，并给出证明系，并给出证明.【解析解析】设平面设平面EFCEFC的一个法向量为的一个法向量为m=(a,b,c),=(a,b,c),由例题规范解答可知由例题规范解答可知 (0(0，1 1，0)0)，(-1(-1，0 0，-1)-1)，即即取取m=(-1=(-1，0 0，1).1).由例题规范解答可知，平面由例题规范解答可知，平面C C1 1E E1 1F F的一个法向

11、量的一个法向量n=(1,2,1),=(1,2,1),mn=(-1,0,1)=(-1,0,1)(1,2,1)(1,2,1)=-11+02+11=0,=-11+02+11=0,mn,平面平面C C1 1E E1 1FF平面平面CEF.CEF.【拓展提升拓展提升】利用向量处理平行问题的常用方法利用向量处理平行问题的常用方法(1)(1)证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量线向量.(2)(2)证明线面平行的方法：证明线面平行的方法：证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；证明在平面内可找到一个向量与直线

12、的方向向量是共线证明在平面内可找到一个向量与直线的方向向量是共线向量；向量；利用共面向量定理，即证明直线的方向向量可用平面内利用共面向量定理，即证明直线的方向向量可用平面内不共线的两个向量线性表示不共线的两个向量线性表示.(3)(3)证明面面平行：证明面面平行：证明两个平面的法向量平行证明两个平面的法向量平行(即是共线向量即是共线向量)；转化为线面平行、线线平行问题转化为线面平行、线线平行问题.【变式备选变式备选】(2013(2013西安模拟西安模拟)如图所示，在等腰直角如图所示，在等腰直角ABCABC中，中，AC=AB=EAC=AB=E为为ABAB的中点，点的中点，点F F在在BCBC上，且

13、上，且EFBC.EFBC.现沿现沿EFEF将将BEFBEF折起到折起到PEFPEF的位置，使的位置，使PFBF.PFBF.点点D D在在PCPC上，且上，且 求证求证:AD:AD平面平面PEF.PEF.【证明证明】如图，以如图，以F F点为原点，分别以点为原点，分别以FCFC，FEFE，FPFP为为x,y,zx,y,z轴建立空间直角坐标系轴建立空间直角坐标系.经计算，易得以下坐标：经计算，易得以下坐标：F(0,0,0),C(3,0,0),A(1,2,0),D(1,0,F(0,0,0),C(3,0,0),A(1,2,0),D(1,0,),),易知易知 =(3=(3，0 0，0)0)为平面为平面E

14、FPEFP的法向量的法向量.又因为又因为 =(0,-2,)=(0,-2,)，所以，所以 =0,=0,又又ADAD平面平面PEFPEF，即有即有ADAD平面平面PEF.PEF.考向考向2 2 利用向量证明垂直问题利用向量证明垂直问题【典例典例2 2】如图所示如图所示,在四棱锥在四棱锥P-AB-CDP-AB-CD中中,PC,PC平面平面ABCD,PC=2,ABCD,PC=2,在四边形在四边形ABCDABCD中中,B=C=90,AB=4,CD=1,B=C=90,AB=4,CD=1,点点M M在在PBPB上上,PB=4PM,PB,PB=4PM,PB与平面与平面ABCDABCD的夹角为的夹角为30.30

15、.(1)(1)求证求证:CM:CM平面平面PAD.PAD.(2)(2)求证求证:平面平面PABPAB平面平面PAD.PAD.【思路点拨思路点拨】建立空间直角坐标系建立空间直角坐标系.(1).(1)可证明可证明 与平面与平面PADPAD的法向量垂直；也可将的法向量垂直；也可将 分解为平面分解为平面PADPAD内的两个不共内的两个不共线向量的线性组合，利用共面向量定理证明线向量的线性组合，利用共面向量定理证明.(2).(2)取取APAP中点中点E E，利用向量证明，利用向量证明BEBE平面平面PADPAD即可即可.【规范解答规范解答】由题意可知：以由题意可知：以C C为坐标原点为坐标原点,CB,C

16、B所在直线为所在直线为x x轴轴,CD,CD所在直线为所在直线为y y轴，轴，CPCP所在直线为所在直线为z z轴建立如图所示的空轴建立如图所示的空间直角坐标系间直角坐标系.PCPC平面平面ABCD,ABCD,PBCPBC为为PBPB与平面与平面ABCDABCD的夹角，的夹角，PBC=30.PBC=30.PC=2,BC=PB=4.PC=2,BC=PB=4.D(0,1,0),B(0,0),D(0,1,0),B(0,0),A(4,0),P(0,0,2),A(4,0),P(0,0,2),=(0,-1,2),=(3,0),=(0,-1,2),=(3,0),(1)(1)方法一方法一:令令n=(x,y,z

