地下水数值模拟03-有限差分法ppt课件.ppt

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1、为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能第三章第三章 有限差分法有限差分法为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能主要内容主要内容有限差分法的基本原理有限差分法的基本原理几种主要的差分格式几种主要的差分格式二维渗流问题的差分方程二维渗流问题的差分方程一般差分方程组的解法一般差分方程组的解法为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能第一节第一节有限差分法的有限差分法的基本原理基本原理为深入学

2、习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能一、有限差分法的基本思想一、有限差分法的基本思想1、基本原理、基本原理从物理现象引出相应从物理现象引出相应微分方程微分方程（方程（方程+边界条件）；边界条件）；用差分网格用差分网格离散离散求解域；求解域；用差分公式将基本方程转化为用差分公式将基本方程转化为差分方程差分方程（代数方程）；（代数方程）；用差分方程的解作为微分方程的近似解。用差分方程的解作为微分方程的近似解。为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能一、有限差分法的

3、基本思想一、有限差分法的基本思想2、求解步骤、求解步骤选取网格；选取网格；对微分方程及定解条件选择差分近似，列出对微分方程及定解条件选择差分近似，列出差分格式；差分格式；求解差分格式；求解差分格式；讨论差分格式解对于微分方程解的收敛性及讨论差分格式解对于微分方程解的收敛性及误差估计。误差估计。为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能差分网格差分网格x，y空间步长空间步长t时间步长时间步长结点格点为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能一、有限差分法的基本思

4、想一、有限差分法的基本思想3、优缺点、优缺点优优 点点缺缺 点点 1.1.简单问题简单问题的数学表达的数学表达式和式和计计算的算的执执行行过过程程比比较较直直观观、易懂；、易懂；2.2.算法效率比算法效率比较较高，易高，易编编程；程；1 1、对对自然自然边边界界处处理的灵理的灵活性活性较较差。差。2 2、对对溶溶质质运移等运移等问题问题，精度受限精度受限为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能二、导数的有限差分近似表示二、导数的有限差分近似表示1、差分的概念、差分的概念设有x的解析函数y(x)，函数y对x的导数为：是函数对自

5、变量的导数，又称微商。是函数对自变量的导数，又称微商。、分别称为函数及其自变量的差分分别称为函数及其自变量的差分dy、dx分别是函数及自变量的微分分别是函数及自变量的微分,为函数对自变量的差商。为函数对自变量的差商。由导数（微商）和差商的定义可知，由导数（微商）和差商的定义可知，当自变量的差分（增量）趋近于零时，当自变量的差分（增量）趋近于零时，就可以由差商得到导数。因此在数值就可以由差商得到导数。因此在数值计算中常用差商近似代替导数。计算中常用差商近似代替导数。为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能二、导数的有限差分近似

6、表示二、导数的有限差分近似表示2、导数的有限差分形式、导数的有限差分形式用泰勒级数展开可以推导出导数的有限差分形式。用泰勒级数展开可以推导出导数的有限差分形式。为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能差分公式对比名称名称公式公式截断误差截断误差一一阶阶导导数数前差前差后差后差中心差中心差二阶导数二阶导数为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能思考与练习高阶导数的有限差分形式高阶导数的有限差分形式?为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,

7、贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能思考与练习高阶导数的有限差分形式高阶导数的有限差分形式?0152346789101112为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能三、简单水文地质模型的有限差分方程组三、简单水文地质模型的有限差分方程组1、水文地质模型、水文地质模型u以一维河间地块承压含水层中的水流问题为例。以一维河间地块承压含水层中的水流问题为例。u考虑一个以通过考虑一个以通过x0和和xL处的长且直的河流为界的承压含水层，该含水层处的长且直的河流为界的承压含水层，该含水层均质各向同性，顶底板水平，上覆弱透水层

8、，垂向补给强度为均质各向同性，顶底板水平，上覆弱透水层，垂向补给强度为W，两河流边，两河流边界的水位分别界的水位分别0、L为且不随时间变化。为且不随时间变化。u试研究含水层的水头分布。试研究含水层的水头分布。为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能 三、简单水文地质模型的有限差分方程组三、简单水文地质模型的有限差分方程组2、数学模型、数学模型解析解为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能三、简单水文地质模型的有限差分方程组三、简单水文地质模型的有限差分方程

9、组3、有限差分方程、有限差分方程（1）网格剖分）网格剖分 沿河流的方向取单宽0,L作为研究区域，将L等分为n份，空间步长 对每个结点进行编号，结点编号由左向右依次为0，1，2，i，n。共有n+1个结点，其中2个边界结点，n-1个内结点。为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能 三、简单水文地质模型的有限差分方程组三、简单水文地质模型的有限差分方程组3、有限差分方程、有限差分方程（2）建立有限差分方程）建立有限差分方程先任取一结点i进行分析。移项整理，得：移项整理，得：对于所有内结点内结点1、2、n-1，建立结点相应的差分方程

