函数极限存在的条件(精)培训讲学.ppt

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1、函数极限存在的条件函数极限存在的条件(精精)3 函数极限存在的条件函数极限存在的条件一、一、的的定义定义的的定义定义:若若当当时时,有有的的定义定义:若若尽管尽管但但用用定义证明定义证明1)估计估计2)求出满足两个不等式求出满足两个不等式的的通常与通常与有关有关)例例1 证明证明分析分析:在空心邻域在空心邻域内内,是否总能找到是否总能找到使得使得可取多少可取多少?事实上事实上,在在内内,一定可以取到一定可以取到使得使得进而有进而有证证:取取取取则则且且所以所以二、函数极限与数列极限的关系二、函数极限与数列极限的关系(海涅定理海涅定理(Heine)、归结原则、归结原则)问题问题若若是否是否归结原

2、则归结原则(海涅海涅(Heine)定理定理):定理定理3.8 设设f在在有定义有定义.存在存在对任何含于对任何含于且以且以为极限的数列为极限的数列极限极限存在且相等存在且相等.证证:(必要性必要性)设设由定义由定义又又故对上述故对上述进而有进而有即即(充分性充分性)由题设由题设,对对且且有有若若归结原则归结原则:定理定理3.8 设设f在在有定义有定义.存在存在对任何含于对任何含于且以且以为极限的数列为极限的数列极限极限存在且相等存在且相等.(充分性充分性)由题设由题设,对对且且有有若若特别对任意正整数特别对任意正整数相应可取到相应可取到尽管尽管但但显然显然但但矛盾矛盾.归结原则的应用归结原则的

3、应用:1)证明函数极限证明函数极限不存在不存在.由归结原则有由归结原则有:若若而而不存在不存在,则则不存在不存在.若若但但则则不存在不存在.例例2 证明极限证明极限不存在不存在.例例2 证明极限证明极限不存在不存在.证证:设设取取则则取取则则由归结原则由归结原则不存在不存在.2)根据函数的极限求数列的极限根据函数的极限求数列的极限.3)将函数极限的理论研究将函数极限的理论研究,转为数列极限的研究转为数列极限的研究.(见后柯西准则的证明见后柯西准则的证明)单侧极限的归结原则单侧极限的归结原则:定理定理3.9设设f在在有定义有定义.对任何含于对任何含于且以且以为极限的单调递减数列为极限的单调递减数

4、列都有都有定理定理3.9-1 设设f在在有定义有定义.对任何含于对任何含于且以且以为极限的递增数列为极限的递增数列都有都有三、单调有界定理三、单调有界定理数列极限的单调有界定理数列极限的单调有界定理:在实数系中在实数系中,有界的单调数列必有极限有界的单调数列必有极限.函数单侧极限的单调有界定理函数单侧极限的单调有界定理:定理定理3.10设设f在在单调有界单调有界,则则存在存在.三、单调有界定理三、单调有界定理数列极限的单调有界定理数列极限的单调有界定理:在实数系中在实数系中,有界的单调数列必有极限有界的单调数列必有极限.函数单侧极限的单调有界定理函数单侧极限的单调有界定理:定理定理3.10设设

5、f在在单调有界单调有界,则则存在存在.证证:不妨设不妨设f在在单调递增单调递增.对任何含于对任何含于且以且以为极限的递增数列为极限的递增数列为单调递增有界数列为单调递增有界数列,故故存在且相等存在且相等,由定理由定理3.9-1存在存在.四、柯西收敛准则四、柯西收敛准则数列极限的柯西收敛准则数列极限的柯西收敛准则:收敛收敛四、柯西收敛准则四、柯西收敛准则数列极限的柯西收敛准则数列极限的柯西收敛准则:收敛收敛函数极限的柯西收敛准则函数极限的柯西收敛准则:定理定理3.11 设设f在在有定义有定义.存在存在证证:(必要性必要性)(分析分析)要要证证能找到能找到使当使当时时,有有(I)定理定理3.11

6、设设f在在有定义有定义.存在存在证证:(必要性必要性)(分析分析)要要证证能找到能找到使当使当时时,有有(I)注意到注意到(II)再由条件再由条件故故对对上述的上述的存在存在使当使当时时,有有结结合合(II),即可得到即可得到(I).定理定理3.11 设设f在在有定义有定义.存在存在证证:(充分性充分性)(分析分析)应应用用归结归结原原则则、数列极限的柯西收、数列极限的柯西收敛敛准准则则.要要证证:对任何含于对任何含于且以且以为极限的数列为极限的数列极限极限存在且相等存在且相等.因因故对上述的故对上述的当当时时,有有由题设由题设,得得由数列极限柯西收敛准则由数列极限柯西收敛准则,存在存在.设设

7、且且则则存在存在.证证:(充分性充分性)(分析分析)应应用用归结归结原原则则、数列极限的柯西收、数列极限的柯西收敛敛准准则则.要要证证:对任何含于对任何含于且以且以为极限的数列为极限的数列极限极限存在且相等存在且相等.因因故对上述的故对上述的当当时时,有有由题设由题设,得得由数列极限柯西收敛准则由数列极限柯西收敛准则,存在存在.设设且且则则存在存在.若若则数列则数列(III)发散发散,但数列但数列以以为极限为极限,故故(III)收敛收敛,矛盾矛盾.注注:1)函数极限柯西收敛准则的等价形式函数极限柯西收敛准则的等价形式函数极限函数极限的柯西收敛准则：的柯西收敛准则：存在存在等价形式等价形式:存在

8、存在当当时时,有有2)函数极限柯西收敛准则的否定形式函数极限柯西收敛准则的否定形式不存在不存在(无论无论如何小如何小),总存在总存在使得使得2)函数极限柯西收敛准则的否定形式函数极限柯西收敛准则的否定形式不存在不存在(无论无论如何小如何小),总存在总存在使得使得用柯西准则否定形式证明极限用柯西准则否定形式证明极限不存在的基本思路不存在的基本思路:针对任意给定的针对任意给定的寻找满足以下条件的寻找满足以下条件的(1)(2)例例3 用柯西收敛准则证明用柯西收敛准则证明不存在不存在.思路思路:对于任意的对于任意的具体求出具体求出满足满足但但例例3 用柯西收敛准则证明用柯西收敛准则证明不存在不存在.思

9、路思路:对于任意的对于任意的具体求出具体求出尽管尽管但但问题问题:对于任意的对于任意的1)能否找到能否找到使得使得2)能否找到能否找到使得使得且且3)能否找到能否找到使得使得4)能否找到能否找到使得使得且且5)如果能找到满足条件如果能找到满足条件2)与与4)的的则则为保证为保证取取且只要且只要n足够大足够大,就有就有例例3 用柯西收敛准则证明用柯西收敛准则证明不存在不存在.思路思路:对于任意的对于任意的具体求出具体求出尽管尽管但但问题问题:对于任意的对于任意的2)能否找到能否找到使得使得且且4)能否找到能否找到使得使得且且5)如果能找到满足条件如果能找到满足条件2)与与4)的的则则考虑到要考虑到要可取可取且只要且只要n足够大足够大,就有就有事实上事实上,只要只要就有就有例例3 用柯西收敛准则证明用柯西收敛准则证明不存在不存在.证证:对于任意的对于任意的取取则当则当有有且且取取由柯西收敛准则由柯西收敛准则,不存在不存在.结束结束