高等数学定积分的物理应用新.ppt

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1、高等数学定积分的物理应用新现在学习的是第1页，共41页5.9 定积分的物理应用定积分的物理应用二二.液体压力液体压力 一一.变力沿直线做功变力沿直线做功 习例习例1三三.万有引力万有引力四、函数的平均值与均方根四、函数的平均值与均方根习例习例2习例习例定定 积积 分分 的的 物物 理理 应应 用用习例习例现在学习的是第2页，共41页一、变力沿直线所作的功一、变力沿直线所作的功 变力作功包括有：电场力作功、气体压力作功、变力作功包括有：电场力作功、气体压力作功、克服阻力作功、万有引力作功、克服阻力作功、万有引力作功、弹力作功等弹力作功等.现在学习的是第3页，共41页解题思路：解题思路：(1)适当

2、选取坐标系及积分变量；适当选取坐标系及积分变量；(2)写出功元素写出功元素 dw 的表达式；的表达式；(以不变代变，其中用了公式以不变代变，其中用了公式(3)列出定积分并求值即得列出定积分并求值即得 w.一、变力沿直线所作的功一、变力沿直线所作的功 现在学习的是第4页，共41页 由于力由于力 的大小随物体所在的位置变化而变化，的大小随物体所在的位置变化而变化，因此它是一个因此它是一个 的函数，记为的函数，记为 ，并且假定，并且假定在在 上连续。求变力上连续。求变力 在上在上 所作的功？所作的功？设物体在设物体在 轴上运动，且轴上运动，且在从在从 移动到移动到 的过程中，的过程中，一直受到跟一直

3、受到跟 轴的正方向一轴的正方向一致的变力致的变力 的作用，的作用，如图所示如图所示 考虑用定积分的元素法。考虑用定积分的元素法。(1)选选 为积分变量，则为积分变量，则现在学习的是第5页，共41页 (2)在在 上任取一小区间上任取一小区间 ,当物体从当物体从 移动到移动到 时，由于位移很小，变力近似于恒力，时，由于位移很小，变力近似于恒力，则在此小区间上变力所做功的元素为则在此小区间上变力所做功的元素为(3)变力变力 在在 上所作的功为：上所作的功为：在在弹弹性性限限度度内内，弹弹簧簧拉拉伸伸（或或压压缩缩）的的长长度度与与外外力力成成正正比比，已已知知弹弹簧簧拉拉长长0 0.0 02 2（m

4、 m），需需用用9 9.8 8 （N N）的的力力，求求把把弹弹簧簧拉拉长长0 0.1 1（m m）所所做做的的功功。例例1现在学习的是第6页，共41页 设拉力为设拉力为 ，弹簧的伸长量为，弹簧的伸长量为 则则 （为比为比例系数），从而有例系数），从而有 在在 上任取一小区上任取一小区间间 ，则在此小区间上变力，则在此小区间上变力所做功的元素为所做功的元素为解解 即变力函数为：即变力函数为：如图建立坐标系，取如图建立坐标系，取 为积分变量为积分变量于是，于是，拉力所做的功为拉力所做的功为 现在学习的是第7页，共41页 则在此小区间上变力所做功的元则在此小区间上变力所做功的元素为素为解解建立坐标

5、系如图。建立坐标系如图。例例2 2 在在 上任取一小区间上任取一小区间 现在学习的是第8页，共41页问题：问题：物体在变力物体在变力F(x)的作用下，从的作用下，从x轴上轴上a点移动到点移动到 b点，点，求变力所做的功。求变力所做的功。用积分元素法用积分元素法1）在）在a,b上考虑小区间上考虑小区间x,x+x，在此小区间上，在此小区间上 w dw=F(x)dx 2）将）将dw从从a到到b求定积分，就得到所求的功求定积分，就得到所求的功 总结总结：变力沿直线所作的功：变力沿直线所作的功现在学习的是第9页，共41页习习 例例 1例例3 (1)半球形贮水池，贮满水，从池中把水抽出，问作多少功？半球形

6、贮水池，贮满水，从池中把水抽出，问作多少功？(2)若半球形贮水池平底在下，问作多少功？若半球形贮水池平底在下，问作多少功？例例4 半径为半径为R，比重为，比重为(大于大于1)的球沉入深为的球沉入深为H(2R)的水池底，现将其从水中取出，问需作多少功？的水池底，现将其从水中取出，问需作多少功？例例5 用铁锤把钉子钉入木板，设木板对铁钉的阻力用铁锤把钉子钉入木板，设木板对铁钉的阻力 与铁钉进入木板的深度成正比，铁锤在第与铁钉进入木板的深度成正比，铁锤在第一次锤击时将铁钉击入一次锤击时将铁钉击入1厘米，若每次锤击所作的功相等，问第厘米，若每次锤击所作的功相等，问第 n 次锤击时又将铁钉击入多少次锤击