10、组 n-1个线性代数方程，未知量共n-1个故方程可解。为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能 三、简单水文地质模型的有限差分方程组三、简单水文地质模型的有限差分方程组3、有限差分方程、有限差分方程（3）求解）求解将方程表示成矩阵形式，则有：线性代数方程组！线性代数方程组！系数矩阵中的元素仅位于三条对角线上，系数矩阵对称且系数矩阵中的元素仅位于三条对角线上，系数矩阵对称且正定，故称为正定，故称为三对角线性代数方程组。三对角线性代数方程组。最有效的求最有效的求解方法解方法追赶法追赶法为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和

11、党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能第二节第二节几种主要的差分格式几种主要的差分格式为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能水文地质模型描述水文地质模型描述u以一维河间地块承压含水层中的水流问题为例。u含水层均质各向同性，不考虑垂向补给，两河流边界的水位随时间变化，分别0(t)、L(t)。u试研究含水层的水头分布。该问题属于一维承压非稳定流的定解问题。求解该问题，需要对空间该问题属于一维承压非稳定流的定解问题。求解该问题，需要对空间和时间进行离散，形成的差分网格称为时空网格。和时间进行离散，形成

12、的差分网格称为时空网格。为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能网格剖分网格剖分以等距剖分为例以等距剖分为例将研究区域将研究区域0，L用直线等分为用直线等分为n份，把时间段份，把时间段0,T用直线等分成用直线等分成m份份以以 表示结点（表示结点（i,k）处的水头）处的水头 为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能 导数可以利用一阶、二阶导数的差商代替，由于一阶导数可以有三种差商表示，因此分别对水头关于时间的导数项分别运用前差、后差、中心差将得到三种差分格式

13、。显式有限差分显式有限差分 前差前差 隐式有限差分隐式有限差分 后差后差 中心式有限差分中心式有限差分 中心差中心差为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能 一、一维显式有限差分格式一、一维显式有限差分格式(i,k)(i-1,k)(i+1,k)(i,k+1)向前差分向前差分=整理得：整理得：定义定义截断误差为：O(x2)+O(t)只要知道了只要知道了只要知道了只要知道了k时段初始时刻时段初始时刻时段初始时刻时段初始时刻tk各结点的各结点的各结点的各结点的hik值，便可计算出值，便可计算出值，便可计算出值，便可计算出k时段末了

14、时刻时段末了时刻时段末了时刻时段末了时刻tk+1的的的的hik+1值值值值，各方程可独立求解，因此，这种方程称为各方程可独立求解，因此，这种方程称为各方程可独立求解，因此，这种方程称为各方程可独立求解，因此，这种方程称为显式有限差分方程显式有限差分方程显式有限差分方程显式有限差分方程。为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能 差分方程与离散后的定界条件构成了数学模型差分方程与离散后的定界条件构成了数学模型的显式差分方程问题。其求解步骤如下：的显式差分方程问题。其求解步骤如下：由以上计算的由以上计算的h11，h21 hn-11

15、值及由边界值及由边界条件计算的条件计算的h01和和hl1,再次利用再次利用差分公式式（取k=1，i=1，i=2,i=n-1，便可计算得便可计算得t2时刻各结点的水头值。如此重复，便可时刻各结点的水头值。如此重复，便可计算出计算出t3，t4，各时刻的水头分布值。各时刻的水头分布值。由初始条件给出由初始条件给出t0时刻各结点的水头值时刻各结点的水头值h00，h10，hl0；再根据再根据差分方程，在在k=0时时，分别取分别取i=1，i=2,i=n-1,便可求得便可求得t1时刻各时刻各内结点的水头值内结点的水头值h11，hn-10。显式差分方程的求解显式差分方程的求解开始输入初始参数t=0对i=0,1

16、,n循环执行t=t+t对i=1,n-1循环执行输出结果：t，tTsum?结束NoYes为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能 差分方程的解差分方程的解hik+1是否逼近原微分方程的解是否逼近原微分方程的解Hik+1?必须必须从差分方程的从差分方程的收敛性收敛性和和稳定性稳定性两个方面回答此问题。两个方面回答此问题。显式差分格式收显式差分格式收敛和稳定的条件敛和稳定的条件 只有收敛和稳定的差分格式，才具有实用价值。因此只有收敛和稳定的差分格式，才具有实用价值。因此，合理选取合理选取x,t是很重要的。是很重要的。收敛性收敛性：

