热传导问题的数值解法1讲课教案.ppt

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1、热传导问题的数值解法1n数值解：数值解：用导热体内有限个离散点上的温度值的集合来代替实际连续的温度场用导热体内有限个离散点上的温度值的集合来代替实际连续的温度场分布分布n数值解获取方法：数值解获取方法：通过求解按一定方法建立起来的关于离散点上所求物理量的代数方程通过求解按一定方法建立起来的关于离散点上所求物理量的代数方程组，来获得离散点上所求物理量的数值组，来获得离散点上所求物理量的数值4.1.1 4.1.1 基本思想基本思想返回返回1.建立所求问题的数学描述建立所求问题的数学描述2.确定导热体内的离散节点确定导热体内的离散节点（区域离散化）（区域离散化）3.建立节点物理量的代数方程建立节点物

2、理量的代数方程4.设立温度场的迭代初值设立温度场的迭代初值5.求解代数方程组求解代数方程组6.解的分析解的分析4.1.2 4.1.2 导热问题数值求解的基本步骤导热问题数值求解的基本步骤1.1.数学描述数学描述n二维矩形区域内的稳态、无内热源、常物性导热问题二维矩形区域内的稳态、无内热源、常物性导热问题网格划分：网格划分：用一系列与坐标轴平行网格线把求解区域划分成许多子区域用一系列与坐标轴平行网格线把求解区域划分成许多子区域节点节点:网格线的交点，是需要确定温度值网格线的交点，是需要确定温度值的空间位置。分内节点和外节点两大类的空间位置。分内节点和外节点两大类步长：相邻两节点间距离，步长：相邻

3、两节点间距离，x x和和y y方向可不方向可不相等，在一个方向步长也可不均匀相等，在一个方向步长也可不均匀控制容积控制容积:节点代表的区域节点代表的区域,由相邻两节由相邻两节点连线的中垂线构成，也叫元体点连线的中垂线构成，也叫元体界面界面:控制容积的边界控制容积的边界均分网格均分网格:2.2.区域离散化区域离散化3.3.建立节点物理量的代数方程建立节点物理量的代数方程关于节点物理量的代数方程也称离散方程，建立关于节点物理量的代数方程也称离散方程，建立离散方程是数值求解过程中的重要环节，包括计离散方程是数值求解过程中的重要环节，包括计算区域内部和外部节点的离散方程，是本章的重算区域内部和外部节点

4、的离散方程，是本章的重点内容。点内容。返回返回4.4.设立温度场的迭代初值设立温度场的迭代初值节点代数方程组的求解一般采用迭代法，这时需要对被求解的温度节点代数方程组的求解一般采用迭代法，这时需要对被求解的温度场预先假定一个初始温度分布，称为初场场预先假定一个初始温度分布，称为初场5.5.求解代数方程组求解代数方程组选用能够得到收敛解的代数方程组求解方法选用能够得到收敛解的代数方程组求解方法6.6.解的分析解的分析对数值解的结果进行分析，得到有用的结论以指导生产和设计对数值解的结果进行分析，得到有用的结论以指导生产和设计4.2 4.2 内节点离散方程的建立方法内节点离散方程的建立方法4.2.1

5、 Taylor 4.2.1 Taylor 级数展开法级数展开法n包括包括TaylorTaylor级数展开法和热平衡法级数展开法和热平衡法4.2.2 4.2.2 热平衡法（热力学第一定律）热平衡法（热力学第一定律）返回返回n两式相加得两式相加得:4.2.1 Taylor 4.2.1 Taylor 级数展开法级数展开法n对节点对节点(m+1,n)(m+1,n)和节点和节点(m-1,n)(m-1,n)分别写出分别写出t对对节点节点(m,n)的的TaylorTaylor级数展开级数展开:n首先推导温度在首先推导温度在x方向二阶导数的代数表达式方向二阶导数的代数表达式n略去截断误差，得到温度在略去截断误

6、差，得到温度在x x方向二阶导数的中心差分表达式方向二阶导数的中心差分表达式:n同理同理,得温度在得温度在y y方向二阶导数的中心差分表达式方向二阶导数的中心差分表达式:n将差分表达式代入控制方程将差分表达式代入控制方程n如果如果得得:则有则有:n在均分网格中，一、二阶导数常见的差分表达式如下表所示：在均分网格中，一、二阶导数常见的差分表达式如下表所示：返回返回4.2.2 4.2.2 热平衡法（热力学第一定律）热平衡法（热力学第一定律）newsn热平衡法不是在控制方程的基础上进行离热平衡法不是在控制方程的基础上进行离散，而是直接对元体应用热力学第一定律散，而是直接对元体应用热力学第一定律和傅里

