经典高等数学d二重积分的计算课件.ppt

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1、1第1页，此课件共25页哦复习定积分的基本计算方法复习定积分的基本计算方法(1)微积分基本公式微积分基本公式:(2)定积分的换元公式：定积分的换元公式：(3)定积分的分部积分公式：定积分的分部积分公式：复习定积分的特殊计算方法复习定积分的特殊计算方法第2页，此课件共25页哦n 为奇数为奇数复习定积分的特殊计算方法复习定积分的特殊计算方法n 为偶数为偶数第3页，此课件共25页哦1.二重积分定义二重积分定义二重积分定义二重积分定义:知识回顾知识回顾2.2.性质性质性质性质:线性性，可加性，积分不等式，估值定理，积分线性性，可加性，积分不等式，估值定理，积分中值定理中值定理.4.利用积分区域的对称性

2、和被积函数的奇偶性简化利用积分区域的对称性和被积函数的奇偶性简化计算二重积分计算二重积分.3 3几何意义几何意义几何意义几何意义:第4页，此课件共25页哦第5页，此课件共25页哦(1)oX型区域型区域5.区域区域D的几种简单类型的几种简单类型(2)o oY型区域型区域第6页，此课件共25页哦将将D投影到投影到x轴上，轴上，若投影区间为若投影区间为a,b,用一组用一组平行于平行于y轴轴且且与与y轴同方向的直线轴同方向的直线穿越穿越D，入口入口线线方程为方程为出口线出口线方程为方程为X型型区域区域D:o对对Y型型同样可用同样可用平行线穿越法平行线穿越法.于是有：于是有：平行线穿越法平行线穿越法把区

3、域表示为不等式组的方法是：把区域表示为不等式组的方法是：第7页，此课件共25页哦注意：注意：注意：注意：1.1.有的区域可以看成有的区域可以看成X-型型型型 区域区域区域区域,D D:2.2.若为如图所示的复杂区域若为如图所示的复杂区域D D，则可以分割为则可以分割为则可以分割为则可以分割为:o而而均为简单区域均为简单区域.也可看成也可看成也可看成也可看成Y-Y-型区域型区域型区域型区域.xoyDcadb如矩形区域如矩形区域如矩形区域如矩形区域第8页，此课件共25页哦*三、二重积分的换元法三、二重积分的换元法 第二节一、利用直角坐标计算二重积分一、利用直角坐标计算二重积分 二、利用极坐标计算二

4、重积分二、利用极坐标计算二重积分 二重积分的计算法 第十章 第9页，此课件共25页哦假设：假设：(1)且在且在D上上连续，连续，(2)其中：其中：在在上上连续连续.oD由二重积分的几何意义，由二重积分的几何意义，应用计算应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积平行截面面积为已知的立体求体积”的方法的方法,而而一、利用直角坐标计算二重积分一、利用直角坐标计算二重积分第10页，此课件共25页哦oD固定固定于是得到：于是得到：则则则则x对对应的截面面积是应的截面面积是第11页，此课件共25页哦记记注意：注意：叫叫累次积分累次积分,也叫也叫二次积分二次积分.2.2.本质：化二重积分为二次定积分本质：化

5、二重积分为二次定积分本质：化二重积分为二次定积分本质：化二重积分为二次定积分,先计算先计算先计算先计算内积分内积分内积分内积分,后计后计算算外积分外积分外积分外积分.3.3.注意公式所对应的积分区域的类型注意公式所对应的积分区域的类型注意公式所对应的积分区域的类型注意公式所对应的积分区域的类型.4.4.若被积函数可积若被积函数可积若被积函数可积若被积函数可积,上述公式都成立上述公式都成立.叫叫内积分；内积分；叫叫外积分外积分.第12页，此课件共25页哦定理定理1定理定理2Y型型X型型第13页，此课件共25页哦说明说明:(1)若积分区域既是若积分区域既是X型区域又是型区域又是Y 型区域型区域,为