17、)=(x,y,z)为平面为平面PADPAD的一个法向量的一个法向量,则则 即即 令令y=2,y=2,得得n=(-,2,1).=(-,2,1).n =-+20+1 =0,=-+20+1 =0,n ,又又CMCM平面平面PADPAD，CMCM平面平面PAD.PAD.方法二方法二:=(0,1,-2),=(4,-2):=(0,1,-2),=(4,-2)，假设，假设 平面平面PADPAD，则存在则存在x,yx,y使使 =x +y ,=x +y ,则则 方程组的解为方程组的解为由共面向量定理知由共面向量定理知 与与 共面，故假设成立，共面，故假设成立，又又CMCM平面平面PAD,PAD,CMCM平面平面P

18、AD.PAD.(2)(2)取取APAP的中点的中点E,E,连接连接BEBE，则，则E(,2,1),E(,2,1),=(-,2,1).=(-,2,1).PB=AB,BEPA.PB=AB,BEPA.又又 =(-=(-，2 2，1)1)(2 (2 ，3 3，0)=00)=0，BEDABEDA，又，又PADA=A.PADA=A.BEBE平面平面PAD,PAD,又又BEBE 平面平面PAB,PAB,平面平面PABPAB平面平面PAD.PAD.【拓展提升拓展提升】向量方法证明空间垂直关系的基本途径向量方法证明空间垂直关系的基本途径(1)(1)线线垂直：直线与直线的垂直，只要证明两直线的方向线线垂直：直线与

19、直线的垂直，只要证明两直线的方向向量垂直向量垂直.(2)(2)线面垂直：线面垂直：用线面垂直的定义，证明直线的方向向量用线面垂直的定义，证明直线的方向向量与平面内的任意一条直线的方向向量垂直；与平面内的任意一条直线的方向向量垂直；用线面垂直的判定定理，证明直线的方向向量与平面内用线面垂直的判定定理，证明直线的方向向量与平面内的两条相交直线的方向向量垂直；的两条相交直线的方向向量垂直；证明直线的方向向量与平面的法向量平行证明直线的方向向量与平面的法向量平行.(3)(3)面面垂直：平面与平面的垂直，除了用面面垂直的判定面面垂直：平面与平面的垂直，除了用面面垂直的判定定理转化为线面垂直外，还可证明两

20、平面的法向量垂直定理转化为线面垂直外，还可证明两平面的法向量垂直.【变式训练变式训练】如图所示如图所示,在四棱锥在四棱锥P-ABCDP-ABCD中中,PA,PA底面底面ABCD,ABCD,ABAD,ACCD,ABC=60,PA=AB=BC,EABAD,ACCD,ABC=60,PA=AB=BC,E是是PCPC的中点的中点.证明证明:(1)AECD.(1)AECD.(2)PD(2)PD平面平面ABE.ABE.【证明证明】AB,AD,APAB,AD,AP两两垂直，建立如图所示的空间直角两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系坐标系,设设PA=AB=BC=1PA=AB=BC=1，则，则P(0,0,1).

21、P(0,0,1).(1)ABC=60(1)ABC=60，ABCABC为正三角形为正三角形.设设D(0,y,0),D(0,y,0),由由ACCD,ACCD,得得 =0,=0,即即y=y=则则D(0,0),D(0,0),又又 即即AECD.AECD.(2)(2)方法一方法一:P(0,0,1),:P(0,0,1),又又 即即PDAE.PDAE.=(1,0,0),=(1,0,0),=0,=0,即即PDAB,PDAB,又又ABAE=A,ABAE=A,PDPD平面平面ABE.ABE.方法二方法二:设平面设平面ABEABE的一个法向量为的一个法向量为n=(x,y,z),=(x,y,z),=(1,0,0),=

