必修4-1.1-任意角和弧度制备课讲稿.ppt

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1、人教人教A A版必修版必修(bxi)(bxi)四第一章四第一章 三角函数三角函数1.11.1任意角和弧度制任意角和弧度制第一页，共24页。知识(zh shi)回顾:同学们同学们,我们我们(w men)(w men)回顾一下学过的这些角回顾一下学过的这些角:第二页，共24页。知识(zh shi)回顾:角的定义角的定义1:1:平面内从一个点出平面内从一个点出发引出的两条射线构成的几何发引出的两条射线构成的几何图形图形(jh t xng).(jh t xng).这种静态定义是从图形形这种静态定义是从图形形状来定义角，因此角的范围是状来定义角，因此角的范围是0,3600,360第三页，共24页。同学同

2、学(tng xu)们现实生活中确定有存在不在学过范围的角们现实生活中确定有存在不在学过范围的角现状生活中：体操现状生活中：体操(tco)(tco)、跳水、跳水、滑冰、转体滑冰、转体720720度的高难度动作度的高难度动作,直体直体后空翻转体后空翻转体900900度及以上的旋转度及以上的旋转时钟的时针、分针转动和调准时间时时钟的时针、分针转动和调准时间时顺时针、逆时针拨转角度顺时针、逆时针拨转角度主从动轮转动角主从动轮转动角车的轮子的转动角车的轮子的转动角风车风车,风扇叶片等转动风扇叶片等转动第四页，共24页。定义定义(dngy)2:(dngy)2:平面内一条射线绕着端点平面内一条射线绕着端点从

3、一个位置旋转到另一个位置所成的图形从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.射射线线OAOA、OBOB分别是角的始边和终边，端点分别是角的始边和终边，端点OO为角的顶点。为角的顶点。思考思考(sko)(sko)：这些旋转形成的角该如：这些旋转形成的角该如何表示和区分何表示和区分?引入新的角定义引入新的角定义(dngy):(dngy):第五页，共24页。类比初中数的扩展学习，我们类比初中数的扩展学习，我们(w men)(w men)可以把这种可以把这种运动形成的角推广到任意角。为了方便规定：运动形成的角推广到任意角。为了方便规定：按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角按

4、顺时针方向旋转所形成的角叫做负角按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角没有作任何旋转形成的角叫做零角没有作任何旋转形成的角叫做零角1.1.任意角任意角:含任意大小含任意大小(dxio)(dxio)的正角，负角，零角。的正角，负角，零角。OA（B）第六页，共24页。在初中我们研究了锐角三角函数，为了在初中我们研究了锐角三角函数，为了(wi le)(wi le)研究研究任意角的三角函数，用角和长度定位点，实现几何问任意角的三角函数，用角和长度定位点，实现几何问题代数化。我们常在直角坐标系内讨论角。把角的顶题代数化。我们常在直角坐标系内讨论角。把角的顶点重合于坐标原点，角的始边重合于点重合于坐标原点，角

5、的始边重合于x x轴的正半轴。轴的正半轴。角的终边落在第几象限角的终边落在第几象限(xingxin)(xingxin)，就说，就说这个角是第几象限这个角是第几象限(xingxin)(xingxin)的角（包含第的角（包含第一、一、二、三、二、三、四象限四象限(xingxin)(xingxin)角）角）角的终边落在哪坐标轴上，就说这个角的终边落在哪坐标轴上，就说这个(zh(zh ge)ge)角是哪坐标轴上角（包含角是哪坐标轴上角（包含x,yx,y正负半轴上的正负半轴上的角）角）第七页，共24页。2象限象限(xingxin)角和坐标轴上角角和坐标轴上角xyo始边始边终边终边 终边终边终边终边终边终

6、边第八页，共24页。用旋转定义的任意角，需要注意三个要素：旋转中心、用旋转定义的任意角，需要注意三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转量旋转方向和旋转量 （当旋转超过一周时，旋转量即超（当旋转超过一周时，旋转量即超过过360360，角度的绝对值可大于，角度的绝对值可大于360 360。于是就有。于是就有720 720，540 540，第一象限的角也已经超越，第一象限的角也已经超越(choyu)(choyu)原原来锐角的范畴来锐角的范畴.）角角第九页，共24页。3终边相同终边相同(xin tn)的角的角 观察观察(gunch)(gunch)：330330 ，750750角，它们的终边与角，它们的终边

7、与3030角的终边有何关系？角的终边有何关系？探究探究(tnji)(tnji)：与：与30 30 终边相同的角（含终边相同的角（含30 30 角本身）集合用角本身）集合用描述法如何表示？描述法如何表示？330330=30=30+(+(1)3601)360(k=(k=1),301),30=30=30+0360+0360 (k=0),750(k=0),750=30=30+2360+2360(k=2)(k=2)(3)(3)结论：结论：思考：从终边相同的角集合表示中可以悟出什么？思考：从终边相同的角集合表示中可以悟出什么？与与 终边相同的角（含终边相同的角（含 本身）集合用描述法又本身）集合用描述法又

