二重积分的计算方法教学资料.ppt

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1、二重积分的计算方法二重积分的计算方法http:/mooker.80.hk 在直角坐标系下用平在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划行于坐标轴的直线网来划分区域分区域D，故二重积分可写为故二重积分可写为D D则面积元素为则面积元素为一、利用直角坐标系计算二重积分一、利用直角坐标系计算二重积分2http:/mooker.80.hk(2)如果积分区域为：如果积分区域为：其中函数其中函数 、在区间在区间 上连续上连续.X型型3http:/mooker.80.hk回忆回忆：平行截面面积为已知的立体的体积：平行截面面积为已知的立体的体积立体体积立体体积此方法关键是求此方法关键是求4http:/mooke

2、r.80.hk计算截面面积计算截面面积(红色部分即红色部分即A(x0)以以D为底为底,以曲面以曲面为顶的曲顶柱体的体积为顶的曲顶柱体的体积.应用计算应用计算“平行平行截面面积为已知截面面积为已知的立体求体积的立体求体积”的方法的方法.用二重积分的几何意义说明其计算法用二重积分的几何意义说明其计算法:是区间是区间为曲边的曲边梯形为曲边的曲边梯形.为底为底,曲线曲线 5http:/mooker.80.hkA(x0)先对先对y后对后对x的二次积分的二次积分(累次累次积分积分)6http:/mooker.80.hk(2)积分区域积分区域为：为：先对先对x后对后对y的二次积分的二次积分也即也即其中函数其

3、中函数 在区间在区间 上连续上连续.Y型型7http:/mooker.80.hk1.当当D既不是既不是X-型区域也不是型区域也不是Y-型区域时型区域时,将将D分成几部分，使每部分是分成几部分，使每部分是X-型区域或型区域或是是Y-型区域型区域.2.当当D既是既是X-型区域也是型区域也是Y-型区域时型区域时,可以可以用两个公式进行计算用两个公式进行计算.yx0yx0cdabD8http:/mooker.80.hk特殊地特殊地即等于两个定积分的乘积即等于两个定积分的乘积.D为矩形域为矩形域:则则则则axb,cyd9http:/mooker.80.hk二重积分是二重积分是化为化为两次定积分两次定积分

4、来计算的，来计算的，关键关键是确定积分限是确定积分限.定限要注意的问题：定限要注意的问题：1.上限上限下限下限.2.内层积分的上，下限应为外层积分变量的函数内层积分的上，下限应为外层积分变量的函数.3.外层积分上，下限应为常数外层积分上，下限应为常数(后积先定限后积先定限).4.4.二重积分的结果应为常数二重积分的结果应为常数.10http:/mooker.80.hk例例 计算计算其中其中D是由直线是由直线y=1,x=2及及y=x所围成的闭区域所围成的闭区域.解法解法1 1：先先y后后x xyx012y=xy=1x=211http:/mooker.80.hk解法解法2 2：先先x后后yyx01

5、2y=xx=2 y12http:/mooker.80.hk解解例例 计算计算(1,1)13http:/mooker.80.hk选取积分次序选取积分次序,不仅要看区域的特点不仅要看区域的特点,而且要看被积函数而且要看被积函数的特点的特点.凡遇如下形式积分凡遇如下形式积分:等等等等,一定要放在一定要放在后面积分后面积分.14http:/mooker.80.hk解解积分区域如图积分区域如图例例 改变积分改变积分 的次序的次序.15http:/mooker.80.hk例例交换积分次序：交换积分次序：解解原式原式=16http:/mooker.80.hk例例 交换积分次序：交换积分次序：解解 积分区域积

6、分区域:原式原式=17http:/mooker.80.hk例例 求证求证 左边的累次积分中左边的累次积分中,提示提示不能直接计算，不能直接计算，是是y的抽象函数的抽象函数,证毕证毕.要先交换积分次序要先交换积分次序.证明证明18http:/mooker.80.hk例例 求两个底圆半径为求两个底圆半径为R,且这两个圆柱面的方程分且这两个圆柱面的方程分别为别为 及及 解解 求所围成的求所围成的立体的体积立体的体积.19http:/mooker.80.hk解解 曲面围成的立体如图曲面围成的立体如图.例例 求由下列曲面所围成的立体体积，求由下列曲面所围成的立体体积，20http:/mooker.80.