7、叶定律，从而得到该节点温度的离和傅里叶定律，从而得到该节点温度的离散方程。散方程。n二维稳态常导热系数无内热源的稳态导热二维稳态常导热系数无内热源的稳态导热问题，对元体问题，对元体(m,n)(m,n)列出能量守恒方程：列出能量守恒方程：从元体西界面导入的热量为从元体西界面导入的热量为:从元体东界面导入的热量为从元体东界面导入的热量为:从元体南界面导入的热量为从元体南界面导入的热量为:从元体北界面导入的热量为从元体北界面导入的热量为:newsn将各表达式代入对元体将各表达式代入对元体(m,n)(m,n)能量守恒方程得：能量守恒方程得：n整理得整理得:n所得结果与所得结果与TaylorTaylor

8、级数法结果相同级数法结果相同n采用热平衡法建立节点的离散方程，物理概念清晰，推导过程简单，并采用热平衡法建立节点的离散方程，物理概念清晰，推导过程简单，并且对于建立边界节点的离散方程也能适用，需要很好的掌握。且对于建立边界节点的离散方程也能适用，需要很好的掌握。返回返回4.3 4.3 边界节点离散方程的建立及代数方程的求解边界节点离散方程的建立及代数方程的求解4.3.1 4.3.1 边界节点离散方程的建立边界节点离散方程的建立4.3.2 4.3.2 处理不规则区域的阶梯型逼近法处理不规则区域的阶梯型逼近法（不要求）（不要求）4.3.3 4.3.3 求解代数方程的迭代法求解代数方程的迭代法返回返

9、回n边界节点的离散方程的形式与边界条件的类型有关边界节点的离散方程的形式与边界条件的类型有关一、第一类边界条件情形一、第一类边界条件情形4.3.1 4.3.1 边界节点离散方程的建立边界节点离散方程的建立n如果所有边界均为第一类边界条件类如果所有边界均为第一类边界条件类型，由于此时边界温度值为已知，所型，由于此时边界温度值为已知，所有内节点的离散方程组成了一个封闭有内节点的离散方程组成了一个封闭的代数方程组，可以封闭求解。因此的代数方程组，可以封闭求解。因此这种情形边界节点不需要离散方程。这种情形边界节点不需要离散方程。n此时边界温度值未知，需建立边界节点温度的离散方程。此时边界温度值未知，需

10、建立边界节点温度的离散方程。n设边界热流密度为设边界热流密度为qwqw，并且导热体内有内热源，下面采用元体能量，并且导热体内有内热源，下面采用元体能量平衡法来建立边界节点温度的离散方程。平衡法来建立边界节点温度的离散方程。n如如二、第二类边界条件情形二、第二类边界条件情形1 1、平直边界上的节点、平直边界上的节点n边界节点边界节点(m,n)(m,n)代表的区域为半个普通大小元体。代表的区域为半个普通大小元体。对该半个元体应用能量平衡（稳态情形）对该半个元体应用能量平衡（稳态情形），则有：，则有：2 2、边界上的外部角点、边界上的外部角点n边界节点边界节点D D代表的区域为代表的区域为1/41/

11、4个普通元体大小个普通元体大小的面积。对该外部节点元体应用能量平衡的面积。对该外部节点元体应用能量平衡n如如，则有：，则有：3 3、边界上的内部角点、边界上的内部角点n边界节点边界节点F F代表的区域为代表的区域为3/43/4个普通元体大小个普通元体大小的面积。对该外部节点元体应用能量平衡的面积。对该外部节点元体应用能量平衡n如如，则有：，则有：三、第三类边界条件情形三、第三类边界条件情形n将该热流密度的表达式代入第二类边界条件中，可将该热流密度的表达式代入第二类边界条件中，可得第三类边界条件下边界节点的离散方程。得第三类边界条件下边界节点的离散方程。n对于对于x=yx=y的情形，有的情形，有

12、:平直边界节点：平直边界节点：内部角点：内部角点：外部角点：外部角点：返回返回4.3.2 4.3.2 处理不规则区域的阶梯型逼近法处理不规则区域的阶梯型逼近法n不要求掌握不要求掌握返回返回4.3.3 4.3.3 求解代数方程的迭代法求解代数方程的迭代法n代数方程组的求解方法分为直接解法（高斯消元法等）和迭代法。本代数方程组的求解方法分为直接解法（高斯消元法等）和迭代法。本书仅介绍迭代法中的高斯书仅介绍迭代法中的高斯-赛德尔迭代法。赛德尔迭代法。n下面以简单的三元方程组为例说明该方法的步骤：下面以简单的三元方程组为例说明该方法的步骤：（1 1）将方程组改写成关于）将方程组改写成关于t1,t2,t