8、将如何表示？将如何表示？第十页，共24页。例例1 1：写出终边落在：写出终边落在y y轴上的角的集合轴上的角的集合(jh)(jh)。n解：终边落在轴正半轴上的角的集合解：终边落在轴正半轴上的角的集合(jh)(jh)为为S S1 1=|=90=900 0+K+K 3603600 0,KZ,KZ =|=90=900 0+2K+2K 1801800,0,KZKZ=|=900+1800=|=900+1800 的偶数的偶数(u sh)(u sh)倍倍 终边落在终边落在轴轴负负半轴上的角的集合为半轴上的角的集合为S S2 2=|=270=2700 0+K+K 3603600 0,KZ,KZ=|=90=90

9、0 0+180+1800 0+2K+2K 1801800 0,KZ,KZ=|=90=900 0+（2K+12K+1）1801800 0 ，KZKZ=|=90=900 0+180+1800 0 的的奇奇数倍数倍 第十一页，共24页。S=SS=S1 1SS2 2所以所以(suy)(suy)终边落在轴上的角的集合为终边落在轴上的角的集合为=|=900+1800=|=900+1800 的偶数的偶数(u sh)(u sh)倍倍|=90=900 0+180+1800 0 的的奇奇数倍数倍=|=90=900 0+180+1800 0 的整数倍的整数倍=|=90=900 0+K+K 1801800 0 ，KZ

10、KZ第十二页，共24页。根据角的动态定义：角是由射线绕它的根据角的动态定义：角是由射线绕它的端点旋转而成的，在旋转的过程端点旋转而成的，在旋转的过程(guchng)(guchng)中射线上的点必然形成一条圆中射线上的点必然形成一条圆弧。弧。思考：不同的点所形成的圆弧的长度是不同的，思考：不同的点所形成的圆弧的长度是不同的，但都对应同一个圆心角，探索弧长与其半径但都对应同一个圆心角，探索弧长与其半径之比有什么关系之比有什么关系?1 1 的角是周角的的角是周角的 用用11角作单位来度量角的制度叫做角作单位来度量角的制度叫做(jiozu)(jiozu)角度制角度制但角的度量单位如同长度，面积，体积等

11、有不同单位一样，也由于数据大，但角的度量单位如同长度，面积，体积等有不同单位一样，也由于数据大，书写不便等有引入不同单位的需要。书写不便等有引入不同单位的需要。第十三页，共24页。设设=n,AB=n,AB弧长为弧长为l l，半径，半径(bnjng)OA(bnjng)OA为为r r，则可以看出，等式右端不含则可以看出，等式右端不含半径半径(bnjng)(bnjng)，表示弧长与半，表示弧长与半径径(bnjng)(bnjng)的的比值跟半径比值跟半径(bnjng)(bnjng)无关，只无关，只与与的的大小有关。大小有关。3弧度弧度(hd)第十四页，共24页。3 3弧度弧度(hd)(hd)弧长等于半

12、径长（弧长等于半径长（l=r)的圆弧所对的圆心角叫做的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度弧度的角，弧度记作记作rad.角角 的弧度数的绝对值规定等于的弧度数的绝对值规定等于 .的正负由的正负由 的终边的旋转方向决定的终边的旋转方向决定(judng)。这种以弧度为单位来度量角的制度叫做弧度制。这种以弧度为单位来度量角的制度叫做弧度制。360360=，180180=rad rad，1=1 rad注：注：radrad今后可以省略不写今后可以省略不写第十五页，共24页。用弧度来度量角，实际上角的集合与实数集用弧度来度量角，实际上角的集合与实数集R R之间建立之间建立(jinl)(jinl)一一对应的

13、关系：一一对应的关系：弧度的集合（实数集弧度的集合（实数集R R）角的集合角的集合正角正角零角零角负角负角正实数正实数(shsh)零零负实数负实数(shsh)第十六页，共24页。请运用请运用(ynyng)转换公式，填写下表：转换公式，填写下表：度度0-3045-13512015030弧度弧度60609090-150-150270270第十七页，共24页。3 3弧度弧度(hd)(hd)对比对比(dub)(dub)记忆：初中弧长和面积公记忆：初中弧长和面积公式：式：思考思考(sko)(sko)：扇形的弧长和面积共含几个变量，已知：扇形的弧长和面积共含几个变量，已知几个量几个量,才能求出另外的量呢？