7、时又将铁钉击入多少？现在学习的是第10页，共41页习习 例例 解解 答答解解功元素功元素所求功为所求功为现在学习的是第11页，共41页点击图片任意处播放点击图片任意处播放暂停暂停解解建立坐标系如图建立坐标系如图习习 例例 解解 答答现在学习的是第12页，共41页这一薄层水的重力为这一薄层水的重力为功元素为功元素为(千焦千焦)习习 例例 解解 答答现在学习的是第13页，共41页例例3 (1)半球形贮水池，贮满水，从池中把水抽出，问作多少功？半球形贮水池，贮满水，从池中把水抽出，问作多少功？(2)若半球形贮水池平底在下，问作多少功？若半球形贮水池平底在下，问作多少功？解解(1)如图所示建立坐标系，

8、如图所示建立坐标系，则边界曲线方程为则边界曲线方程为选选 x 为积分变量，为积分变量，这一薄层水的重力为这一薄层水的重力为习习 例例 解解 答答现在学习的是第14页，共41页(2)如图所示建立坐标系，如图所示建立坐标系，则边界曲线方程为则边界曲线方程为选选 y 为积分变量，为积分变量，这一薄层水的重力为这一薄层水的重力为习习 例例 解解 答答现在学习的是第15页，共41页注意：注意：也可建立另一如图所示的坐标系，也可建立另一如图所示的坐标系，则边界曲线方程为则边界曲线方程为选选 x 为积分变量，为积分变量，这一薄层水的重力为这一薄层水的重力为习习 例例 解解 答答现在学习的是第16页，共41页

9、例例4 半径为半径为R，比重为，比重为(大于大于1)的球沉入深为的球沉入深为H(2R)的的 水池底，现将其从水中取出，问需作多少功？水池底，现将其从水中取出，问需作多少功？解解如图所示建立坐标系，如图所示建立坐标系，则边界曲线方程为则边界曲线方程为选选 x 为积分变量，为积分变量，将其取出水面总行程为将其取出水面总行程为H,在水中行程为在水中行程为H 2R x,在水外行程为在水外行程为H (H 2R x)2R x,习习 例例 解解 答答现在学习的是第17页，共41页在水中作功的力为在水中作功的力为在水外作功的力为在水外作功的力为此时功元素为两部分此时功元素为两部分之和之和(水中与水外水中与水外

10、)习习 例例 解解 答答现在学习的是第18页，共41页解解设木板对铁钉的阻力为设木板对铁钉的阻力为例例5 用铁锤把钉子钉入木板，设木板对铁钉的阻力用铁锤把钉子钉入木板，设木板对铁钉的阻力 与与铁钉进入木板的深度成正比，铁锤在第一次锤击时将铁钉进入木板的深度成正比，铁锤在第一次锤击时将铁钉击入铁钉击入1厘米，若每次锤击所作的功相等，问第厘米，若每次锤击所作的功相等，问第 n 次锤击次锤击时又将铁钉击入多少？时又将铁钉击入多少？第一次锤击时所作的功为第一次锤击时所作的功为设设 次击入的总深度为次击入的总深度为 厘米厘米次锤击所作的总功为次锤击所作的总功为习习 例例 解解 答答现在学习的是第19页，

11、共41页依题意知，每次锤击所作的功相等依题意知，每次锤击所作的功相等次击入的总深度为次击入的总深度为第第 次击入的深度为次击入的深度为习习 例例 解解 答答现在学习的是第20页，共41页二、液体压力二、液体压力现在学习的是第21页，共41页解题思路：解题思路：(1)适当选取坐标系及积分变量；适当选取坐标系及积分变量；(2)写出液体压力元素写出液体压力元素 dF 的表达式；的表达式；(以不变代变，其中用了公式以不变代变，其中用了公式(3)列出定积分并求值即得列出定积分并求值即得 F.二、液体压力二、液体压力现在学习的是第22页，共41页习习 例例 2现在学习的是第23页，共41页解解在端面建立坐

12、标系如图在端面建立坐标系如图习习 例例 2-解答解答现在学习的是第24页，共41页习习 例例 2-解答解答现在学习的是第25页，共41页解解建立坐标系如图建立坐标系如图斜边方程为斜边方程为积分变量为积分变量为小面积小面积习习 例例 2-解答解答现在学习的是第26页，共41页则在此小区间上闸门所受压力的元素为则在此小区间上闸门所受压力的元素为解解在在 上任取一小区间上任取一小区间 例例8 一个竖直的闸门，形状是等腰梯形，尺寸与坐一个竖直的闸门，形状是等腰梯形，尺寸与坐 标标 如图如图所示，当水面齐闸门时，求闸门所受的压力？所示，当水面齐闸门时，求闸门所受的压力？从而从而现在学习的是第27页，共4