13、3t1,t2,t3的显式形式，即迭代方程。的显式形式，即迭代方程。1.1.高斯高斯-赛德尔迭代法赛德尔迭代法（2 2）假设一组解（即迭代初场），记为）假设一组解（即迭代初场），记为t t1 1(0)(0)、t t2 2(0)(0)、t t3 3(0)(0),由迭代公由迭代公式式逐一逐一计算出改进值计算出改进值t1(1)、t2(1)、t3(1)。每次计算均用。每次计算均用t的最新值代入。的最新值代入。（3 3）以计算所得之值作为初场，重复上述计算，直到相邻两次迭代值之差以计算所得之值作为初场，重复上述计算，直到相邻两次迭代值之差小于允许值，此时称为已经达到迭代收敛，迭代计算终止。小于允许值，此时

14、称为已经达到迭代收敛，迭代计算终止。2.2.迭代过程是否已经收敛的判据迭代过程是否已经收敛的判据n判断迭代是否已经收敛的判据常用的有三种：判断迭代是否已经收敛的判据常用的有三种：n允许的相对偏差允许的相对偏差之值一般在之值一般在10-310-6之间，视具体情况而定之间，视具体情况而定3.3.迭代过程能否收敛的判据迭代过程能否收敛的判据n对于常物性导热问题所组成的差分方程组，迭代公式的选择对于常物性导热问题所组成的差分方程组，迭代公式的选择应使每一个迭代变量的系数总是大于或等于该式中其他变量应使每一个迭代变量的系数总是大于或等于该式中其他变量系数绝对值之和，此时用迭代法求解代数方程一定收敛。系数

15、绝对值之和，此时用迭代法求解代数方程一定收敛。n该条件在数学上称为主对角线占优。该条件在数学上称为主对角线占优。返回返回4.4 4.4 非稳态导热问题的数值解法非稳态导热问题的数值解法4.4.1 4.4.1 时间时间-空间区域的离散化空间区域的离散化n相比稳态问题，在非稳态导热微分方程中多了非稳态项，因此需要相比稳态问题，在非稳态导热微分方程中多了非稳态项，因此需要学习非稳态项的离散方法。扩散项的离散方法与前者相同。学习非稳态项的离散方法。扩散项的离散方法与前者相同。4.4.2 4.4.2 非稳态导热问题离散的显式格式非稳态导热问题离散的显式格式4.4.3 4.4.3 非稳态导热问题离散的隐式

16、格式非稳态导热问题离散的隐式格式4.4.4 4.4.4 边界节点的离散方程边界节点的离散方程4.4.5 4.4.5 非稳态导热显式格式离散方程组及稳定性分析非稳态导热显式格式离散方程组及稳定性分析返回返回n以一维非稳态导热问题为例，介绍非稳态导以一维非稳态导热问题为例，介绍非稳态导热问题的离散化。热问题的离散化。n在空间在空间-时间坐标系中对所研究的空间区域时间坐标系中对所研究的空间区域和时间区域进行离散和时间区域进行离散时间坐标时间坐标 分成分成I-1I-1等份，等份，为为时间步长时间步长n空间网格线与时间网格线的交点（空间网格线与时间网格线的交点（n,in,i）代表了时间）代表了时间-空间

17、区域中的一个空间区域中的一个节点位置节点位置t tn n(i)(i)4.4.1 4.4.1 时间时间-空间区域的离散化空间区域的离散化空间坐标空间坐标 x 分成分成 N-1等份，等份，x 为空间步长为空间步长n采用泰勒级数展开，得温度在节点（采用泰勒级数展开，得温度在节点（n,in,i）处的非稳态项一阶导数的三）处的非稳态项一阶导数的三种差分格式种差分格式向前差分向前差分向后差分向后差分中心差分中心差分n上述三种非稳态项差分格式都有应用，本书主要以向前差分格式为主上述三种非稳态项差分格式都有应用，本书主要以向前差分格式为主返回返回n直角坐标系一维非稳态常物性无内热源第三类边界条件导热数学描述为

18、：直角坐标系一维非稳态常物性无内热源第三类边界条件导热数学描述为：n上述离散方程一旦上述离散方程一旦i i时层各节点温度已知，每一个离散方程中只有一个未时层各节点温度已知，每一个离散方程中只有一个未知量，因此可以立即求出知量，因此可以立即求出i+1i+1时层上各内部节点的温度，而不必联立求解时层上各内部节点的温度，而不必联立求解方程组。这种离散方程的计算格式称为显式差分格式方程组。这种离散方程的计算格式称为显式差分格式n显式格式的优点是计算量小，但时间和空间步长不能太大，存在求解不显式格式的优点是计算量小，但时间和空间步长不能太大，存在求解不稳定问题。稳定问题。4.4.2 4.4.2 非稳态导