22、(1,0,0),即即令令y=2y=2，则，则z=z=n=(0,2,).=(0,2,).显然显然 平面平面ABE,ABE,即即PDPD平面平面ABE.ABE.考向考向3 3 利用空间向量解决探索性问题利用空间向量解决探索性问题【典例典例3 3】如图，在三棱锥如图，在三棱锥P-ABCP-ABC中，中，ABABACAC，D D为为BCBC的中点，的中点，POPO平面平面ABCABC，垂足，垂足O O落在线段落在线段ADAD上上.已知已知BCBC8 8，POPO4 4，AOAO3 3，ODOD2.2.(1)(1)证明：证明：APBC.APBC.(2)(2)在线段在线段APAP上是否存在点上是否存在点M

23、 M，使得平面使得平面AMCAMC平面平面BMCBMC？若？若存在，求出存在，求出AMAM的长；若不存的长；若不存在，请说明理由在，请说明理由.【思路点拨思路点拨】对对(1)(1)问线线垂直的证明易入手，利用两非零问线线垂直的证明易入手，利用两非零向量的数量积为向量的数量积为0 0即可进行证明即可进行证明;对对(2)(2)问，平面问，平面AMCAMC平面平面BMCBMC，即平面，即平面AMCAMC的法向量与平面的法向量与平面BMCBMC的法向量垂直的法向量垂直;因此可因此可建立适当的空间直角坐标系求解建立适当的空间直角坐标系求解.因为因为M M在线段在线段APAP上，故可上，故可利用利用A A

24、，M M，P P三点共线设出三点共线设出M M点的坐标点的坐标.【规范解答规范解答】如图，以如图，以O O为坐标原点，以射线为坐标原点，以射线OPOP为为z z轴的正轴的正半轴，建立空间直角坐标系，半轴，建立空间直角坐标系，则则O(0O(0，0 0，0)0)，A(0A(0，-3-3，0)0)，B(4B(4，2 2，0)0)，C(-4C(-4，2 2，0)0)，P(0P(0，0 0，4)4)，(1)(1)则则 =(0,3,4),=(-8,0,0).=(0,3,4),=(-8,0,0).由此可得由此可得所以所以 即即APBC.APBC.(2)(2)假设线段假设线段APAP上存在点上存在点M.M.易

25、知易知 =(-4=(-4，-2-2，4)4)，设，设 0 01,1,则则 =(0,-3,-4)=(0,-3,-4)，=(-4,-2,4)+(0,-3,-4)=(-4,-2,4)+(0,-3,-4)=(-4,-2-3,4-4),=(-4,-2-3,4-4),=(-4,5,0).=(-4,5,0).又又 =(-8,0,0)=(-8,0,0)，设平面设平面BMCBMC的一个法向量的一个法向量n1 1=(x=(x1 1,y,y1 1,z,z1 1),),平面平面AMCAMC的一个法向量的一个法向量n2 2=(x=(x2 2,y,y2 2,z,z2 2)，则，则由由得得即即可取可取n1 1=(0,1,)

26、.=(0,1,).由由即即得得 可取可取n2 2=(5,4,-3).=(5,4,-3).由由n1 1n2 2=0,=0,得得4-34-3 =0,=0,解得解得=故故AM=3.AM=3.综上所述，存在点综上所述，存在点M M符合题意，符合题意，AMAM3.3.【拓展提升拓展提升】利用向量解决探索性问题的方法利用向量解决探索性问题的方法立体几何中的探索性问题在近几年的各地高考中出现较多，立体几何中的探索性问题在近几年的各地高考中出现较多，解决此类问题的常规方法有以下两种解决此类问题的常规方法有以下两种:(1)(1)根据对题目的综合分析和观察猜想出点或线的位置，再根据对题目的综合分析和观察猜想出点或

27、线的位置，再加以证明加以证明.(2)(2)假设所求的点或线存在，并用设定的参数表示出来，再假设所求的点或线存在，并用设定的参数表示出来，再根据其满足的条件确定参数根据其满足的条件确定参数.【变式训练变式训练】在四棱锥在四棱锥P-ABCDP-ABCD中，中，PDPD底面底面ABCDABCD，底面，底面ABCDABCD为正方形，为正方形，PDPDDCDC，E E，F F分别是分别是ABAB，PBPB的中点的中点.(1)(1)求证：求证：EFCD.EFCD.(2)(2)在平面在平面PADPAD内求一点内求一点G G，使，使GFGF平面平面PCBPCB，并证明你的结，并证明你的结论论.【解析解析】如图

