行列式按一行列展开.ppt

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1、行列式按一行列展开1现在学习的是第1页，共39页例如例如一、余子式与代数余子式2现在学习的是第2页，共39页在在 阶行列式中，把元素阶行列式中，把元素 所在的第所在的第 行和第行和第 列划去后，留下来的列划去后，留下来的 阶行列式叫做元素阶行列式叫做元素 的的余子式余子式，记作，记作叫做元素叫做元素 的的代数余子式代数余子式例如例如3现在学习的是第3页，共39页4现在学习的是第4页，共39页引理引理 一个一个 阶行列式，如果其中第阶行列式，如果其中第 行所有行所有元素除元素除 外都为零，那末这行列式等于外都为零，那末这行列式等于 与它的与它的代数余子式的乘积，即代数余子式的乘积，即 证证当当

2、位于第一行第一列时位于第一行第一列时,即有即有又又从而从而再证一般情形再证一般情形,此时此时5现在学习的是第5页，共39页得得6现在学习的是第6页，共39页得得7现在学习的是第7页，共39页8现在学习的是第8页，共39页中的余子式中的余子式9现在学习的是第9页，共39页故得故得于是有于是有10现在学习的是第10页，共39页定理定理4.14.1 行列式等于它的任一行（列）的各元素与行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即其对应的代数余子式乘积之和，即或或二、行列式按行（列）展开法则二、行列式按行（列）展开法则11现在学习的是第11页，共39页下面我们对行的情形给出证明：

3、下面我们对行的情形给出证明：证证12现在学习的是第12页，共39页13现在学习的是第13页，共39页例例114现在学习的是第14页，共39页15现在学习的是第15页，共39页 证证用数学归纳法用数学归纳法例例2证明范德蒙德证明范德蒙德(Vandermonde)行列式行列式16现在学习的是第16页，共39页17现在学习的是第17页，共39页 n-1阶范德蒙德行列式阶范德蒙德行列式18现在学习的是第18页，共39页推论推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即元素的代数余子式乘积之和等于零，即或或19现在学习的是

4、第19页，共39页证证20现在学习的是第20页，共39页同理同理相同相同21现在学习的是第21页，共39页关于代数余子式的重要性质关于代数余子式的重要性质22现在学习的是第22页，共39页例例 计算行列式计算行列式解解按第一行展开，得按第一行展开，得23现在学习的是第23页，共39页例例 计算行列式计算行列式解解24现在学习的是第24页，共39页25现在学习的是第25页，共39页*拉普拉斯定理拉普拉斯定理26现在学习的是第26页，共39页27现在学习的是第27页，共39页28现在学习的是第28页，共39页定理定理4.14.1（拉普拉斯定理）设在行列式拉普拉斯定理）设在行列式D中任意取定中任意取

5、定了了k(1 1kn)个行。由这个行。由这k行元素所组成的一切行元素所组成的一切k阶子式阶子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D。29现在学习的是第29页，共39页例例证明证明30现在学习的是第30页，共39页证明证明按前按前k行展开根据拉普拉斯定理，去掉为零的项立行展开根据拉普拉斯定理，去掉为零的项立即可得结论，这相对上一节的方法而言，明显简即可得结论，这相对上一节的方法而言，明显简单得多。单得多。31现在学习的是第31页，共39页例例1 计算计算5阶行列式阶行列式32现在学习的是第32页，共39页 所以所以 D=126=6.解解:对对D的第的第1

6、,3 1,3 行用行用Laplace定理定理,在第在第1,3 1,3 行中不行中不为零的二阶子式分别是为零的二阶子式分别是 它们各自对应的代数余子式是它们各自对应的代数余子式是33现在学习的是第33页，共39页例例2 2 计算计算2n阶行列式阶行列式34现在学习的是第34页，共39页解解 对的第对的第n,n+1行应用行应用Laplace定理（按第定理（按第n,n+1 行展开）得行展开）得35现在学习的是第35页，共39页利用这个递推关系式有利用这个递推关系式有36现在学习的是第36页，共39页定理定理4.2 4.2(对角块行列式乘法法则对角块行列式乘法法则),则则若若若若 三角块三角块，则，则推论推论37现在学习的是第37页，共39页例例3 3 计算行列式计算行列式38现在学习的是第38页，共39页解解:39现在学习的是第39页，共39页