19、热问题离散的显式格式非稳态导热问题离散的显式格式n对该方程，扩散项在对该方程，扩散项在i时刻采用中心差分格式，非时刻采用中心差分格式，非稳态项取向前差分格式进行离散，得：稳态项取向前差分格式进行离散，得：控制方程控制方程返回返回n对该方程，扩散项在对该方程，扩散项在i+1时刻采用中心差分格式，非稳态项取向前差时刻采用中心差分格式，非稳态项取向前差分格式进行离散，得：分格式进行离散，得：n上述离散方程中在上述离散方程中在i i时层各节点温度已知时，方程中有三个时层各节点温度已知时，方程中有三个i+1i+1时层时层上的位置温度，因此需联立求解方程组。这种离散方程的计算格式上的位置温度，因此需联立求

20、解方程组。这种离散方程的计算格式称为隐式差分格式称为隐式差分格式n隐式格式的缺点是计算工作量大，但它对时间和空间步长无限制，隐式格式的缺点是计算工作量大，但它对时间和空间步长无限制，不存在求解不稳定问题不存在求解不稳定问题4.4.3 4.4.3 非稳态导热问题离散的隐式格式非稳态导热问题离散的隐式格式返回返回4.4.4 4.4.4 边界节点的离散方程边界节点的离散方程n同稳态问题类似，非稳态导热问题的离散也可同稳态问题类似，非稳态导热问题的离散也可采用元体能量平衡法。下面以边界节点的离散采用元体能量平衡法。下面以边界节点的离散方程为例介绍。方程为例介绍。n一无限大平板的右边界部分为第三类边界条

21、件，一无限大平板的右边界部分为第三类边界条件，对边界节点对边界节点N N建立其离散方程。建立其离散方程。n边界节点边界节点N N代表宽度为代表宽度为x/2x/2的元体，对该元体应的元体，对该元体应用能量平衡进行分析用能量平衡进行分析n整理得：整理得：n引入特征数：引入特征数：由于上述特征数的特征尺度为网格宽度，故称网格傅里叶数和网格毕渥数由于上述特征数的特征尺度为网格宽度，故称网格傅里叶数和网格毕渥数n边界节点的离散方程可以写成：边界节点的离散方程可以写成：n内节点的显式离散方程可以写成：内节点的显式离散方程可以写成：返回返回4.4.5 4.4.5 非稳态导热显式格式离散方程组及稳定性分析非稳

22、态导热显式格式离散方程组及稳定性分析n直角坐标系一维非稳态常物性无内热源两直角坐标系一维非稳态常物性无内热源两边第三类边界条件导热问题，根据对称性边第三类边界条件导热问题，根据对称性取一半分析，其数学描述为：取一半分析，其数学描述为：右侧边界节点：右侧边界节点：左侧边界节点：左侧边界节点：初始条件：初始条件：控制方程：控制方程：n数学描述的显式离散方程为：数学描述的显式离散方程为：右侧边界节点：右侧边界节点：内节点：内节点：左侧边界节点：左侧边界节点：初始条件：初始条件：n对于前述显式格式离散方程，要保证求解过程稳定性应满足以下要求：对于前述显式格式离散方程，要保证求解过程稳定性应满足以下要求

23、：对内部节点：对内部节点：对第三类边界条件的外部节点：对第三类边界条件的外部节点：对第一、二类边界条件的外部节点，无稳定性限制对第一、二类边界条件的外部节点，无稳定性限制即即返回返回例题讲解例题讲解请列出下图所示直径为请列出下图所示直径为d的圆截面直肋的一维稳态、无内热源、常物性导热的圆截面直肋的一维稳态、无内热源、常物性导热问题内节点问题内节点2的离散方程式（导热系数为的离散方程式（导热系数为，肋高方向的步长为，肋高方向的步长为x）。）。对节点对节点2，列热平衡式：，列热平衡式：即：第二章作业讲评第二章作业讲评2-1 基本无问题。一维稳态无内热源导热问题，可用热阻分析法求解。基本无问题。一维