28、，以如图，以DADA，DCDC，DPDP所在所在直线分别为直线分别为x x轴、轴、y y轴、轴、z z轴建立空间轴建立空间直角坐标系，直角坐标系，设设ADADa,a,则则D(0D(0，0 0，0)0)，B(a,a,0)B(a,a,0)，C(0C(0，a,0)a,0)，E(a,0)E(a,0)，P(0,0,a)P(0,0,a)，(1)(1)(2)(2)设设G(x,0,z),=(a,0,0)G(x,0,z),=(a,0,0)，=(0,-a,a),=(0,-a,a),则则若使若使GFGF平面平面PCBPCB，则，则由由 (a,0,0)(a,0,0)=a(x-)=0=a(x-)=0，得，得x=;x=;

29、且且 (0,-a,a)(0,-a,a)得得z=0.z=0.GG点坐标为点坐标为(，0 0，0)0)，即，即G G点为点为ADAD的中点的中点 【满分指导满分指导】利用向量证明空间位置关系利用向量证明空间位置关系【典例典例】(12(12分分)(2012)(2012福建高考改编福建高考改编)如图，在长方体如图，在长方体ABCD-ABCD-A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中，AAAA1 1ADAD1 1，E E为为CDCD中点中点.(1)(1)求证：求证：B B1 1EADEAD1 1.(2)(2)在棱在棱AAAA1 1上是否存在一点上是否存在一点P P，使得，使得DPDP平面平

30、面B B1 1AEAE？若存在，求？若存在，求APAP的长；的长；若不存在，说明理由若不存在，说明理由.【思路点拨思路点拨】已知条件已知条件条件分析条件分析ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1为长方体为长方体以以A A为坐标原点建立空间为坐标原点建立空间直角坐标系直角坐标系E E为为CDCD的中点的中点可确定可确定E E点坐标点坐标DPDP平面平面B B1 1AEAE 与平面与平面B B1 1AEAE的法向量垂直的法向量垂直 【规范解答规范解答】以以A A为原点，为原点，的方向分别为的方向分别为x x轴、轴、y y轴、轴、z z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标

31、系轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系.1 1分分设设AB=aAB=a，则，则A(0A(0，0 0，0)0)，D(0D(0，1 1，0)0)，D D1 1(0(0，1 1，1)1)，E(,1,0)E(,1,0)，B B1 1(a,0,1)(a,0,1)，2 2分分故故 =(0,1,1),=(-,1,-1),=(0,1,1),=(-,1,-1),=(a,0,1),=(,1,0)=(a,0,1),=(,1,0).3 3分分(1)0+11+(-1)1=0,(1)0+11+(-1)1=0,4 4分分B B1 1EADEAD1 1.5 5分分(2)(2)假设在棱假设在棱AAAA1 1上存在一点上存在一

32、点P(0P(0，0,z0,z0 0),),使得使得DPDP平面平面B B1 1AEAE，此时，此时 =(0,-1,z=(0,-1,z0 0).).6 6分分再设平面再设平面B B1 1AEAE的一个法向量的一个法向量n(x,y,z)(x,y,z)，n平面平面B B1 1AEAE，n n 得得取取x=1,x=1,则则y=z=-a,y=z=-a,得平面得平面B B1 1AEAE的一个法向量的一个法向量n=(1,-a)(1,-a).8 8分分要使要使DPDP平面平面B B1 1AEAE，只要，只要n 有有 -az-az0 0=0,=0,解得解得z z0 0=1010分分又又DPDP平面平面B B1

33、1AEAE，存在点存在点P P，满足，满足DPDP平面平面B B1 1AEAE，此时，此时APAP1212分分【失分警示失分警示】(下文下文见规范解答过程见规范解答过程)1.(20131.(2013衡水模拟衡水模拟)已知已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1)A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1)三点，三点，n=(1,1,1)=(1,1,1)，则以，则以n为方向向量的直线为方向向量的直线l与平面与平面ABCABC的关系是的关系是()(A)(A)垂直垂直 (B)(B)不垂直不垂直 (C)(C)平行平行 (D)(D)以上都有可能以上都有可能【解析解析】选选A.A.由题

34、意知，由题意知，=(-1=(-1，1 1，0)0)，=(0=(0，-1-1，1)1)，n =0,=0,n =0,=0,以以n为方向向量的直线为方向向量的直线l与平面与平面ABCABC垂直垂直.2.(20132.(2013昆明模拟昆明模拟)如图，正方形如图，正方形ABCDABCD与矩形与矩形ACEFACEF所在平面互所在平面互相垂直，相垂直，ABAB AFAF1 1，M M在在EFEF上且上且AMAM平面平面BDEBDE，则，则M M点的坐点的坐标为标为()()(A)(1,1,1)(A)(1,1,1)(B)(B)(C)(C)(D)(D)【解析解析】选选C.MC.M在在EFEF上，设上，设MEME

