行列式的性质与计算.ppt

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1、行列式的性质与计算行列式的性质与计算现在学习的是第1页，共31页一、行列式的性质一、行列式的性质性质性质性质性质1 1 1 1 行列式与它的转置行列式相等行列式与它的转置行列式相等.行列式行列式 称为行列式称为行列式 的转置行列式的转置行列式.记记说明说明 行列式中行与列具有行列式中行与列具有同等的地位同等的地位,因此行列因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.现在学习的是第2页，共31页性质性质性质性质2 2 2 2 行列式可以按行（列）提取公因子行列式可以按行（列）提取公因子.推论推论推论推论 如果行列式某一行（列）元素全为如果行列式某一行（列）元

2、素全为0，则行列，则行列式为式为0.行列式行列式的某行（列）中所有的元素都乘以同一数的某行（列）中所有的元素都乘以同一数 k，记记 ri k(ci k)，等于数，等于数 k 乘此行列式乘此行列式.现在学习的是第3页，共31页例例推论推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则此如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零行列式为零.证明证明互换相同的两行，有互换相同的两行，有 性质性质性质性质3 3 3 3 互换行列式的两行（列）互换行列式的两行（列）,行列式变号行列式变号.现在学习的是第4页，共31页推论推论行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列

3、式为零列式为零证明证明现在学习的是第5页，共31页性质性质4 4按行按行(按列按列)展开展开则则 D 等于两个行列式之和等于两个行列式之和.例如例如若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和,现在学习的是第6页，共31页性质性质4 4按行按行(按列按列)展开展开（2 2）该性质可以理解为两个该性质可以理解为两个行列式的加法行列式的加法，它与，它与矩阵的加法有着本质的区别矩阵的加法有着本质的区别.注注（1 1）该性质可以推广到行列式的某一行）该性质可以推广到行列式的某一行 （列）为（列）为多多组元素的和组元素的和的情形的情形.现在学习的是第7页，共31页性质

4、性质5把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数然后加到另一行（列）对应的元素上去，行列式数然后加到另一行（列）对应的元素上去，行列式不变不变例如例如现在学习的是第8页，共31页性质性质6 6 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）对行列式任一行（列）的元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于零应元素的代数余子式乘积之和等于零.证证现在学习的是第9页，共31页同理同理相同相同现在学习的是第10页，共31页定理定理2 代数余子式的重要性质代数余子式的重要性质现在学习的是第11页，共31页 解解例例已知已知4阶行列式阶行列式求求现在学习的是第12页，共

5、31页 解解例例已知已知4阶行列式阶行列式求求现在学习的是第13页，共31页例例二、应用举例二、应用举例 计算行列式计算行列式常用方法常用方法：利用运算把行：利用运算把行列式化为上三角行列式，从而算得行列式的值列式化为上三角行列式，从而算得行列式的值现在学习的是第14页，共31页解解现在学习的是第15页，共31页现在学习的是第16页，共31页现在学习的是第17页，共31页现在学习的是第18页，共31页现在学习的是第19页，共31页例例 计算计算 阶行列式阶行列式解解将第将第 都加到第一列得都加到第一列得现在学习的是第20页，共31页现在学习的是第21页，共31页 解解例例求行列式的值求行列式的

6、值现在学习的是第22页，共31页例例 证明证明现在学习的是第23页，共31页证明证明现在学习的是第24页，共31页现在学习的是第25页，共31页 解解例例求行列式的值求行列式的值现在学习的是第26页，共31页 证证用数学归纳法用数学归纳法例例证明范德蒙德证明范德蒙德(Vandermonde)行列式行列式现在学习的是第27页，共31页现在学习的是第28页，共31页 n-1阶范德蒙德行列式阶范德蒙德行列式现在学习的是第29页，共31页 解解D5 是是 5 阶范德蒙行列式阶范德蒙行列式例例求五阶行列式的值求五阶行列式的值现在学习的是第30页，共31页 (行列式中行与列具有同等的地行列式中行与列具有同等的地位位,行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立).计算行列式常用方法：计算行列式常用方法：(1)利用定义利用定义;(2)利用性利用性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值的值三、小结三、小结行列式的行列式的6个性质个性质现在学习的是第31页，共31页