24、稳态无内热源导热问题，可用热阻分析法求解。2-3 基本无问题。一维稳态无内热源导热问题，可用热阻分析法求解（热阻串基本无问题。一维稳态无内热源导热问题，可用热阻分析法求解（热阻串联）。联）。2-15 柱坐标系下的一维非稳态无内热源导热问题，可用热阻分析法（热阻串柱坐标系下的一维非稳态无内热源导热问题，可用热阻分析法（热阻串联）。当半径较小时，不能采用平壁的有关公式计算。当增加煤灰泡沫砖的厚联）。当半径较小时，不能采用平壁的有关公式计算。当增加煤灰泡沫砖的厚度时，一般情况热损失会减小，交界面处温度会降低。（要用到临界热绝缘直度时，一般情况热损失会减小，交界面处温度会降低。（要用到临界热绝缘直径的

25、概念）径的概念）2-16 基本无问题。柱坐标系的一维稳态无内热源导热问题基本无问题。柱坐标系的一维稳态无内热源导热问题2-23 保温材料的导热是一维稳态无内热源导热问题，球壳导热与外表面对流保温材料的导热是一维稳态无内热源导热问题，球壳导热与外表面对流传热两个传热环节串联。外表面的复合换热表面传热系数包含了对流和辐射两传热两个传热环节串联。外表面的复合换热表面传热系数包含了对流和辐射两种传热方式的影响种传热方式的影响第二章作业讲评第二章作业讲评2-30 属于变截面常导热系数的一维稳态无内热源导热问题，需要根据热力学第属于变截面常导热系数的一维稳态无内热源导热问题，需要根据热力学第一定律和傅里叶

26、导热定律建立起温度控制方程，然后进行求解。导热体内温度一定律和傅里叶导热定律建立起温度控制方程，然后进行求解。导热体内温度分布曲线也应会定性画出。分布曲线也应会定性画出。2-34 属于等截面变导热系数的一维稳态无内热源导热问题，需要根据热力学第属于等截面变导热系数的一维稳态无内热源导热问题，需要根据热力学第一定律和傅里叶导热定律建立起温度控制方程，然后进行求解。导热体内温度一定律和傅里叶导热定律建立起温度控制方程，然后进行求解。导热体内温度分布曲线形状对于分布曲线形状对于t1t2和和t1t2两种情况应分别画出。（可以只将平板水平在两种情况应分别画出。（可以只将平板水平在水平方向改变方向即可得出

27、）水平方向改变方向即可得出）2-39 变截面积、变导热系数、有内热源、侧面可以有对流传热的一维稳态导热变截面积、变导热系数、有内热源、侧面可以有对流传热的一维稳态导热问题，需要取微元体对其列出热力学第一定律表达式，然后代入各项表达式问题，需要取微元体对其列出热力学第一定律表达式，然后代入各项表达式2-53 方法同例题方法同例题2-6，只不过该题已知肋端的无量纲过余温度，只不过该题已知肋端的无量纲过余温度H/0，需要确定，需要确定肋长肋长H导热部分要求整个导热部分，对一些重要概念、公式及特征数要求熟练掌握，会利整个导热部分，对一些重要概念、公式及特征数要求熟练掌握，会利用所讲的知识定性分析一些与

28、导热有关的生活或工程问题。用所讲的知识定性分析一些与导热有关的生活或工程问题。稳态导热部分中，具有内热源的导热及变截面变导热系数导热问题是稳态导热部分中，具有内热源的导热及变截面变导热系数导热问题是要求掌握的；肋片部分求解方法不要求、结果公式不要求记、掌握一要求掌握的；肋片部分求解方法不要求、结果公式不要求记、掌握一些关于肋片的结论即可；多维稳态导热问题，了解即可。些关于肋片的结论即可；多维稳态导热问题，了解即可。非稳态导热问题中，重点是集中参数法，要求熟练掌握；一维非稳态非稳态导热问题中，重点是集中参数法，要求熟练掌握；一维非稳态导热问题和半无限大物体非稳态导热，掌握物理和数学描写、结果一导热问题和半无限大物体非稳态导热，掌握物理和数学描写、结果一般会用即可。般会用即可。导热数值求解部分，重点是用能量平衡法导出稳态问题内部和外部节导热数值求解部分，重点是用能量平衡法导出稳态问题内部和外部节点的温度离散方程，其它部分理解。点的温度离散方程，其它部分理解。第四章 思考题及习题作业思考题：2，6（不交）习题：4-4（仅写出节点2、3的离散方程）4-9（仅写出节点1、6、9的离散方程）4-15（仅写出节点3、4的离散方程）返回此课件下载可自行编辑修改，仅供参考！此课件下载可自行编辑修改，仅供参考！感谢您的支持，我们努力做得更好！谢谢感谢您的支持，我们努力做得更好！谢谢