35、x(x0)x(x0)，A(,0)A(,0)，D(,0D(,0，0)0)，E(0,0,1)E(0,0,1)，B(0B(0，0)0)，=(,0,-1)=(,0,-1)，(0(0，1)1)，设平面设平面BDEBDE的一个法向量的一个法向量n(a(a，b b，c)c)，由由 得得a ab b故可取一个法向量故可取一个法向量n(1,1(1,1，).).n 0 0，x x1 1，3.(20133.(2013宁波模拟宁波模拟)如图所示，在正方体如图所示，在正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，棱中，棱长为长为a,Ma,M，N N分别为分别为A A1 1B B和和ACAC

36、上的点，上的点，A A1 1M MANAN 则则MNMN与平与平面面BBBB1 1C C1 1C C的位置关系是的位置关系是()()(A)(A)斜交斜交(B)(B)平行平行(C)(C)垂直垂直(D)(D)不能确定不能确定【解析解析】选选B.B.分别以分别以C C1 1B B1 1，C C1 1D D1 1，C C1 1C C所在直线为所在直线为x,y,zx,y,z轴，建轴，建立空间直角坐标系立空间直角坐标系.AA1 1M=AN=M=AN=又又C C1 1(0,0,0),D(0,0,0),D1 1(0,a,0),(0,a,0),是平面是平面BBBB1 1C C1 1C C的一个法向量，的一个法向

37、量，且且MNMN平面平面BBBB1 1C C1 1C C，MNMN平面平面BBBB1 1C C1 1C.C.4.(20134.(2013西安模拟西安模拟)已知在棱长为已知在棱长为1 1的正方体的正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中，E,F,ME,F,M分别是分别是A A1 1C C1 1,A,A1 1D D和和B B1 1A A上任一点，则平面上任一点，则平面A A1 1EFEF与平面与平面B B1 1MCMC的位置关系是的位置关系是_._.【解析解析】如图建立空间直角坐标系如图建立空间直角坐标系,则则 =(-1,1,0),=(-1,0,-1),=(-

38、1,1,0),=(-1,0,-1),=(-1,0,-1),=(0,-1,-1),=(-1,0,-1),=(0,-1,-1),设设 (,R(,R，且均不为，且均不为0),0),设设n1 1,n2 2分别是平面分别是平面A A1 1EFEF与平面与平面B B1 1MCMC的一个法向量的一个法向量,可得可得 即即 即即可得可得:n1 1=(1,1,-1).=(1,1,-1).由由即即即即 可得可得:n2 2=(1,1,-1).=(1,1,-1).所以所以n1 1=n2 2,所以平面所以平面A A1 1EFEF平面平面B B1 1MC.MC.答案：答案：平行平行5.(20135.(2013青岛模拟青岛

39、模拟)如图，已知四棱锥如图，已知四棱锥P-ABCDP-ABCD的底面为正方的底面为正方形，形，PAPA底面底面ABCDABCD，E E，F F分别为分别为ABAB，PDPD的中点，的中点，PAPAa a，二面，二面角角P-CD-BP-CD-B为为45.45.求证：求证：(1)AF(1)AF平面平面PCE.PCE.(2)(2)平面平面PCEPCE平面平面PCD.PCD.【证明证明】(1)(1)底面是正方形，底面是正方形，ADCD.ADCD.又又PAPA底面底面ABCDABCD，PDCDPDCD，PDAPDA45,45,AD=PA=a.AD=PA=a.建立如图所示的空间直角坐标系，则建立如图所示的

40、空间直角坐标系，则A(0A(0，0 0，0)0)，B(a,0,0),C(a,a,0),D(0,a,0),P(0,0,a).B(a,0,0),C(a,a,0),D(0,a,0),P(0,0,a).又又E E，F F分别是分别是ABAB，PDPD的中点，的中点，E E点坐标为点坐标为(,0,0),(,0,0),F F点坐标为点坐标为 (a,a,-a),(a,a,-a),设平面设平面PCEPCE的一个法向量为的一个法向量为n=(x,y,z),=(x,y,z),则由则由n ,n计算可得计算可得 取取n=(2,-1,1),=(2,-1,1),又又AFAF平面平面PCEPCE，故，故AFAF平面平面PCE