17、如果在如果在x,t取得充分小时，差分方程的解和微取得充分小时，差分方程的解和微分方程的解析解很接近，便说这种差分格式是收敛的。分方程的解析解很接近，便说这种差分格式是收敛的。稳定性稳定性：差分计算时，每一步都有舍入误差，随着计算差分计算时，每一步都有舍入误差，随着计算时间或计算次数的增加，累积误差逐渐减小，以至于不时间或计算次数的增加，累积误差逐渐减小，以至于不影响计算结果，那么这种差分格式便是稳定的。影响计算结果，那么这种差分格式便是稳定的。显式差分方程的收敛性和稳定性显式差分方程的收敛性和稳定性为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学

18、图书室育人功能二、一维隐式有限差分格式二、一维隐式有限差分格式(i,k+1)(i-1,k+1)(i+1,k+1)(i,k)向后差分向后差分=整理得：整理得：截断误差为：O(x2)+O(t)定义定义左端包含了三个未知数，不能直接解出左端包含了三个未知数，不能直接解出左端包含了三个未知数，不能直接解出左端包含了三个未知数，不能直接解出hik+1，所以称为所以称为所以称为所以称为隐式差分格式隐式差分格式隐式差分格式隐式差分格式。为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能 隐式差分方程的求解隐式差分方程的求解由于线性方程组的系数矩阵只

19、在三条对角线上有值，其余由于线性方程组的系数矩阵只在三条对角线上有值，其余均为零，所以称为三对角线方阵，可用均为零，所以称为三对角线方阵，可用追赶法追赶法求解。求解。由于隐式差分格式不能直接解出由于隐式差分格式不能直接解出hik+1值，所以应该对所有内结点值，所以应该对所有内结点（i=1,i=2,i=l-1)都按都按差分方程式列出相应的方程。并把式列出相应的方程。并把边界条件边界条件代入形成由（l-1)个方程组成的线性方程组，联立求解。隐式差分格式是无条件收敛和稳定的。隐式差分格式是无条件收敛和稳定的。为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中

20、小学图书室育人功能开始输入初始参数t=0对i=0,1,n循环执行t=t+t对i=1,n-1循环线性方程组调用追赶法程序求解三对角线方程组输出结果：t，tTsum?结束NoYes为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能 三、一维中心式有限差分格式三、一维中心式有限差分格式 这种差分格式是在这种差分格式是在tk与与tk+1时刻之间，取中间过渡时刻时刻之间，取中间过渡时刻tk+t/2时刻，以结点时刻，以结点（i,k+1/2)处的微分方程为基础建立差分方程。处的微分方程为基础建立差分方程。(i,k+1/2)(i-1,k+1/2)(i

21、+1,k+1/2)(i,k+1)k时刻k+1时刻(i,k)k+1/2时刻虚拟时刻变量虚拟时刻变量怎么取？怎么取？为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能截断误差为：O(x2)+O(t2)中心差分中心差分整理得：整理得：定义定义 方程包含了六个结点的水头值，故称之为方程包含了六个结点的水头值，故称之为方程包含了六个结点的水头值，故称之为方程包含了六个结点的水头值，故称之为六点格式六点格式六点格式六点格式。其中有三个结点的水头是。其中有三个结点的水头是。其中有三个结点的水头是。其中有三个结点的水头是未知的，不能直接解出未知的，不

22、能直接解出未知的，不能直接解出未知的，不能直接解出hik+1，因此，必须建立联立方程组求解。因此，必须建立联立方程组求解。因此，必须建立联立方程组求解。因此，必须建立联立方程组求解。中心差分格式是无条件稳定和收敛的。中心差分格式是无条件稳定和收敛的。中心差分格式是无条件稳定和收敛的。中心差分格式是无条件稳定和收敛的。为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能三种有限差分格式的统一表达式三种有限差分格式的统一表达式(权因子权因子)=)=0 0，显式差分格式显式差分格式1 1，隐式差分格式隐式差分格式1/2 1/2，中心式差分格式

23、，中心式差分格式为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能小结三种有限差分格式的对比三种有限差分格式的对比显式差分隐式差分中心式差分差分方程公式向前差分向前差分向后差分向后差分中心差分中心差分截断误差收敛性稳定性无条件收敛和稳定无条件收敛和稳定无条件收敛和稳定无条件收敛和稳定 无条件收敛和稳定无条件收敛和稳定求解直接代入直接代入追赶法追赶法求解代数方程组求解代数方程组追赶法追赶法求解代数方程组求解代数方程组为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能小结三种有限差分格式的对比三种有限差分格式的对比显式差分隐式差分中心式差分差分方程公式向前差分向前差分向后差分向后差分中心差分中心差分截断误差收敛性稳定性无条件收敛和稳定无条件收敛和稳定无条件收敛和稳定无条件收敛和稳定 无条件收敛和稳定无条件收敛和稳定求解直接代入直接代入追赶法追赶法求解代数方程组求解代数方程组追赶法追赶法求解代数方程组求解代数方程组