6、计算方便为计算方便,可选择积分次序可选择积分次序,必要时还可以交换必要时还可以交换 积分次序积分次序.则有则有(2)若积分域较复杂若积分域较复杂,可将它分成若干可将它分成若干X-型域或型域或Y-型域型域,则则 第14页，此课件共25页哦例例1.计算计算其中其中D是由直线是由直线y=1、x=2及及y=x所围成的三角形区域所围成的三角形区域.解解:(1)作出区域作出区域D的图形的图形o12xy(2)定限定限(平行线穿越法平行线穿越法)(3)化为累次积分：化为累次积分：(4)计算计算(先内后外先内后外)y=xy=1x第15页，此课件共25页哦另解另解:例例例例1.计算计算其中其中其中其中D是由直线是

7、由直线是由直线是由直线y=y=1 1、x x=2=2及及及及y y=x x所围成的三角形区域所围成的三角形区域所围成的三角形区域所围成的三角形区域.(1)(1)作出区域作出区域D D的图形的图形的图形的图形(2)(2)定限定限定限定限(平行线穿越法平行线穿越法平行线穿越法平行线穿越法)(3)(3)化为累次积分：化为累次积分：(4)(4)计算计算计算计算(先内后外先内后外)o2xyy=xy=1y12第16页，此课件共25页哦解解:例例2.求求其中其中D是由抛物线是由抛物线和和所围平面区域所围平面区域.两曲线的交点两曲线的交点则则oxyx第17页，此课件共25页哦另解另解:Y型型oxyy第18页，

8、此课件共25页哦分析分析:例例3.如图如图.则则xyo11解解:y第19页，此课件共25页哦例例4.计算计算其中其中D是由是由所围的区域所围的区域.解解:xyox=y+2(4,2)(1,-1)12区域区域D的图形如右阴影部分，的图形如右阴影部分，解方程组解方程组得交点坐标为得交点坐标为(1,1),(4,2),则则D：于是于是第20页，此课件共25页哦则有则有 若积分区域若积分区域D既是既是X-型又是型又是Y-型，若按型，若按X-型型(先对先对y 后后对对 x)区域计算比较麻烦时，应选取区域计算比较麻烦时，应选取Y-型区域，先对型区域，先对x后后对对y进行积分进行积分.xyox=y+2(4,2)

9、(1,-1)-12第21页，此课件共25页哦求二重积分的步骤求二重积分的步骤:1.作图求交点作图求交点(在平面直角坐标系内在平面直角坐标系内).2.确定积分次序确定积分次序(原则原则:内积分易积内积分易积,积分区域积分区域 简单简单);函函数原则，区域原则数原则，区域原则.4.计算计算(先内积分后外积分先内积分后外积分;计算内积分时把外积分计算内积分时把外积分变量看成常数变量看成常数).故应掌握交换积分次序故应掌握交换积分次序,特别是有些累次积分不易特别是有些累次积分不易积时积时,应考虑交换积分次序应考虑交换积分次序.3.定限定限(定定X-型或型或Y型型,把把D写成不等式形式写成不等式形式).

10、外限定限方法外限定限方法-投影法投影法内限定限方法内限定限方法-平行线穿越法平行线穿越法第22页，此课件共25页哦例例5.改变积分次序改变积分次序D:解解:积分区域积分区域如图如图:所以所以原式原式=1oxy1-1x=1+yx=1-yD注：改变积分次序的一般步骤：注：改变积分次序的一般步骤：(1)由二次积分将区域由二次积分将区域D用不等式组表示；用不等式组表示；(2)由上面不等式组作出由上面不等式组作出D的图形；的图形；(3)改写成另一形式即可改写成另一形式即可.第23页，此课件共25页哦oxy第24页，此课件共25页哦解解:直接用对称性直接用对称性.xo oy y-11 11 1y=xy=x第25页，此课件共25页哦