41、.PCE.(2)(2)设平面设平面PCDPCD的一个法向量为的一个法向量为m=(x,y,z).=(x,y,z).=(0,a,-a),=(a,a,-a),=(0,a,-a),=(a,a,-a),m ,m ,解得解得取取m=(0,1,1).=(0,1,1).又由又由(1)(1)知平面知平面PCEPCE的一个法向量为的一个法向量为n=(2,-1,1),=(2,-1,1),nm=0,=0,平面平面PCEPCE平面平面PCD.PCD.1.1.如图，在四棱锥如图，在四棱锥P-ABCDP-ABCD中，中，PAPA平面平面ABCDABCD，E E为为ADAD的中点，的中点，四边形四边形ABCEABCE为菱形，

42、为菱形，BADBAD120,PA=AB,G,F120,PA=AB,G,F分别是线段分别是线段CECE，PBPB上的动点，且满足上的动点，且满足 (0,1).(0,1).证明：证明：FGFG平面平面PDC.PDC.【证明证明】取取BCBC的中点的中点K K，连接，连接AKAK，以点，以点A A为原点，为原点，AKAK，ADAD，APAP所所在直线分别为在直线分别为x x轴、轴、y y轴、轴、z z轴建立如图所示的空间直角坐标系轴建立如图所示的空间直角坐标系.不妨设不妨设PAPA2 2，则，则A(0A(0，0 0，0)0)，P(0P(0，0 0，2)2)，B(B(，-1-1，0)0)，C(C(，1

43、 1，0)0)，E(0E(0，2 2，0)0)，D(0D(0，4 4，0)0)，所以所以由由 =得得F(F(，-，2-2)2-2)，则则设平面设平面PCDPCD的一个法向量为的一个法向量为n0 0=(x,y,z)=(x,y,z)，则则n0 0 0 0，n0 0 =0,=0,得得解得解得取取y=1,y=1,得得n0 0=(1,2).=(1,2).于是于是又因为又因为FGFG平面平面PDCPDC，所以所以FGFG平面平面PDC.PDC.2.2.如图，在多面体如图，在多面体ABC-AABC-A1 1B B1 1C C1 1中，四边形中，四边形A A1 1ABBABB1 1是正方形，是正方形，ABAB

44、ACAC，BCBC ABAB，B B1 1C C1 1 BC,BC,二面角二面角A A1 1-AB-C-AB-C是直二面角是直二面角.求证：求证：(1)A(1)A1 1B B1 1平面平面AAAA1 1C.C.(2)AB(2)AB1 1平面平面A A1 1C C1 1C.C.【证明证明】二面角二面角A A1 1-AB-C-AB-C是直二面角，四边形是直二面角，四边形A A1 1ABBABB1 1为正方为正方形，形，AAAA1 1平面平面BAC.BAC.又又AB=AC,BC=AB,AB=AC,BC=AB,CAB=90,CAB=90,即即CAAB,CAAB,AB,AC,AAAB,AC,AA1 1两

45、两互相垂直两两互相垂直.建立如图所示的空间直角坐标系，建立如图所示的空间直角坐标系，设设ABAB2 2，则，则A(0A(0，0 0，0)0)，B B1 1(0(0，2 2，2)2)，A A1 1(0(0，0 0，2)2)，C(2C(2，0 0，0)0)，C C1 1(1(1，1 1，2).2).(1)=(0,2,0),=(0,0,-2),=(2,0,0),(1)=(0,2,0),=(0,0,-2),=(2,0,0),设平面设平面AAAA1 1C C的一个法向量的一个法向量n=(x,y,z)=(x,y,z)，则则 即即 即即取取y=1,y=1,则则n=(0,1,0).=(0,1,0).(2)(2)易知易知 (0(0，2 2，2)2)，(1(1，1 1，0)0)，(2(2，0 0，-2)-2)，设平面设平面A A1 1C C1 1C C的一个法向量的一个法向量m(x(x1 1,y,y1 1,z,z1 1)，则，则即即令令x x1 1=1,=1,则则y y1 1=-1,z=-1,z1 1=1,=1,即即m=(1,-1,1).=(1,-1,1).m=01+2(-1)+21=0,=01+2(-1)+21=0,m.又又ABAB1 1平面平面A A1 1C C1 1C,C,ABAB1 1平面平面A A1 1C C1 1C.C.