14、才能求出另外的量呢？第十八页，共24页。例例2.2.已知一半径为已知一半径为R R的扇形，它的周长等于所在的扇形，它的周长等于所在(suzi)(suzi)圆的周长，那么扇形的中心角是多少弧度？圆的周长，那么扇形的中心角是多少弧度？合多少度？扇形的面积是多少？合多少度？扇形的面积是多少？解：周长解：周长(zhu chn)=2R=2R+l(zhu chn)=2R=2R+l，所以，所以l=2(l=2(1)R.1)R.所以所以(suy)(suy)扇形的中心角是扇形的中心角是2(2(1)rad.1)rad.合合 度度扇形面积是扇形面积是第十九页，共24页。合作探究练习合作探究练习1 1：用角度和弧度分别

15、用角度和弧度分别(fnbi)(fnbi)表示表示:1.终边在x轴上的角的集合(jh)2.终边在坐标轴上的角的集合(jh)3.终边在第一象限角的集合(jh)4.终边在y=x直线上的角的集合(jh).|=k1800，kZZ|=k=k，kZkZ.|=k900，kZZ|=k=k ，kZkZ3.|k 3603600 0 k 3603600 0+900，kZZ|2 2k k 2 2kk +，kZkZ4.|=k 1801800 0+450，kZZ|=k=k+，kZkZ思考思考:终边在过直角坐标系原点的直线终边在过直角坐标系原点的直线(zhxin)(zhxin)上角的集合共同特征是怎样的上角的集合共同特征是怎

16、样的?第二十页，共24页。合作探究练习合作探究练习2.2.在在0 0到到360360度度(02(02）范围）范围(fnwi)(fnwi)内，找出与下内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它是哪个象限的角？列各角终边相同的角，并判断它是哪个象限的角？（1 1）-120-120（2 2）（3 3）-950-950 12 12（4 4）所以与所以与-120-120 角终边相同角终边相同(xin tn)(xin tn)的角是的角是240 240 角角,它是第三象限角。它是第三象限角。所以所以(suy)(suy)与与 角终边相同的角是角终边相同的角是 ，它是第四象限角。，它是第四象限角。所以与所以与-9

17、50-95012 12 角终边相同的角是角终边相同的角是12912948 48 角，它角，它是第二象限角。是第二象限角。（2 2）因为）因为 解解（1 1）因这）因这-120-120=-1=-1360 360+240+240（3 3）因为）因为-950-95012=-312=-3360360+129+1294848（4 4）因为）因为所以与所以与 角终边相同的角是角终边相同的角是 ，它是第一象限角。它是第一象限角。第二十一页，共24页。小结：小结：1.1.在在0 0到到360360度（度（02)02)内找与已知角终边相同的角，内找与已知角终边相同的角，方法是：用所给角除以方法是：用所给角除以3

18、600(2)3600(2)所给角是正的：按通常的除法进行；所给角是正的：按通常的除法进行；所给角是负的：度数所给角是负的：度数(d shu)(d shu)除以除以3600(23600(2），商是负数，它的绝对），商是负数，它的绝对值应比被除数为其相反数时相应的商大值应比被除数为其相反数时相应的商大1 1，以便使余数为正值。，以便使余数为正值。2.2.判断一个角是第几象限判断一个角是第几象限(xingxin)(xingxin)角，角，方法是：把所给角方法是：把所给角 改写成改写成 ：0+k 3600 (KZ,00 0 0+k 3600 (KZ,00 03600)3600)的形式，的形式，0 0在

19、第几象限在第几象限(xingxin),(xingxin),就是第几象限就是第几象限(xingxin)(xingxin)角。角。0 0 +k+k22 (KZ,0(KZ,0 0 02 2)第二十二页，共24页。合作探究练习合作探究练习3 3：(1)(1)在半径为在半径为R R的圆中，的圆中，240240的中心角所对的弧长为的中心角所对的弧长为 ，面积为，面积为2R 22R 2的扇形的扇形(shn xn)(shn xn)的中心角等于的中心角等于 弧度。弧度。(2)(2)一手表现发现走慢十五分钟需调正一手表现发现走慢十五分钟需调正,分针要转多少弧度分针要转多少弧度?解：（解：（1 1）240240=，

20、根据，根据l l=R R，得，得(2)(2)需顺时针转需顺时针转9090度度,即为即为 根据根据S S=lR=lR=R R2 2，且，且S S=2=2R R2 2.所以所以(suy)=4.(suy)=4.第二十三页，共24页。课堂小结：课堂小结：1.1.任意角：任意角：角的不同分类：正角、负角和零角角的不同分类：正角、负角和零角 象限角和坐标轴上的角象限角和坐标轴上的角终边相同终边相同(xin tn)(xin tn)的角集合表示的角集合表示:2.2.角度制和弧度制的转化：角度制和弧度制的转化：1=1 rad3.3.扇形的弧长和面积扇形的弧长和面积(min j)(min j)公式公式.(.(角度和角度和弧度制弧度制)第二十四页，共24页。