7、hk21http:/mooker.80.hk例例解解22http:/mooker.80.hk补充补充轮换轮换对称性结论对称性结论:若若D关于关于x,y满足轮换对称性满足轮换对称性(将将D的边界的边界曲线方程中的曲线方程中的x与与y交换位置交换位置,方程不变方程不变),则则23http:/mooker.80.hk证证所以所以,例例24http:/mooker.80.hk二重积分在直角坐标下的计算公式二重积分在直角坐标下的计算公式（在积分中要正确选择（在积分中要正确选择积分次序积分次序）小结小结Y型型X型型（1）化二重积分为二次积分；）化二重积分为二次积分；（2）交换积分次序；）交换积分次序；题型

8、题型25http:/mooker.80.hk作业作业习题习题8-2(1)8-2(1)(77(77页页)3.(1)(3)(4)4.5.6.(1)(2)7.(2)(3)26http:/mooker.80.hk 计算计算(学生练习学生练习）答案答案：27http:/mooker.80.hk解解由给出的积分画出相由给出的积分画出相应的积分区域应的积分区域练习练习28进入夏天，少不了一个热字当头，电扇空调陆续登场，每逢此时，总会想起进入夏天，少不了一个热字当头，电扇空调陆续登场，每逢此时，总会想起那一把蒲扇。蒲扇，是记忆中的农村，夏季经常用的一件物品。记忆中的故那一把蒲扇。蒲扇，是记忆中的农村，夏季经常

9、用的一件物品。记忆中的故乡，每逢进入夏天，集市上最常见的便是蒲扇、凉席，不论男女老少，个个手持乡，每逢进入夏天，集市上最常见的便是蒲扇、凉席，不论男女老少，个个手持一把，忽闪忽闪个不停，嘴里叨叨着一把，忽闪忽闪个不停，嘴里叨叨着“怎么这么热怎么这么热”，于是三五成群，聚在大树，于是三五成群，聚在大树下，或站着，或随即坐在石头上，手持那把扇子，边唠嗑边乘凉。孩子们却在周下，或站着，或随即坐在石头上，手持那把扇子，边唠嗑边乘凉。孩子们却在周围跑跑跳跳，热得满头大汗，不时听到围跑跑跳跳，热得满头大汗，不时听到“强子，别跑了，快来我给你扇扇强子，别跑了，快来我给你扇扇”。孩。孩子们才不听这一套，跑个没

10、完，直到累气喘吁吁，这才一跑一踮地围过了，这时子们才不听这一套，跑个没完，直到累气喘吁吁，这才一跑一踮地围过了，这时母亲总是，好似生气的样子，边扇边训，母亲总是，好似生气的样子，边扇边训，“你看热的，跑什么？你看热的，跑什么？”此时这把蒲扇，此时这把蒲扇，是那么凉快，那么的温馨幸福，有母亲的味道！蒲扇是中国传统工艺品，在是那么凉快，那么的温馨幸福，有母亲的味道！蒲扇是中国传统工艺品，在我国已有三千年多年的历史。取材于棕榈树，制作简单，方便携带，且蒲扇的表我国已有三千年多年的历史。取材于棕榈树，制作简单，方便携带，且蒲扇的表面光滑，因而，古人常会在上面作画。古有棕扇、葵扇、蒲扇、蕉扇诸名，实即面光滑，因而，古人常会在上面作画。古有棕扇、葵扇、蒲扇、蕉扇诸名，实即今日的蒲扇，江浙称之为芭蕉扇。六七十年代，人们最常用的就是这种，似圆非今日的蒲扇，江浙称之为芭蕉扇。六七十年代，人们最常用的就是这种，似圆非圆，轻巧又便宜的蒲扇。蒲扇流传至今，我的记忆中，它跨越了半个世纪，圆，轻巧又便宜的蒲扇。蒲扇流传至今，我的记忆中，它跨越了半个世纪，也走过了我们的半个人生的轨迹，携带着特有的念想，一年年，一天天，流向长也走过了我们的半个人生的轨迹，携带着特有的念想，一年年，一天天，流向长长的时间隧道，袅长的时间隧道，袅结束