13、1页三、万有引力三、万有引力 现在学习的是第28页，共41页解题思路：解题思路：(1)适当选取坐标系及积分变量；适当选取坐标系及积分变量；(2)写出引力元素写出引力元素 dF 的表达式；的表达式；(以不变代变，其中用了公式以不变代变，其中用了公式(3)列出定积分并求值即得列出定积分并求值即得 F.三、万有引力三、万有引力 现在学习的是第29页，共41页解解建立坐标系如图建立坐标系如图将典型小段近似看成质点将典型小段近似看成质点小段的质量为小段的质量为万有引力习例万有引力习例 及解答及解答 现在学习的是第30页，共41页小段与质点的距离为小段与质点的距离为引力元素引力元素水平方向的分力元素水平方

14、向的分力元素万有引力习例万有引力习例 及解答及解答 现在学习的是第31页，共41页铅直方向的分力元素铅直方向的分力元素万有引力习例万有引力习例 及解答及解答 现在学习的是第32页，共41页 设质点的质量为设质点的质量为m,绕轴绕轴 l 转动，角速度为转动，角速度为,则线速度为则线速度为 v=r,转动动能为转动动能为 E=1/2 m(r)2=1/2 J 2 转动惯量转动惯量例例 求长为求长为l,=1的细杆关于的细杆关于y轴的转动惯量轴的转动惯量.xyol解解 x(0,l),把小段把小段x,x+dx视为质量集中于视为质量集中于x 处处的质点，则的质点，则 m=x=dx dJ=dm x2=x2 dx

15、四、转动惯量四、转动惯量（J=m r2)现在学习的是第33页，共41页例例 有一质量为有一质量为M,半径为半径为R的均匀圆片，求的均匀圆片，求（1）对垂直圆面中心轴的转动惯量；）对垂直圆面中心轴的转动惯量；（2）对直径的转动惯量。）对直径的转动惯量。解解（1）与轴等距离的点转动惯量相同）与轴等距离的点转动惯量相同故故 x(0,R),视位于视位于x,x+dx的小圆环质量是集中于的小圆环质量是集中于x 处的质点，处的质点，dJ=dm x2=x2 dA=现在学习的是第34页，共41页（2）x(0,R),视小细条视小细条x,x+dx的质量的质量集中于集中于x 处，处，dJ=dm x2=现在学习的是第3

16、5页，共41页五、函数的平均值与均方根五、函数的平均值与均方根 1.平均值平均值 实例：实例：用某班所有学生的考试成绩的算术平均值用某班所有学生的考试成绩的算术平均值来描述这个班的成绩的概貌来描述这个班的成绩的概貌.算术平均值公式算术平均值公式只适用于有限个数值只适用于有限个数值问题：问题：求气温在一昼夜间的平均温度求气温在一昼夜间的平均温度.入手点：入手点：连续函数连续函数 在区间在区间 上的平均值上的平均值.讨论思想：讨论思想：分割、求和、取极限分割、求和、取极限.现在学习的是第36页，共41页(1)分割：分割：每个小区间的长度每个小区间的长度设各分点处的函数值为设各分点处的函数值为函数函

17、数 在区间在区间 上的平均值近似为上的平均值近似为每个小区间的长度趋于零每个小区间的长度趋于零.(2)求和：求和：(3)取极限：取极限：五、函数的平均值与均方根五、函数的平均值与均方根 现在学习的是第37页，共41页函数函数 在区间在区间 上的上的平均值平均值为为几何平均值公式几何平均值公式区间长度区间长度五、函数的平均值与均方根五、函数的平均值与均方根 现在学习的是第38页，共41页解解设电阻为设电阻为R,功率功率一个周期区间一个周期区间平均功率平均功率则电路中的电压为则电路中的电压为函数的平均值习例及解答函数的平均值习例及解答 现在学习的是第39页，共41页结论：结论：纯电阻电路中正弦交流电的平均功率等于电流、电纯电阻电路中正弦交流电的平均功率等于电流、电压的峰值的乘积的二分之一压的峰值的乘积的二分之一函数的平均值习例及解答函数的平均值习例及解答 现在学习的是第40页，共41页2.均方根均方根 通常交流电器上标明的功率就是平均功率通常交流电器上标明的功率就是平均功率.交流交流电器上标明的电流值都是一种特定的平均值，习惯上电器上标明的电流值都是一种特定的平均值，习惯上称为称为有效值有效值五、函数的平均值与均方根五、函数的平均值与均方根 现在学习的是第41页，共41页